基于“导问”的高中数学变式教学

李健

所谓“导问式”教学，指基于不同的教学目标和教学内容，以“问题和引导”为基本特征的一种教学活动形式。［1］其外部特征一般呈现为：教师通过设置一定的情境，引导学生发现问题，在与学生共同解读问题的过程中，围绕核心概念提出一系列问题，启发学生思考探究并解决问题，最终达到把握问题本质的目的。其内涵主旨为：通过动态思辨，帮助学生启迪思维、生成智慧。

变式教学指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化的教学方式，它主张保持问题的本质特征不变，将问题的非本质属性不断迁移，通过深化认知的一系列策略与途径，在动态教学中把握数学本质，这与“导问”的教学目标与实施手段高度契合。笔者着眼于提升高中生数学思维品质，以高三一轮复习的课堂教学为落脚点，从一道课本习题出发，薄口深切，例谈基于“导问”的变式教学策略。

一、教学背景概述

在学习“直线和圆”过程中，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）要求学生“能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆位置关系，并能解决一些简单的数学问题”。从整个解析几何单元的学业要求来看，《课标》强调了几何问题与代数问题间的转化与融合。

针对高三学生的知识储备与思维特点，笔者设计了一个围绕“直线和圆位置关系”的进阶微专题，以苏教版教材（2019年版）选择性必修一（以下简称《选必一》）第62页习题2.2第10题为研究起点展开变式教学，以期引导学生逐步深化对直线和圆位置关系的认知，“沉浸式”地感知几何与代数的深刻关系，最终把握解析几何（以下简称“解几”）的本质。

二、教学设计呈现

1.借“一题多变”导出问题情境

【问题1】已知圆O的方程是x2+y2=r2，求经过圆O上一点M（x0，y0）的切线方程。

生1：根据题意分析可得，所求切线与直线OM垂直。故可设所求切线方程为x0x+y0y+c=0，代入M（x0，y0）可得++c=0⇒c=-r2，则所求切线方程为x0x+y0y=r2。

师：很好！同学们学会了在抓住切线几何性质的同时，合理使用数学语言去刻画、解决“过已知圆上一点的切线问题”。那么接下来我们一起探究：“当点M（x0，y0）不在圆上时，直线x0x+y0y=r2与圆O的位置关系又该如何呢？”

【问题2】已知点M（x0，y0）在圆O：x2+y2=r2的内部（异于圆心O），判断直线l：x0x+y0y=r2与圆O的位置关系。

师：若点M在圆O外部呢?

师：很好！研究直线和圆的位置关系需要紧紧把握圆心到直线的距离d与圆半径r之间的大小关系。同时，直线l：x0x+y0y=r2似乎与圆O：x2+y2=r2有一种“神秘”的联系，接下来我们将通过一系列问题来进行探讨。

本环节中，问题1最后设置“一题多变”，利用《选必一》中第62页的习题12设置变式情境，带领学生进一步探究。通过问题2的两个“非标准化”变式，突出了直线与圆位置关系的本质属性，即“d与r之间的大小关系”。再利用其所包含的代数形式的共同特征，引导学生进行深入探讨。

2.由“一题多解”导向问题本质

【问题3】已知点M（x0，y0）在圆O：x2+y2=r2外部，你能探究出直线l：x0x+y0y=r2的几何意义吗？

（图1）

师：大家有别的方法来证明上述这个结论吗？

（限于版面，求解过程略）

师：问题1和问题3的答案均为x0x+y0y=r2，这是一种巧合吗？还是它们之间存在着一种内在联系？大家可交流探讨。

生5：可以从图形的角度动态地理解“切点弦”和“圆上一点切线”的内在联系，当点M从圆的外部向圆逐步靠近时，此时A、B两点也会沿着圆弧不断向其靠近，当点A、B、M无限接近“重合”状态时，原本作为割线的切点弦AB所在直线也会“逼近”成为一条过圆上一点M的切线了。

师：（可配合几何画板动态演示）很好！根据同学们的分析，我们可以将其简单地理解为“过圆上一点的切线就是某割线的极限状态”。在探讨的过程中，我们深刻地感受到直线与圆的问题可以用代数方法来解决，同时也可以从几何角度探索、感知其内在本质。

本环节通过问题3启发学生“一题多解”，从几何和代数两个维度来深化教学内容，凸显了“解几”本质，随后教师引导学生探究问题1与问题3的内在联系，设置变式追问，引导学生深度思考。最后利用几何画板动态展示，帮助学生从抽象和具象两个层面去理解数和形的关系，从而把握“解几”本质。

3.用“多题一解”导引问题深化

【问题4】已知点M（x0，y0）在圆O：x2+y2=r2的内部（异于圆心O：x2+y2=r2），求证：过M点的弦（除直径外）的两个端点在圆上两切线的交点轨迹为直线x0x+y0y=r2。

生6：设两切线的 交 点 为P（x'，y'）（见图2），由问题3可知过P点圆O的两切线的切点弦所在直线AB的方程为x'x+y'y=r2。因为点M（x0，y0）在直线AB上，所以有x'x0+y'y0=r2，又因为点P具有任意性，故点P即为所求动点，因此，用x，y分别替换x'，y'，得到所求轨迹方程x0x+y0y=r2，故命题得证。

（图2）

师：不难看出，该过程体现的解题思路与问题3中生5所展示的思想方法相同，都是根据解题需要将点进行“动态”与“静态”间的切换，在解决问题时再次利用了问题3的相关结论，这就是所谓的“多题一解”。接下来，我们通过一道模拟题来深化对这一知识点的掌握。

【问题5】（2022年苏州中学高三学期初检测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：（x＋1）2＋y2＝9，直线l与圆O相切，与圆C相交于A，B两点，分别以点A，B为切点作圆C的切线l1，l2。设直线l1，l2的交点为P，则OP的最小值为（ ）

师：结合解决问题5的经历，大家能否推导出有关切点弦的一般性结论？

生8：过圆C：（x-a）2＋（y-b）2=r2外一点P（m，n）作圆C的两条切线，切点为A、B，则切点弦所在直线AB的方程为（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）=r2。

师（追问）：能推广出问题1的一般性结论吗？

生9：根据问题1和问题3的内在联系可得，过圆C：（x-a）2＋（y-b）2=r2上一点P（m，n）的切线方程为（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）=r2。

师：非常好！大家在几何的层面进行了思考、类比和归纳，但要得出确凿的结论还需从代数的角度去演绎推证，请各位同学课后完善上述问题的证明过程。

设置问题4既是从思维上对问题3中生5解法的巩固，同时也引导了学生关注问题3所衍生出的各种“副产品”，让其主动接受“多题一解”这一变式教学载体。最终利用问题5引导学生通过合情推理深化理解这类问题的共性，并以演绎推理来作为教学的课后延伸，达到让学生把握这类问题本质的同时，深刻感知数学严谨性的双重目的。

三、教学策略总结

从上述的教学案例中我们不难看出，以“导问”作为方法论、“变式”作为教学手段的课堂教学需要教师进行数学的结构化组织，在让知识变得系统化的同时也要关注其可操作性。这对教师的教学素养提出了较高的要求。结合本节课的教学实际，笔者对基于“导问”开展的变式教学课型总结了如下三点策略。

1.“导”中生“变”

导问式教学讲究教学内容重难点的针对性，需要教师由浅入深、层层递进、呈梯度状设问。［2］在研究问题1至问题3的过程中，我们围绕本课例的教学重点之一——深度研究直线和圆的位置关系，构建了“变式问题串”，将一系列“导问”以“变式”的形态出现，即通过相关点的动态变化来探究相关直线与圆的位置关系。

学生能够在“变”中逐步把握住直线和圆位置关系的几何本质，并能够用代数语言去刻画其几何关系，既完成了思维由“发散”到“汇聚”的变化过程，又强化了用代数方法去解决几何问题的“解几意识”。

2.以“变”联“导”

作为直线和圆位置关系中的一个“特别的存在”，聚焦“切点弦方程”是本节课的教学难点，同时也是思维的一个跃升点。如何做到既能贴合学生认知规律又能有效地将教学内容合理联结，本课例中，变式起到了关键作用。

通过对问题2与问题3形式上的“统一化”与内容上的“延续化”，将变式作为“联结点”嵌入导问中，在结构上采用了“过程性变式”即“数学活动的有层次推进”［3］，达到了“润物细无声”的教学效果。同时，以问题3作为导问载体，使用“一题多解”的变式途径，引导学生对其解决方法进行深度探究，将三种解题思路从不同维度有效地联结在一起，从思维的层面实现了“汇聚”至“发散”的转变过程。

3.“导”“变”相融

解析几何是“数形结合”的典范，本课例中，“一题多变”“一题多解”及“多题一解”等变式手段，本质上都是服务于“数形结合”这一思想方法，是提高学生发散思维与形象思维的有效途径。［4］

因此，将“导问”和“变式”合而为一，能帮助学生在解决问题中，同步实现思想方法的掌握和思维品质的提升，这在问题3的教学过程中得到了充分体现。同样问题4的导入既做到了对问题3结论的“即时性学以致用”，又通过研究轨迹问题渗透了“几何问题代数化”的解几思维。将问题5设置为真题，其目的在于用特例引导学生将问题3的结论一般化，即渗透“特殊到一般”数学思想方法，加以教师的追问，引导学生的思维进行了一次跃迁。

总而言之，无论是采用“导问”的渐进式授课模式，还是借助于“变式”的动态化教学手段，其最终目的都是指向学生思维能力的培养与数学素养的提升。以此为引，形成更多行之有效的教学范式，是我们在今后教学实践中不断求索的目标。