强基计划数学备考系列讲座(8)——平面向量

王慧兴正高级教师 特级教师

(清华大学附属中学)

1 知识与技能

1.1 知识梳理

这部分内容要求学生整体把握向量分析路径,培育发展数学核心素养,核心知识如表1所示.

表1

1.2 要点解析

1)向量共线

图1

(2)平行四边形法则:如图2所示,以O为起点,

图2

图3

图4

3)共线向量基本定理

向量a和非零向量b共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得b＝λa(λ∈R{0}).

4)共面向量基本定理

图5

5)向量的数量积

6)几何向量

图6

(2)定差幂线定理——垂直的平方差充要条件或平方和条件:AC⊥BD⇔AB2-AD2＝CB2-CD2⇔AB2＋CD2＝AD2＋BC2.

(3)△ABC的三边中线相交于G、三边中垂线相交于O、三边上的高线相交于H、三个内角的平分线相交于I,依次称为△ABC的重心、外心、垂心、内心;一个角的内角平分线与另外两个角的外角平分线相交,得到三个点Ia,Ib,Ic,称为△ABC的旁心.用向量表征△ABC的五心,得到如下充要条件:

2 典例精析

向量分析即计算与推理,其基本路径是基于基本定理的坐标代数化和基于基本定理的几何计算推理路径,前者是面向高考的常态教学热点,本文主要探究几何情境中向量计算与推理基本路径.

2.1 提升向量运算境界

向量既有直观的几何表示,又有代数运算的灵活性,这意味着它既有自身的灵活性,也有广泛的交互应用功能.因此,向量运算的题型会呈现出千姿百态,要从以下几个方面进行向量计算与推理:1)向量的基本运算;2)基于几何结构助推向量运算;3)以基向量表征向量运算;4)基于共面基本定理的坐标代数化;5)基于共面基本定理的几何计算路径.方法1 如图10 所示,考虑特殊情形,作

图7

图8

图9

图10

Rt△ABC,使得∠B＝90°,AB＝3,AC＝5,则

图11

方法3 由奔驰定理,点O在△ABC内部,记△OBC,△OCA,△OAB的面积分别为SA,SB,SC,且SA∶SB∶SC＝1∶2∶3,所以

图12

2.2 几何环境中向量分析路径

选择具有已知信息的向量作为基向量,根据平面向量基本定理与共线向量基本定理合理表征,建立指向目标的向量联结,或指明几何计算方向,再作几何分析,完成几何计算.

图13

图14

图15

2.3 识别奔驰定理结构,分离指向目标的比例数据

2.4 以几何结构,构造向量目标

以特定的几何结构指向目标建立向量关系,训练极端性思维,发展组合技能.

例7 给出4个平面向量,使得其中任意两个的和向量总与另外两个的和向量垂直.

如图16 所示,取正△ABC,记其中心为O,R为其外接圆半径,r为其内切圆半径,在其内切圆上任取一点P,则

图16

2.5 向量指向代数计算与几何推理

1)向量与代数

显然,应用柯西不等式可得fmax＝1,但得不出最小值.考虑f的分子和分母的代数结构,可以发现呈现出数量积与向量模长特征,因此,根据a,b,c,d∈[2,4],构造如图17所示的正方形区域,建立动态向量夹角重新表征f.

图17

2)向量与解析几何

例9 求坐标原点O关于直线l:2x-y-2＝0的对称点A.

图18

图19

3 实战演练

图20

图21

A.I1＜I2＜I3B.I1＜I3＜I2

C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I3