基于Matlab的夫琅禾费衍射实验仿真研究

刘惠萍,商祥年,程 凯

(中国海洋大学 物理与光电工程学院，山东 青岛 266100)

光的衍射是物理光学课程的重要内容，而夫琅禾费衍射是其中最重要的一种衍射现象。由于该部分内容存在其原理太过抽象，造成教学难度的增加。为解决这一难题，利用Matlab软件对夫琅禾费衍射进行仿真模拟，运用Matlab的图形用户界面功能实现交互式功能[1-6]，结合真实的实验条件模拟了夫琅禾费衍射实验中衍射孔径不同形状的衍射图样和光强分布，通过该仿真实验给学生提供更直观，生动的光的衍射实验结果，加深了对原理的理解，增强课堂教学效果。

1 夫琅禾费衍射的基本原理

光的衍射是光的波动性的重要特征，也是光波在传播过程中的最重要属性之一。光的衍射分为菲涅尔衍射(近场衍射)和夫琅禾费衍射(远场衍射)。这里主要介绍最常见的夫琅禾费衍射。在夫琅禾费衍射装置中，若衍射孔径是矩形孔，在透镜L2的后焦面上便可获得矩孔的夫琅禾费衍射图样[1]。图1(a)所示一个沿x1方向宽度a比沿y1方向宽度b小的矩孔的衍射图样。它的主要特征是，衍射亮斑集中分布在互相垂直的两个轴(x轴和y轴)上，并且x轴上亮斑的宽度比y轴上亮斑的宽度大，这一点与矩孔在两个方向上的宽度关系正好相反。

(a)

下面利用夫琅禾费衍射计算矩形孔衍射图样的强度分布，原理图如图1(b)。选取矩孔中心作为坐标原点C，观察平面P点复振幅为：

(1)

(2)

式中，I0是P0点的强度，

α=kax/2f,β=kby/2f

对于沿x轴的光强分布，因y=0，故有：

对于沿y轴的光强分布由(3)式决定，

(3)

如果矩孔的a和b不等，那么沿x轴和y轴相邻暗点的距离不同。若b>a,则沿着y轴较沿x轴的暗点间距为密，在x轴和y轴各点的光强度，要根据它们的坐标进行计算，从上面的分析不难明白，强度为零的地方是一些和矩孔边平行的直线，亦即平行于x轴和y轴的直线，在两组正交暗线形成的一个个矩形格子内，各有一个亮斑。可以看出，中央亮斑的强度最大，其他亮斑的强度比中央亮斑要小得多，所以绝大部分光能集中在中央亮斑内。中央亮斑可认为是衍射扩展的主要范围，它的边缘在x和y轴上分别由条件asinθx=±λ和bsinθy=±λ决定。若以坐标表示，则有：

(4)

可见，衍射扩展与矩孔的宽度成反比，而与光波波长成正比。

2 基于Matlab的夫琅禾费衍射仿真实验

2.1 矩形孔径的夫琅禾费衍射仿真

根据夫琅和费矩孔衍射原理图1和衍射光强公式2进行光学仿真，编写了Matlab程序[3]，在用户界面中，改变不同的光源波长λ、矩孔X轴方向宽度、矩孔Y轴方向宽度、光屏离透镜的距离L。即可得到不同的衍射光强分布，将该光强进行二维用图像化处理的方法可以将夫琅和费矩孔衍射在Matlab中直观的展现出来[4，5]。图2显示的为不同参数下的衍射光强分布。

(a)

光屏离透镜的距离越近衍射效果越不明显，光屏离透镜的距离越远衍射效果越明显.如果改变孔的大小，其衍射光强的分布也将发生改变，如图3所示。

图3 矩孔大小对衍射的影响

矩孔越大衍射效果越不明显，矩孔越小衍射效果越明显，实验仿真结果与夫琅和费矩孔衍射理论相一致。

2.2 单缝夫琅禾费衍射仿真

如果矩孔一个方向的宽度比另一个方向的宽度大得多，比如b>>a，矩孔就变成了狭缝,变成了单缝的夫琅禾费衍射[2]，由于入射光在y方向的衍射效应可以忽略，衍射图样只分布在x轴上。显然，单缝衍射在x轴上的衍射光强分布公式也是在衍射理论中通常称为单缝衍射因子。矩孔衍射的相对强度I/I0是两个单缝衍射因子的乘积。根据前面的讨论，可知在单缝衍射图样中，中央亮纹是由式(4)决定的。

这一范围集中了单缝衍射的绝大部分能量。在宽度上，它是其他亮纹的两倍。而衍射条纹的间距为：

(5)

那么不同的狭缝宽度，不同的光屏的距离的夫琅和费单缝衍射的光强分布不同，根据公式(4)和(5)在Matlab中进行仿真，结果如图4所示。

(a)

狭缝越小衍射越明显，中央亮条纹的光强越大，光屏离透镜距离越远衍射越明显，中央亮条纹的光强越大，实验仿真结果与夫琅和费单缝衍射理论相一致。

3 结 语

在物理光学的实践教学中，光的衍射是重要的一个知识点，使用Matlab软件，对不同孔径的夫琅禾费衍射进行仿真模拟，利用Matlab的的图形界面功能，得到了不同参数下衍射光强分布结果，这一演示实验可以直接在课堂上进行，演示效果好，能够直观的解释不同参数对衍射结果的影响，在实际授课过程中，可以结合理论推导和实验模拟结果相对比,对帮助学生直观理解夫琅禾费衍射的原理起到了积极的作用，是理论教学和实验教学的重要辅助工具。