舒尔几何凸函数与一类条件不等式＊

石焕南，王东生

（1.北京联合大学师范学院，北京 100011；2.北京电子科技职业学院基础部，北京 100176）

0 引 言

20世纪70年代末，加拿大数学家Marshall和美国数学家Olkin合作出版了专著［1］，这标志着受控理论（也称控制不等式理论）成为数学的一门新的独立学科.恰时，在美国加州大学做访问学者的北京师范大学的王伯英教授学习了这一理论.回国后率先在国内开设了相关的硕士研究生课程，并于1990年编著出版了《控制不等式基础》［2］一书，该书精选了专著［1］中的经典基础理论，并补充了不少王伯英教授的创新内容，在应用部分，该书偏重讨论了受控理论在矩阵方面的应用.王伯英教授这本专著的出版极大地促进了我国控制不等式理论研究的发展，我国学者在国内外已发表了300多篇该领域的研究论文［3-22］，其中近百篇被SCI收录，形成了一支在国际上令人瞩目的研究队伍［23-24］.2011年，文献［25］引用了不少国内学者的论文.

舒尔（Schur）凸函数是受控理论的核心概念，关于舒尔凸函数的推广，国内学者做了不少开拓性的工作.2003年，张小明首先提出并建立了舒尔几何凸函数的定义及判定定理，并将其对舒尔几何凸函数的研究成果写入其专著［26］和［27］.本文将利用舒尔几何凸函数证明变量乘积为定值的10个条件不等式.这是一类常见的不等式，其证明灵活多样.古典的拉格朗日乘子算法是一种常用的方法，但这种方法涉及极值点的存在性和唯一性的判断，往往操作起来很麻烦，而利用舒尔几何凸函数的证明方法别样、简洁、有趣，常常还可以得到一些加强的结果.

1 预备知识

2 主要结果及其证明

3 结束语

渗入到众多数学领域的控制不等式，处处扮演着精彩角色，原因是其常能深刻地描述诸多数学量之间的内在联系，从而便于推导所需的结论；其还具有“成批”生产不等式的能力，即用一种统一的方法，把许多已有的从不同方法得来的不等式简便地推导出来，是推广和发现不等式的强有力手段，读者通过此文可领略一二.