经历建模过程 感悟数学方法——“植树问题”教学诊断及建议

○王永成

“植树问题”就是通过解决一些简单的实际问题，让学生体会解决问题的策略和重要的数学思想，培养学生在解决问题过程中探索规律、建立模型和寻找有效方法的能力。可在实际教学中，教师要么先给出公式，分类探究，然后引导学生总结应用，进行拓展训练；要么让学生猜一猜、数一数、算一算，然后立即归纳总结公式，利用公式解决问题。不管哪种教学方式，教师都把教学重点放在了公式上，至于自主建模、感悟方法等教学目标却被忽略了。

片段一：情境引入

师：同学们，3月12日是什么日子？

生：植树节。

师：大家会植树吗？生活中怎么植树？今天，我们对植树问题进行深入研究。我们要想知道在一条小路上种几棵树，需要什么条件？

生：得知道这条小路有多长。

师：这也就是说，我们要知道全长。那还需要知道什么？

生：每隔几米种一棵。

师：每隔几米种一棵，这叫间隔。有了全长、有了间隔，我们能求什么？

生：我们能求种的棵数。

师：大家说该怎么列式？

生：全长÷间隔=棵数。

师：全长除以间隔应该等于间隔数。刚才，同学们都说全长除以间隔等于棵数，间隔数和棵数究竟有怎样的联系呢？我们通过一道题来研究一下。

诊断分析：教师通过植树节、如何植树，揭开了本节课的序幕。“要想知道在一条小路上种几棵树，需要什么条件？”接着介绍全长、间隔和间隔数。“有了全长，有了间隔，求种的棵数，该怎么列式？”学生认为：全长除以间隔就等于棵数。这本是学生的真实想法，也是研究植树问题的思维起点。可授课教师却视而不见、充耳不闻，直接出示：全长÷间隔=间隔数。并由此启发学生思考：间隔数和棵数究竟有怎样的联系呢？然后让学生设计方案，深入探究。

表面上看，教师从学生已有的生活经验出发，让学生认识全长、间隔、间隔数这几个重要概念以及它们之间的关系，并引导学生自主探究。可实际上，学生尚未经历建模过程，教师便把公式呈现给学生，学生不费吹灰之力便得到了“植树问题”的数学模型。接下来，学生只要利用模型按图索骥，便能顺利地完成教师的意愿。试问：这样的探究有何意义？

片段二：探究发现

师：教学楼前有一条40米长的小路，我们要在这条小路上整齐地种一排小树。请你来设计一下。这里面有你需要的条件吗？

生:40米的小路是全长，可是没有间隔。

师：请你来设计，你要选择间隔几米种一棵树呢？

（学生选择间隔6米、5米、10米、8米……）

师：我们就选择间隔5米、10米、8米来研究，可以有多种设计方案。拿出你的设计图，开始设计吧！设计好后把你的方案在小组中说一说。

师：（将学生的作品杂乱无章地贴在黑板上）这是同学们的设计方案，感觉怎么样？

生：感觉很乱。

师：那该怎么办呢？

生：给它们分类。将黑板上的方案按间隔进行分类，间隔相同的排成一列。

师：现在就以这组为例，小路的全长是40米，间隔是10米，我们得到的间隔数是多少？

生:40÷10=4。

师：把40米长的小路平均分成4段，得到4个间隔。可是，这些方案中，有的种5棵，有的种3棵，还有的种4棵。间隔数相同，为什么种的棵数不一样呢？

生：我是两端都种的，一个间隔一棵树，再加上最后这棵，得出的是5棵树。40÷10=4，4+1=5（棵）。

生：我是只种一端，最后那棵没种，所以得出的是4棵树。40÷10=4（棵）。

生：我是两端都不种，种了3棵树。40÷10=4，4-1=3（棵）。

师：刚才这3名同学有3种不同的设计方案。那后面这些间隔5米、8米的设计方案和它们相同吗？请把相同的找出来，排成一排。

诊断分析：授课教师让学生自由选择间隔来设计植树方案，第一名学生选择了间隔6米，教师略显尴尬，并对此置之不理，让其他同学继续选择。最终，教师还是限定选择5米、10米、8米的间隔进行研究，设计方案。然后让学生展示方案，进行分类，并以间隔10米为例，让学生讲解两端都种、只种一端和两端都不种的计算方法。最后，再按三种不同的种树方式重新排列，重新归类。经过两次分类，得出了“植树问题”的规律。

表面上看，这样的教学具有开放性，体现了自主、合作、探究的教学理念。实际真的是这样吗？让学生在一条40米长的小路上种一排树，学生的思维起点在哪儿？我曾对本校同年级学生进行过调查：选择两端都种的学生占87.5%，选择只种一端的学生占2.5%，选择两端都不种的学生占10%。也就是说，即使没有教师的干预，大多数学生也会选择“两端都种”。

因此，在教学“植树问题”时，一定要遵循学生的思维起点，按照学生的思维习惯开展教学，这样才能激发学生探究的兴趣。

片段三：总结运用

师：请同学们看第一排的设计方案，有什么共同之处？

生：第一排的设计方案是两端都种的，棵数=间隔数+1。

师：第二排的设计方案呢？

生：两端都不种，棵数=间隔数-1。

师：那第三排的呢？

生：一端种一端不种，棵数=间隔数。

师：同学们通过探究，得出了规律，我把这些规律都写到了黑板上。现在，我们能不能运用规律解决实际问题呢？

出示：在学校60米的小路一侧，每隔3米摆一盆花（两端都摆）。一共可以摆几盆？

生:60÷3=20（盆）。

师：这20是什么呢？

生:20是一共可以摆几盆花。

师：有的同学举手了，你想说什么？

生:20应该是间隔数。求一共可以摆几盆花，还应该加1，也就是20+1=21（盆）。

出示：60÷3=20（个），20+1=21（盆）。

师：老师写20个可以吗？

生：可以。

师：以前学习“植树问题”时，我让同学们在网上搜相关习题，大家搜出来的却是电线杆、爬楼梯、摆花盆、锯木头等问题，这是为什么呢？表面上看这些问题跟植树没有任何关系，其实都能用“植树问题”的数学模型来解决。

接着，教师引导学生思考：曲线上的植树问题和直线上植树的方法一样吗？然后演示讲解曲线上的植树问题，最后由曲线上的植树问题又延伸到平面植树问题。

诊断分析：教师根据重新归类后的设计方案，引导学生观察、总结出3种不同的植树方式，然后让学生运用规律解决问题。在短短的40分钟时间里，授课教师不仅引领学生学习了直线上的植树问题，以及由此衍生出的电线杆、爬楼梯、摆花盆、锯木头等问题，还学习了曲线上的植树问题，又延伸到平面植树问题。这样大容量的课堂教学，学生真的能接受吗？

从教学效果看，60÷3=20，到底是20个还是20盆，学生依然模糊不清；虽然总结了规律，但学生只是盲目地套用规律，不能正确地运用规律来解决实际问题。至于曲线上的植树问题、平面植树问题，更是走马观花，学生能否理解就不言而喻了。这样教学“植树问题”，给人的感觉就是：贪多嚼不烂，必是夹生饭，量大填鸭，难以消化，更不用说让学生经历建模过程、体会数学思想了。

纵观本节课，教师从一开始就是奔着传授知识来的。教师按着自己的意图把所思所想倾囊相授，毫无保留。然而，这样的教学真的好吗？学生能够掌握所传授的知识吗？细细品味，迷失初衷。

教学建议：

教材中，“植树问题”是通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现规律，抽取出其中的数学模型，从而渗透一些重要的数学思想。教学“植树问题”时，我们要从学生已有的知识经验出发，遵循低起点、小步伐、慢节奏的原则，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程，从而积累数学活动经验，感悟数学方法。

1.循序渐进，建构模型。

教学“植树问题”时，我们可以由简入繁，循序渐进，建构模型。课伊始，教师利用手指操、结绳计数、锯木头等游戏，让学生初步认识间隔、间隔数，并由此引入新课，让学生解决实际问题：在全长20米的小路一边植树，每隔5米种一棵（两端都种）。一共要种多少棵？在学生自主探究时，教师要引导学生利用小棒或小树图片在线段上摆一摆，看看到底能种多少棵。然后，再用线段图表示刚才的种树情况，让学生初步感知规律，列出算式。最后，教师将小路延长至40米、60米、100米，间隔不变，让学生合作交流，发现规律，总结方法，从而建构出两端都种的数学模型：棵数=全长÷间隔+1。

2.渗透思想，感悟方法。

学生通过摆一摆、画一画、说一说建构了两端都种的数学模型：棵数=全长÷间隔+1。在此，教师要引导学生回顾反思，质疑研讨：全长除以间隔等于间隔数，怎么能和棵数相加呢？为什么要加1？这个1指的是什么？通过质疑研讨，学生真正感悟到间隔数和棵数具有一一对应的关系，利用等量代换，将间隔数转换成了棵数，所加的1棵就是最前面的那棵。至此，模型才够“丰满”，学生对模型的理解才深刻、具体。有了两端都种的数学模型，再引导学生利用活动经验，自主建构两端都不种、只种一端的数学模型就水到渠成了。在整个探究过程中，教师不仅渗透了建模思想，还巧妙渗透了数形结合、一一对应、等量代换、化归等重要的数学思想。同时，也让学生感悟到了学习数学的有效方法。