转化思想在初中数学教学中的应用

2022-10-17陈银珠

名师在线 2022年27期

文/陈银珠

引言

新课程改革对各个学科的教学都提出了较高的要求。数学作为一门贯穿小学、初中、高中乃至大学的重要学科，教师在教学过程中并非单纯地为学生传授知识与技能，而是应该善于应用思想方法，培养学生的思维能力[1]。转化思想是一种将待解决和未解决的问题通过转化、归纳、总结成易解决和已解决的问题，达到顺利且高效解决问题的目的。初中生抽象思维和逻辑思维能力较为薄弱，教师应用转化思想能够帮助学生将陌生复杂的问题转化为简单熟悉的解题形式，提高学习和解题的效率，实现预期的课程目标。

一、化繁为简，激发学习兴趣

教师在为学生传授数学知识的同时，需要为学生传授一些技巧，减轻学生的学习压力，提升学生的数学学习信心。目前大部分初中生在学习中能熟练掌握数学基础知识，却在运用知识分析和解决问题时频繁出现问题。究其原因，多半是学生未能真正掌握转化的思想方法[2]。

对此，教师在日常教学过程中应积极引导学生运用转化思想，让学生在解决问题时能够做到化繁为简，提高解题效率，增强思维能力。与此同时，教师还要善于激发学生探究数学知识的兴趣，全面调动学生参与数学学习的积极性和主动性。

例如，若x1和x2是方程x2+x-1=0 的两个根，求出的值。由题意可知，虽然题干直接给出了x1和x2是方程x2+x-1=0 的两个根这一条件，却无法直接求出x1与x2的值，自然也无法得出x21+x22的值。教师在教学过程中可引导学生运用完全平方公式，对x21+x22进行变形。这样学生不但能了解根与系数的关系，而且巩固了完全平方公式的知识。

又如，已知x2+x-1=0，求出x3+2x2+2009 的值。题干并未直接给出x的值，我们可将原式变形为x(x2+x-1)+(x2+x-1)+1+2009，从而得出答案。

上述类型的问题通常无法通过直接求解而得出答案。教师可以引导学生在分析问题和解决问题时巧妙地运用转化思想，化未知为已知，提高解题的效率和学习数学的信心。

二、以旧引新，深化知识理解

众所周知，数学知识有从特殊到一般的规律。换言之，就是通过分析特殊情况去挖掘知识涵盖的普遍规律。初中数学教师在教学过程中往往会惯性地运用特殊的题目，引领学生进行分析，并归纳总结普遍的特征。然而，纵观初中生的学习现状，大部分学生在分析和解决数学问题时，无法较好地应用从特殊到一般的转化思想，甚至不知如何转变，在解题过程中受阻，长此以往会降低探究数学知识的兴趣。

对此，初中数学教师在教学过程中应主动为学生传授转化的思想方法，引领学生经历从特殊到一般，再从一般到特殊这一过程，使学生在强化思维能力的同时高效解决问题。以勾股定理为例，教师可以分别从以下方面展开教学。

首先，创设情境，提出问题：“此前我们已学过三角形的相关知识。已知一个直角三角形两条直角边为6和8，请问该如何知道直角三角形斜边的长度？”学生表示可运用画图测量第三边的长度。教师回应道：“这确实是一种方式，然而这种方式的弊端在于画图与测量会存在误差，因而无法准确地解决上述问题。请问还有其他方式可得到斜边长度吗？”教师在上述教学过程中，从学生已有的知识经验着手，有效地激发学生探究知识的兴趣，成功地引出新知。

其次，实践探索：“我们可以运用哪种方式来探求直角三角形三边的数量关系？”学生相互讨论，课堂气氛极其热烈，但未讨论出结果。教师继续引导：“谁知道以前在学习时运用哪些公式可求出图形的面积？”有的学生指出单项式乘多项式，也有的学生指出多项式乘多项式。教师提示：“是否还有平方差公式与完全平方公式？”学生回答：“是的”。随即，教师运用PPT 为学生展示图1 和图2 所示图形，要求学生结合图形分别解释平方差及完全平方式公式表示的含义。

图1

图2

对于图1，左图阴影部分的面积为a2-b2，右图阴影部分的面积为(a-b)(a+b)，两个图阴影部分的面积大小相等，即，a2-b2=(a-b)(a+b)。图2 中，大正方形的面积可表示为(a+b)2，等于内部两个小正方形和两个小长方形的面积，即(a+b)2=a2+2ab+b2。

上述的教学方式是先带领学生回顾旧知，提升学生解决问题的信心。该题目有一定的难度，因此教师可以给学生提供解决问题的思路，为其后续的自主探究做好铺垫。

最后，教师可以让每位学生在纸上画一个等腰直角三角形，并以该直角三角形的各边为一边向外分别作三个正方形，在计算三个正方形面积的同时，让学生猜想三个正方形的面积与围成直角三角形三条边间的数量关系（如图3 所示）。

图3

由图3 可直观地看到，两个小正方形阴影部分的面积刚好等于大正方形阴影部分的面积，分别对应直角三角形三边的平方。

在上述教学过程中，教师让学生画出多个特殊的直角三角形，并借助面积法猜想直角三角形三边关系，让学生经历了从特殊到一般的思维过程。学生根据教材自主学习的提示，对图形进行“割补”，将无法利用网格线直接计算面积的图形转化为可直接计算面积的图形，再经历计算网格中图形的面积（特殊）至无网格图形的面积（一般）这一过程，成功地验证了猜想。

三、分解转化，培养思维能力

初中数学教师在教学过程中应改变以往陈旧的观念，积极地运用转化思想，帮助学生高效地理解和记忆知识，提高解题能力。分解转化是转化思想方法之一，所谓分解转化其实就是一种将一个难度较大的问题分解为多个简单小问题的方法。教师在具体的教学中可适当设置一些问题障碍，强化学生运用转化思想的意识。

例如，某个商场计划购买电梯，从两个电梯供货商了解，相同型号的电梯报价为6000 元且两个供货商有着不同的优惠力度。其中，A 厂商提出的优惠条件为：首台电梯按照原价收费，剩余电梯收取原价的95%；B 厂商提供的优惠条件为：每个电梯收取原价的95%。请问何种情况下在A 厂商购买电梯更为优惠？

学生要想解决上述这一问题就可运用转化思想，即先列出A、B 两个供货商的收费价格Y与购买电梯数量x之间的关系式，最后满足“A 厂商价格低于B 厂商价格”这个不等关系，从而得出答案。通过上述的教学案例可知，学生在解决综合性较强的应用题时可以先将问题化解为多个小问题，通过解答小问题实现深入研究，进而成功解题。

四、数形转化，锻炼解题能力

数与形之间的转化是初中数学中应用较为广泛的转化，包括数向形的转化和形向数的转化两类。其中，由数向形转化可使问题变得更为直观，降低理解难度。而形向数的转化主要借助坐标系实现，可让学生更深入地研究形之间的关系。在教学实践中，教师要做好相关例题讲解，提高学生运用数形转化解题的意识。例如，在讲解反比例函数知识时，教师可联系学生所学的一次函数知识，设计如下问题。

在解答该题时，学生需要根据题意画出对应图形，将数之间的关系转化为形之间的关系，展示出相关坐标之间的内在联系，通过计算得出答案，解题过程如下。

根据题意画出如图4 所示图形，过点A、点B均在x轴作垂线，垂足分别为A1、B1。过点C向BB1作垂线，垂足为C1。

图4

因BC所在直线由x向上平移4 个单位得到，因此，对应直线且和直线平行。由平行线的性质可知∠BCC1=∠AOA1，则直角△BCC1∽△AOA1，由OA=3BC可得设则a=3b，则A点坐标为因A、B两点均在曲线上，则解得b=1 或0（舍去），则，则选择D 项。显然，学生通过数与形的转化，借助三角形的相似顺利地找到了坐标之间的关系，达到了化抽象为具体，提高解题效率的目的。

五、动静转化，提升解题技巧

动点是初中数学非常重要的一类题型，因点的具体坐标不确定，很多学生遇到相关习题不知如何解答。实际上，运用转化思想，实现动静转化，可迅速找到解题的切入点，达到事半功倍的效果。例如，在二次函数教学时，教师可为学生讲解如下例题。

图5

该题属于动点问题，解题的关键在于化动为静。已知抛物线方程为可知其关于y轴对称，则原点O为AB的中点，AO=OB。同时，Q为线段PA的中点，因此，连接BP，则OQ为△ABP的中位线，即要求线段OQ的最大值，只需求BP的最大值。显然，当BP的连线过点C，即过圆心时BP的值最大，因此只需求出BC两点的长度加上圆的半径。令解得x1=4，x2=-4，点B的坐标为(4，0)，则而圆C的半径为2，因此BP=5+2=7，则OQ的最大值为，选择C 项。该题看似无从下手，但只要认真分析给出的图形，回顾三角形中位线的性质，化动为静，通过求解两点间距离，就能顺利解题。