含有三角函数的积分的解法探究

李 茜

(山西运城农业职业技术学院 基础部， 山西 运城 044000)

积分是高等数学中的重要内容，而含有三角函数的积分是积分问题中较为常见的，也是基本的内容。 由于其计算方法复杂多样，所以它也是学生不易掌握的难点之一。为了使学生更容易的掌握含有三角函数的积分，本文对该类积分进行了探讨，主要提出了7种计算方法，并且通过例题分析的形式对每种计算方法进行了阐述说明。这样有利于提高学生学习高等数学的兴趣，有利于培养学生的逻辑思维能力。

1 利用

分析 注意到(x+sinx)′=1+cosx，所以可将被积函数的分子1+cosx表示为(x+sinx)′。

令x+sinx=u，则

2 利用其中a,b均为常数，且a≠0

该方法主要适用于只将积分表中被积函数中的x写成ax+b的形式。

令2x+1=u，则

3 利用特殊因式

如果被积函数中含有特殊因式，可试着利用以下式子将被积函数变形，具体如下：

分析 显然，该积分被积函数中含有因式sinx，可试用sinxdx=-dcosx将原式变形。

4 利用三角恒等式

该方法主要适用于被积函数中含有三角函数的积分。

通常可以利用三角恒等式(如倍角公式、半角公式、积化和差、sin2x+cos2x=1、tan2x+1=sec2x等公式)变换被积函数，使其成为合适求积的形状。

分析 可以利用降幂公式将原式中的被积函数cos2x进行恒等变形。

5 利用分部积分法

对于分部积分公式的使用，关键在于u、v的选取.为了方便使用分部积分法，关于u的选取，主要分以下三种情况：

分析 显然，被积函数是幂函数与余弦函数的乘积，由情况1，所以可设x2为u。

分析 显然，被积函数是指数函数与余弦函数的乘积，由情况3，所以ex与cosx都可以设为u。 不妨设cosx为u。

移项得:

6 利用根式代换法

该方法主要适用于被积函数含有根式的积分。利用根式代换法，可以将积分式中的根号去掉，将被积函数简化。

由例6得，

7 利用万能代换法

本文主要通过例题具体分析的形式，给出了7种计算含有三角函数的积分的方法。但每一种计算方法都不是万能的，都有其使用特点。所以在使用的过程中需要根据被积函数的特点，有针对性的选择合适的求积分的方法，做到有的放矢。这样不仅有利于提高学生学习高等数学的兴趣，使学生主动参与到教学活动中来，还有利于学生逻辑思维能力的培养和综合能力的提高。