焊接金属波纹管力学特性非线性仿真研究

王子涵，马咏梅，蔡 勇，束 振，陈赵勤，王 捷，熊银刚

（1.四川大学 机械工程学院，四川 成都 610065；2.中密控股股份有限公司，四川 成都 610045）

焊接金属波纹管是一种具有横向波纹的弹性补偿元件，在石油化工、航空航天及冶金等领域有广泛运用，其力学性能直接决定机械密封的稳定性和允许使用环境。工作状态下焊接金属波纹管的波片会产生挠曲变形[1]，这在力学上属于非线性问题。目前已有学者针对焊接金属波纹管进行了非线性过程研究，内容涉及应力、变形及稳定性等。任宁等[2]进行了Ω型波纹管的非线性有限元分析，得到其应力分布特点。韩明君等[3]用非线性大挠度弯曲理论对单圆弧膜片的非线性大变形进行了分析，得到了膜片挠度随结构参数的变化规律。周毅锦等[4]通过试验和有限元分析证明了非线性特性对于波纹管应力应变特性的影响。郎振华[5]借助有限元分析研究了S型波纹管的应力特点，并探讨了设计参数对弯曲性能的影响。Takuo Nagamachi等[6]研究了焊接金属波纹管的应力、应变和疲劳失效问题，并结合试验及仿真得到了其在适用过程中的变化规律。

波纹管的设计和研究常用有限元软件进行力学特性分析。有限元软件分析有线性和非线性两种方式，其中非线性分析的计算结果较为准确，但计算时间长；线性分析能够节省时间，但计算结果存在一定偏差。文中主要研究在不同工况下，使用有限元软件对焊接金属波纹管的应力、应变和疲劳寿命进行有限元分析时应如何合理选择线性分析或非线性分析方法，以同时满足计算时间和结果准确性的要求。

1 波纹管计算中的非线性问题

1.1 材料非线性理论及模型

材料非线性是指材料的应力-应变关系为非线性[7]，主要是弹性、塑性和黏性三者的组合。弹性材料的应力-应变曲线始终为一条直线，加载和卸载的曲线全部重合。超弹性材料的加载与卸载的曲线同样全部重合，但不为一条直线。本文研究焊接金属波纹管所用材料为Inconel-718，为典型的塑性金属材料，塑性材料主要服从屈服准则和硬化准则[8-9]。

1.1.1 屈服准则

一定变形条件下，材料中质点各个方向分力满足一定关系时，其进入塑性状态，此关系为屈服准则[10]。Tresca屈服准则与Mises屈服准则是两种运用最广泛的屈服准则[11]。其中，Mises屈服准则在金属材料塑性研究中更为常用。

一定变形条件下，金属材料质点的应力偏张量的第二不变量达到特定值时，进入塑性状态，若用主应力表示Mises准则，可写为：

式中,σ1、σ2、σ3分别为 x、y、z方向的主应力,σs为材料的屈服极限,MPa。

1.1.2 硬化准则

硬化准则是指材料达到塑性状态后，屈服条件不变，重新进入塑性状态所需的应力提高，即屈服极限提高。硬化准则包含的塑性材料单向拉伸过程的应力-应变特征曲线见图1。图1中，σ为应力，σp为比例极限，σ*为后继屈服应力点,σb为强度极限，ε为应变，εp为永久塑性变形，εe为弹性变形，E为轨迹。

图1 塑性材料拉伸过程应力-应变特征曲线

σ≤σp时，材料处于线弹性区，应力-应变关系近似为线性。σs＜σ＜σ*时，材料进入塑性状态，应力-应变关系仍近似为线性，但斜率发生改变。卸载后，材料将保留永久塑性变形εp。σ≥σ*时，完全卸载，E 为直线，εe=0，εp≠0， 其中 σb为材料应力水平能达到的最大值。重新加载后，当σ=σ*时开始屈服，此时材料的屈服极限提高，这种变化即为冷作硬化效应。

1.1.3 非线性材料模型

材料硬化后，遵循的屈服准则会发生改变[12]。在变形过程中，每一瞬时都会出现一个后继屈服点，后继屈服点的变化规律十分复杂，与材料的硬化规律有关。

目前，有5种硬化规律受到广泛运用，相应形成5种模型，包括各向同性强化模型、随动强化模型、线性强化模型、幂指数强化模型以及理想塑性模型[13]。根据硬化准则，有限元软件中提供如下4种典型的非线性材料模型。

（1）双线性随动强化 材料的应力-应变关系为2条曲线，即弹性斜率和塑性斜率[14]，双线性随动强化模型使用包含鲍辛格效应的随动强化的Von-Mises屈服准则，适用于大部分各向同性金属材料的小应变问题。此模块需要输入的数据为屈服应力及切向斜率，最多可定义6条不同温度下的曲线。

（2）双线性等向强化 同样使用2条应力-应变曲线，使用等向强化的Von-Mises屈服准则，适用于初始各向同性材料的大变形问题。

（3）多线性随动强化 当2条应力-应变关系曲线不能满足要求时，该选项可以使用多条曲线表示应力-应变关系，模拟随动强化效应。

（4）多线性等向强化 使用多条曲线表示材料的应力-应变关系，模拟等向强化效应。该模型中至多可以规定20个不同温度、100条应力-应变关系曲线。

1.2 几何非线性理论及求解

1.2.1 理论基础

波纹管属于薄壁壳体结构，通常工况下的压缩位移远大于壁厚，是典型的大位移小应变情况，必须要考虑几何非线性问题。几何非线性是指，研究对象的位移变形太大时，根据未变形结构所列的平衡方程将不再适用，需以大变形后的结构重新列平衡方程求解计算。几何非线性一般包括3种情况，①大位移小应变情况。②大位移大应变情况。③大转角情况。与这3种情况对应有3种现象，①单元形状改变。②单元方向改变。③法向刚度改变。

现阶段，几何非线性问题均以能量平衡理论[15]为基础。用图2表示物体在不同时刻的变形状态，利用虚功原理[16]来表示tn+Δt时刻的平衡状态。假设已知物体在 t0，t1，t2， ……，tn，tn+1时刻的变形状态，求物体在tn+Δt时刻的变形状态。

图2 不同时刻物体的变形状态

图2中0A，1A，2A，……nA，n+1A表示物体A在时刻 t0，t1，t2，……tn，tn+1，时的变形状态。0P，1P，2P，……，nP,n+1P表示物体上的某一质点P在时刻t0，t1，t2，……，tn，tn+1时的变形状态。

假设载荷F与变形无关，位移为δ，利用虚功原理，可推导出增量形式的拉格朗日方程：

式（2）～式（3）中，[KT]为切向刚度矩阵，[K0]为弹性刚度矩阵，[Kδ]为初应力刚度矩阵，[K1]为初位移刚度矩阵[17]，[Kg]为初载荷刚度矩阵。[K0]用于表征物体常规的刚度，[Kδ]用于表征初应力导致的刚度变化，[K1]用于表征大位移引起的刚度变化，[Kg]用于表征载荷随物体形状变化而引起的刚度变化。

1.2.2 软件求解方法

针对大变形问题，有限元分析软件中的大变形（Large Deflection）选项考虑了单元位移和变形产生的刚度变化。在大变形非线性计算中，刚度矩阵会在每次迭代计算结束时自动更新，用于下一次的迭代计算，使得计算更加精确。有限元分析软件在求解非线性刚度问题时，通常使用的Newton-Raphson Method方法基本原理示意图见图3。

图3 Newton-Raphson Method方法原理图

图3中，对总载荷Fa第一次迭代得到x1，通过位移计算得内力F1，若 Fa≠F1，则系统不平衡，从而建立新刚度矩阵（斜直线斜率）进行计算，经过反复迭代，使得残差（Fa-F1）足够小，则认为系统收敛，求解结束。

应用Newton-Raphson Method方法进行迭代计算并不能保证一定收敛，如图4～图6所示，ustart为起始位置，u为目标位置，虚线圆圈表示收敛半径的范围，只有起始位置在收敛半径内的迭代计算（图4）才能收敛，起始位置在收敛半径外的迭代计算（图5）将发散。在实际计算中，通常会综合考虑逐步加载将目标移动至接近起始点 （图6a）和扩大收敛半径（图6b）使计算收敛。

图4 起始位置位于收敛半径内

图5 起始位置位于收敛半径外

图6 使计算收敛的方法

2 焊接金属波纹管力学特性有限元分析

2.1 对象参数

本文研究的95单层S型焊接金属波纹管波形见图7。波纹管内径97.5 mm，外径114.3 mm，材料为Inconel-718，波数9，自由高度为16.47 mm。 建立波纹管三维建模，再导入有限元软件进行静力学分析。波纹管材料Inconel-718经过时效处理，是一种含Nb、Mu元素的沉淀强化镍基高温合金[8]，在650℃以下时具有较高的屈服强度，良好的抗疲劳、抗氧化、耐腐蚀及加工、焊接特性。软件材料库中自带该材料，其密度为 8 240 kg/m3、弹性模量为 2×1011、泊松比为0.3（常温20℃条件下）。

图7 95单层波纹管波形示图

2.2 有限元分析

在不同压缩量和介质压力下，对焊接金属波纹管的应力、应变及疲劳寿命分别进行线性和非线性分析，对比二者结果。若线性分析的计算结果相对于非线性分析结果误差小于给定值，则认为在此工况下可采用线性分析计算；若误差大于给定值，则认为需采用非线性分析计算。

2.2.1 材料及边界条件

研究波纹管的疲劳寿命需先设置材料的交替循环应力。不同循环次数下交替循环应力设置见图8。

图8 不同循环次数下材料的交替循环应力

本文研究焊接金属波纹管作为密封系统的弹性元件，两端分别与动环、静环连接，并受到一定压缩量的预紧力作用，波纹管约束设置为一端固定，另一端添加竖直方向的位移约束。实际工作中，波纹管整体浸于带有压力的密封油中，波纹管外壁将受到介质压力的作用，因此在整个波纹管外壁添加pressure（压力荷载），模拟介质压力的作用。

2.2.2 压缩量对仿真结果的影响

设置外压为0.1 MPa，从1～6 mm改变压缩量，关闭大变形选项进行线性分析，开启大变形选项进行非线性分析，求解结果见表1和表2。

表1 压缩量对95单波纹管力学性能影响线性分析

表2 压缩量对95单波纹管力学性能影响非线性分析

由表1和表2可以看出，无论是在线性分析或非线性分析下，波纹管的最大工作应力和应变均随压缩量的增大而增大，疲劳寿命随压缩量增大而减小。但非线性分析的应力和应变计算值比线性分析的大，相应的疲劳寿命值比线性分析的小，且三者随压缩量增大而增大（减小）的速度大于线性分析值。

2.2.3 介质压力对仿真结果的影响

设置焊接金属波纹管的压缩量为1 mm，改变介质压力的大小。在实际工程中，企业使用环境介质压力均低于2 MPa，且每次试验压力调整幅度为0.2 MPa，故将仿真介质压力范围设置为0.1～0.9 MPa，压力调节间隔设置为0.2 MPa。在求解设置中关闭大变形选项进行线性分析，然后开启大变形选项进行非线性分析，求解结果见表3和表4。

表3 介质压力对95单波纹管力学性能影响线性分析

表4 介质压力对95单波纹管力学性能影响非线性分析

由表3和表4可以看出，随着介质压力的增大，波纹管承受的最大应力和最大应变也逐渐增大，疲劳寿命逐渐减小。非线性分析下应力和应变的计算值大于线性分析值，疲劳寿命小于线性分析值，三者随介质压力增大而增大（减小）的速度大于线性分析值。

2.2.4 线性与非线性计算的选择

以非线性分析计算结果为标准，定义最大应力和最大应变的相对误差=(非线性分析值-线性分析值)/非线性分析值×100%，疲劳寿命误差=(线性分析值-非线性分析值)/非线性分析值×100%，分别计算不同压缩量和介质压力时的相对误差，结果见表5和表6。

表5 不同压缩量下的相对误差

表6 不同介质压力下的相对误差

由表5和表6可以看出，在进行焊接金属波纹管最大应力、最大应变及疲劳寿命的有限元计算时，相对误差会随着压缩量和介质压力的增大而增大，尤其是计算疲劳寿命时，外载荷的增加对计算误差的影响十分显著，因此全部采用线性计算显然不可取。

在实际运用中，误差低于5%通常认为是可接受的。根据此标准并结合上述数据分析，可得到下述结论，①研究压缩量对焊接金属波纹管应力、应变的影响时，对于压缩量不超过3 mm的工况可采用线性计算，压缩量超过3 mm则应该采用非线性分析；而研究压缩量对疲劳寿命的影响时，压缩量在2 mm以内可采用线性分析，压缩量超过2 mm采用非线性分析。②研究介质压力对焊接金属波纹管应力、应变及疲劳寿命的影响时，介质压力在0.3MPa以下可采用线性分析，介质压力超过0.3MPa采用非线性分析。③非线性分析的应力、应变计算值均大于线性分析值，疲劳寿命计算值小于线性分析值，因此在研究焊接金属波纹管某一工况下力学特性的极限情况，或探究其失效的临界工况时，应采用非线性分析。

3 结语

讨论了焊接金属波纹管力学特性分析中存在的材料非线性及几何非线性问题，并在有限元软件中对波纹管的应力、应变及疲劳寿命分别进行了线性及非线性分析，根据相对误差大小选择在各个工况下应该采用线性分析还是非线性分析。研究结果可为工程项目仿真在计算用时和计算精度之间进行的综合权衡提供参考。文中仅对95单型焊接金属波纹管做了相关研究，其结论仅适用于该规格及相似规格的波纹管，是否具有普遍参考性还有待更进一步研究。