基于ARIMA-TR 模型的世界马铃薯单产潜力分析

蔡承智 张 林

马铃薯单产潜力一直是农学界关注的重点和热点之一。例如：贾立国等（2015）预测得出，内蒙古阴山北麓地区马铃薯的光合生产潜力为82503kg/ha，光温生产潜力为65620 kg/ha，平均降水生产潜力为47 898 kg/ha；Haverkort A.J 等基于生产函数模型研究了荷兰马铃薯单产潜力及其受气候变化的影响；Svubure O 等运用LINTUL-POTATO 模型研究了津巴布韦不同农业生态区马铃薯的光能获取、利用及单产潜力；Kleinwechter U 等运用SUBSTOR 模型对秘鲁所有地区（温带、亚热带及热带）不同马铃薯品种单产进行了系统评估；田丰等研究指出马铃薯块茎最高理论产量时的最优组合为纯N 肥173 kg/ha、PO肥112 kg/ha 和KO 肥68 kg/ha，密度60000 株/ha；间作使马铃薯叶绿素含量降低，光合速率下降，从而导致单株生产力下降；套作（玉米）改变了马铃薯的光合特性，并显著降低了马铃薯块茎产量；在整个生育期内，马铃薯光合性能（蒸腾速率、气孔导度和光合速率）均呈先增后减的变化规律；持续弱光胁迫使马铃薯叶片光合速率显著下降，对强光的利用能力减弱；在开花期，与单作相比，（燕麦）间作马铃薯叶片的净光合速率、气孔导度、蒸腾速率显著降低，胞间CO浓度显著提高；增加CO浓度可显著增加马铃薯植株的叶面积、叶片净光合速率和胞间CO浓度；中国东北三省地区已进入气候暖干化阶段，在今后的马铃薯生产中应通过适时调整播期、培育或引进适应气候变化的新品种等科学农田管理措施，充分利用气候资源提高马铃薯生产力水平，等等。

以上可见，迄今为止，学界对于马铃薯单产（潜力）的研究，以育种、栽培及生理方面为主，主要基于实验、试验方法。运用计量模型、从宏观（趋势）上进行马铃薯单产研究相对少，尤其在“时间序列” 模型运用方面鲜见报道。

作为世界上最重要的粮食及蔬菜作物之一。随着世界人口增长和农田减少，马铃薯单产的提高越来越受到重视。所以，预测分析世界马铃薯单产潜力对指导该作物生产以及帮助解决未来粮食安全问题具有一定现实意义。

一、材料与方法

（一）材料

基于1961-2020 年世界马铃薯平均单产和最高（国家）单产数据，预测分析2025 年前单产潜力。

如表1 所示，1961-2020 年世界马铃薯平均单产比最高单产上升稍慢、但更平稳。

表1 世界马铃薯1961-2020 年平均单产和最高单产（kg/ha）

（二）方法

ARIMA-TR 模型即ARIMA（自回归单整移动平均）模型与TR（趋势回归）模型的组合。

ARIMA 模型的简易形式为ARIMA (p,d,q)。其中：p 为自回归项数、d 为时间序列成为平稳序列时所做的差分次数、q 为移动平均项数。ARIMA 模型的完整数学表达式如公式（1）：

公式（1）中L、ø (L) 和θ (L) 分别为滞后算子、平稳的自回归算子和可逆的移动平均算子，d∈z（目标变量）。

基于1961-2020 年期间历年统计值预测2021-2025 年未来值，逻辑步骤如下：首先，为了消除异方差对变量的历史数值取对数，再检验该对数序列的平稳性，通过平稳性检验时进入下一步，不能通过平稳性检验时进行差分使序列平稳再进入下一步；其次，基于变量的“平稳序列” 建立5 种基础模型：ARMA (1,2)模型、ARMA (1,1) 模型、AR (1) 模型、MA(2) 模型和MA (1) 模型；再次，同时运用这5种基础模型拟合变量1961-2020 年期间历史数值，根据拟合度最优的基础模型构建ARIMA(p,d,q) 预测模型——本研究中选用RMSE（均方根误差）判断基础模型拟合优度；最后，运用ARIMA (p,d,q) 模型预测变量2021-2025 年未来值。

趋势回归（TR）模型直接以 “时间”（年份的序数）作为自变量、世界马铃薯单产作为因变量，基于1961-2020 年期间历年统计值进行（指数函数、线性函数、对数函数、多项式函数和幂函数）五种趋势回归建模。选择决定系数最高的趋势回归模型，预测2021-2025 年未来值。

最后，对ARIMA 预测模型和TR 预测模型进行RMSE 比较，选择其中较小者作为ARIMA-TR模型预测值。

二、结果与分析

（一）世界马铃薯2025 年前平均单产的ARIMA-TR 模型预测

1.世界马铃薯2021-2025 年平均单产的ARIMA 模型预测

1961-2020 年世界马铃薯平均单产的 “时间序列” 平稳性检验表明：其对数值序列未能通过平稳性检验（ADF 单位根检验的t 统计量-1.706449 大于1%水平检验临界值-4.130526）；对该对数值序列进行一阶差分后，通过平稳性检验（ADF 单位根检验的t 统计量-9.626551 小于1%水平检验临界值-3.552666）。为此，基于变量对数值的一阶差分平稳序列建立世界马铃薯1961-2020 年平均单产拟合基础模型，其RMSE 值分别为ARMA (1,2) 模型的959.9255、ARMA (1,1) 模型的888.3164、AR (1) 模型的1083.376、MA (2)模型1093.172 的和MA (1) 模型的1099.333。为此，基于ARMA (1,1) 基础模型构建ARIMA(1,1,1) 预测模型如下：

公式（2）中，“ayp” 代表世界马铃薯平均单产。

基于该ARIMA(1,1,1)模型预测的2021-2025年世界马铃薯平均单产分别为：20617 kg/ha、20806 kg/ha、20996 kg/ha、21188 kg/ha 和21382 kg/ha。

2.世界马铃薯2021-2025 年平均单产的TR模型预测

世界马铃薯1961-2020 年平均单产变化趋势回归模型的决定系数分别为：指数函数的0.8638、线性函数的0.8456、对数函数的0.6343、多项式函数的0.8963 和幂函数的0.6942；5 种趋势回归模型中，多项式函数的决定系数最高。为此，建立公式（3）多项式函数（RMSE=757.6642）回归模型预测世界马铃薯2021-2025 年平均单产。

公式（3）中，x 代表年份（序数）、y 代表世界马铃薯平均单产。

基于该TR 模型预测的2021-2025 年世界马铃薯平均单产分别为：21095 kg/ha、21350 kg/ha、21610 kg/ha、2187 4kg/ha 和22142 kg/ha。

3.世界马铃薯2021-2025 年平均单产的ARIMA-TR 模型预测

根据世界马铃薯2021-2025 年平均单产的ARIMA 模型和TR 模型的RMSE 值，取较小者作为ARIMA-TR 模型预测结果。即：世界马铃薯2021-2025 年平均单产的ARIMA-TR 模型预测值分别为21095 kg/ha、21350 kg/ha、21610 kg/ha、21874 kg/ha 和22142 kg/ha。

（二）世界马铃薯2025 年前最高单产的ARIMA-TR 模型预测

1.世界马铃薯2021-2025 年最高单产的ARIMA 模型预测

1961-2020 年世界马铃薯最高单产的 “时间序列” 平稳性检验表明：其对数值序列未能通过平稳性检验（ADF 单位根检验的t 统计量-4.127338 大于1%水平检验临界值-4.942314 ）；对该对数值序列进行一阶差分后，通过平稳性检验（ADF 单位根检验的t 统计量-10.59063 小于1%水平检验临界值-3.552666）。为此，基于变量对数值的一阶差分平稳序列建立世界马铃薯1961-2020 年最高单产拟合基础模型，其RMSE值分别为ARMA (1,2) 模型的3331.687、ARMA(1,1) 模型的3488.832、AR (1) 模型的4421.182、MA (2) 模型的3628.972 和MA (1) 模型的4230.405。为此，基于ARMA (1,2) 基础模型构建ARIMA (1,1,2) 预测模型如下：

公式（4）中，“typ” 代表世界马铃薯最高单产。

基于该ARIMA (1,1,2) 模型预测的2021、2022、2023、2024 和2025 年世界马铃薯最高单产分别为：55020 kg/ha、55486 kg/ha、55957 kg/ha、56432 kg/ha 和56910 kg/ha。

2.世界马铃薯2021-2025 年最高单产的TR模型预测

世界马铃薯1961-2020 年最高单产变化趋势回归模型的决定系数分别为：指数函数的0.7920、线性函数的0.7875、对数函数的0.7383、多项式函数的0.7934 和幂函数的0.8056；趋势回归模型的决定系数低于平均单产，表明同期平均单产的变化趋势更明显。5 种趋势回归模型中，幂函数的决定系数最高。为此，建立公式（5）幂函数（RMSE=757.6642）回归模型预测世界马铃薯2021-2025 年最高单产。

公式（5）中，x 代表年份（序数）、y 代表世界马铃薯最高单产。

基于该TR 模型预测的2021、2022、2023、2024 和2025 年世界马铃薯最高单产分别为：50213 kg/ha、50355 kg/ha、50494 kg/ha、50632 kg/ha 和50768 kg/ha。

3.世界马铃薯2021-2025 年最高单产的ARIMA-TR 模型预测

根据世界马铃薯2021-2025 年最高单产的ARIMA 模型和TR 模型的RMSE 值，取较小者作为ARIMA-TR 模型预测结果。即：世界马铃薯2021-2025 年最高单产的ARIMA-TR 模型预测值分别为50213 kg/ha、50355 kg/ha、50494 kg/ha、50632 kg/ha 和50768 kg/ha。

（三）世界马铃薯2025 年前单产潜力

“最高单产”可视为“平均单产”的潜力极限。

根据以上预测结果，2021-2025 年世界马铃薯平均单产将分别是最高单产的38.34%、38.48%、38.62%、38.76%和38.91%。即：世界马铃薯2021-2025 年平均单产将 “缓慢追赶” 最高单产，但前后二者比率低于50%，意味着世界马铃薯平均单产提升尚有巨大空间。

三、讨论与结论

（一）讨论

与常用的作物 “生产函数” 预测模型不同，本研究所采用的ARIMA-TR 模型不需考虑马铃薯单产的影响因素（光、温、水、肥、气），不需分析生产投入变量（灌溉、肥料、农药、农机动力等），因为这些投入变量理论上都是随着时间（年）不断改进的，可以通过“时间序列” 来集中反映 “影响因素” 及 “投入变量” 的变化趋势。一般而言，预测时段越短，结果信度越高。时间序列模型预测中，样本实际值波动越小，历史数据时段越长，变化趋势越明显，预测结果信度越高；反之越低。理论上，样本覆盖范围越广，统计数据越接近实际值，预测结果信度越高。相比之下 “时间序列” 方法通常更适合于宏观预测，而考虑多因子的 “生产函数” 模型更适合于微观预测，二者并行不悖、相互补充。

（二）结论

本研究表明：就2025 年前世界马铃薯生产而言，平均单产提升尚有巨大空间，总产提高应主要依靠保持高产国家优势。