一类禽流感模型的动力学分析

郭金生

（河西学院数学与统计学院，甘肃 张掖 734000）

传染病对人类的危害由来已久. 2019年以来暴发的新型冠状病毒肺炎疫情，至今在全球范围内没有得到有效控制，已经对全球各国经济、民生造成了不可估量的损失. 因此，一直以来学界对传染病的控制预防策略方面的研究都非常重视. 特别地，借助微分方程动力学模型可以提供对影响疾病传播根本机制的理解，同时避开了一系列科学伦理问题而备受众学者关注［1］.

近年，运用动力学方法广泛运用于传染病研究［2-5］. 由于模型中包含仓室较多导致建模和分析困难，布鲁氏菌病、禽流感等人禽、人畜共患的疾病的研究成果相对较少［3-5］. H7N9禽流感是最典型的人禽共患传染病之一，我国最早于2013 年3 月在上海、安徽等地发生. 该病最常见的临床表现为发热、咳嗽、气短等症状，病毒在家禽和家禽之间传播，人类直接或间接接触携带病毒的家禽可能也会被感染［6-8］. 关于禽流感病毒传播的动力学模型研究，Xiao 等［9］在复杂网络环境下考虑了病毒的传播行为，提出了近似最优控制策略；Bai 等［10］基于广东省实际数据，估计了所建模型的参数，进而对广东省2013 至2017 年间的病毒传播情况进行估算，得出了广东省病毒传播的基本再生数.

文献［11］中建立了一个具有双线型传染率的模型来研究H7N9 禽流感病毒，研究表明对受感染的家禽进行筛选和扑杀防止病毒进一步传染. 文献［12］研究表明，当禽流感已经发生突变时，需要减少和染病禽类接触，防止具有易传染性的人出现大量感染. 文献［13］中考虑到鸟类群的不同生长规律，证明了鸟类种群中存在具有Allee 效应的周期解，建立了具有饱和非线性传染率的模型，分析了H7N9 禽流感病毒传染机制. 文献［14］研究了具有心理效应H7N9禽流感病毒传原理. 本文将同时考虑禽类的种群动力学因素和人类的人口学结构，结合禽类和人类的不同染病机制和特点，考虑了更符合疾病传染规律非线性传染率，建立了一类SI-SIR禽流感模型，能为疾病预防控制提供一定的理论依据.

1 模型建立

由于禽类受感染之后，一般采取扑杀掩埋的方式，所以将其划分为两个子类：易感禽类Sa和已感染禽类Ia. 而人类感染后必须接受治疗后恢复健康，获得永久免疫功能，故将人类分为三个子类：易感人群Sh、感染人群Ih和恢复人群Rh. 考虑到极少有报道称病毒会在人与人之间传播的例子，本文假设病毒不在人与人之间传播. 同时，人类一旦被发现染病后，会立刻采取治疗措施，不会对家禽造成感染. 这样一来，不管是对禽类还是人类，家禽为唯一的传染源. 基于这些考虑，对模型做以下假设：

表1 参数描述

由于系统（1）的前4个方程中不含Rh，故只需讨论如下系统即可：

由引理1知闭集D1是正不变吸引集.

在对系统（2）分析之前，先只对禽类系统的动力学进行研究. 为了简单记无病平衡点为DFE，地方平衡点为EE.

2 禽类系统的分析

系统（1）的前两个方程组成的方程组形成独立的子系统，可完全描述病毒在禽类与禽类之间的传播，简称其为禽类系统. 本节只考虑考虑禽类系统：

针对禽类系统（3），定义区域

对应的特征方程为

当(Sa(t)，Ia(t))=(S0a，0)时，特征根分别为λ1=-μa，λ2=(μa+δa)(R0-1)，显然当R0≤1 时，系统（3）的DFE(S0a，0)是局部渐近稳定的，但当R0＞1时，λ2＞0，系统（3）的DFE(S0a，0)是不稳定的.

定理2

当R0≤1时，禽类系统（3）的DFE(S0a，0)是全局渐近稳定的.

证明

当R0≤1时，构造Lyapunov函数

从而，f(Ih)在(0，+∞]上存在唯一的正根I*h，所以当R0＞1时，系统（1）存在唯一的EE(S*a，I*a，S*h，I*h，R*a).其中I*h满足方程（5）.

由引理2，可以直接得到如下定理：

3 禽类-人类全系统的分析

4 小 结

本文建立了一个关于禽流感病毒传播的SI-SIR常微分方程模型，模型中同时考虑了禽类的种群动力学因素与人类的人口动力学因素，根据禽类和人类受感染的特点分别选择了对应的发生率. 借助传染病动力学基本再生数理论，分别讨论了模型在DFE 和EE 处的局部和全局稳定性. 结果表明，该模型的动力学性态完全由疾病流行的基本再生数R0决定. 当R0＜1 时，无病平衡点(S0a，0，S0h，0，0)全局渐近稳定，禽流感疾病逐渐消失；当R0＞1时，无病平衡点(S0a，0，S0h，0，0)不稳定，地方病平衡点(S*a，I*a，S*h，I*h，R*h)全局渐近稳定，禽流感疾病逐渐成为地方病而存在.