融入压力分布信息的气动力建模方法

赵旋 张伟伟 邓子辰

(西北工业大学航空学院,西安 710072)

引言

传统上,在飞机设计初期,一般采用风洞试验或计算流体动力学(computational fluid dynamics,CFD)模拟来获得翼型的气动系数.然而,在型号设计过程中,大量车次的风洞试验不管从经费成本还是时间周期都难以承受.CFD 仿真在航空工业中被广泛用于分析不同飞行器在设计过程中的气动性能.与风洞试验或飞行试验相比,这些模拟可以减少时间和成本.然而,在现代飞机的气动设计阶段,高保真CFD 模拟通常是一个计算量大、耗时长的迭代过程.数据驱动代理模型是估计先验未知函数分布近似值的有效方法,通常应用于实际工程问题中,因此,代理模型目前开始被认为是预测合理的CFD工具的替代品.

一般来说,代理建模是指利用先前获得的采样数据来构建代理模型,然后使用这些模型来预测设计空间中新点处的变量值的一种技术.在金融或保险等市场,使用机器学习方法进行预测的研究也存在不少.例如,在文献[1]中,对人工神经网络ANN模型和线性判别分析LDA 等线性预测模型在从财务报表数据预测企业信用评级方面的预测性能进行了比较研究.此外,其他科学出版物[2-4]关注于使用人工神经网络进行股市预测.

在航空航天领域,也有代理建模技术的应用,主要用于空气动力学分析和优化.例如,基于Kriging[5-8]和co-Kriging[9-11]的模型已被应用于多目标优化或多学科优化问题,还包括如文献[12-13]中的不确定性管理和量化.代理模型在优化问题中使用较多,最初应用于结构优化设计中[14],随着多学科设计优化MDO[15]的兴起逐渐流行,后来被应用到气动优化设计[16].

在气动力建模方面,也存在很多基于代理模型进行的研究,特别是在基于CFD、风洞和飞行试验数据的空气动力数据预测中的应用,可以在设计空间中对新领域进行第一阶段的探索,而不需要昂贵的模拟、风洞或飞行试验,从而减少了所需的实验数量.Secco 等[17]设计和应用人工神经网络来预测运输机的升力和阻力系数.Luo 等[18]提出了一种有监督的自学习方案——自适应空间变换AST,预测高超声速飞行器的气动系数.Yuan 等[19]提出了一种基于卷积神经网络ConvNet 技术和符号距离函数SDF 的通用、灵活的近似模型来预测翼型的气动系数.Peng 等[20]引入了一种新的结构——元素空间卷积神经网络ESCNN 来改进图像处理方法.ESCNN 不是将翼型作为图像处理,而是直接将翼型坐标作为输入,然后输出气动系数,与传统CNN 相比,ESCNN 在参数方面小了几个数量级,但仍达到了最高水平的预测精度.何磊等[21]以三角翼大迎角非定常气动特性为研究对象,建立了基于LSTM 神经网络的非定常气动力模型,实现了对升力系数、阻力系数和俯仰力矩系数的预测.Andres 等[22]使用了三种不同的航空构型,NACA0012 翼型、RAE2822翼型和3D DPW 机翼,深入比较了不同代理回归模型对升力系数和阻力系数的预测性能.Huang 等[23]建立了预测NACA63-215 翼型升阻系数的反向传播BP 神经网络模型.Liu[24]建立了径向基函数RBF 神经网络模型,用于预测给定参数范围内的翼型升阻系数.Wallach 等[25]和Santos等[26]利用多层感知器网络MLP 预测了NACA23012 的升阻系数、支线双喷气发动机的阻力系数和机翼-机身组合体的阻力系数.

综上,多项式响应曲面法、Kriging 模型[27]、支持向量回归SVR[28]、径向基函数RBF[29]、神经网络模型[30]等作为常用的代理模型被广泛应用于解决计算量较大、计算成本较高的黑箱问题中,来减轻计算负担.这些方法的核心就是输入与输出之间的映射模型,通过样本集的学习对模型的参数、构架等进行调整,使其具有较好的拟合效果.这种方法可解释性较低,往往需要较大数据量进行学习,然而在一些条件下,样本获取的代价是非常昂贵的,研究者不得不在小样本约束下开展建模工作,但模型的精度和泛化性难以保证.

为了解决小样本气动力建模的难题,通常有以下两种方法: 一是通过引入多源数据,比如CFD 仿真数据、飞行试验数据以及风洞实验数据[31-32];二是利用多种类型数据的特征,将物理知识或物理规律引入建模过程中.无论是风洞实验还是数值模拟,均可以产生压力分布信息和气动力信息(如升力系数和力矩系数),如何在气动力建模过程中充分利用压力分布信息来提高建模的精度、鲁棒性和泛化性,成为本文关注的立足点.

1 方法及模型介绍

1.1 本征正交分解技术

本征正交分解技术(proper orthogonal decomposition,POD)是常用的一种降维手段,能够将复杂动力学从高维离散化系统投影到低维系统,该方法的本质是通过对流场样本进行矩阵变换及正交分解,从而得到使样本残差最小的若干正交基函数,用于描述流场的主要规律.基于POD 方法,根据特征值 λ 大小对模态按照能量进行排序,可以提取出主要的流动模态,通常为了使模型简化,采取降维方式,按能量截取一个维数为M(M≪N)的低维空间,如

通常使得E(M) ≥σ,σ一般选取99%(略小于1),以捕获绝大部分能量,其中 λ 为特征值大小.论文中按能量截取的维度较低,仅取了前几阶能量较高的POD 基函数.关于POD 方法的详细介绍和推导参见文献[33].

1.2 Kriging 算法

Kriging 模型是一种源于地质统计学的方法,Kriging 模型最初是由南非采矿工程师Krige 在1951 年提出的一种空间估计技术,最初应用于矿床储量计算和误差估计,经过几十年的发展,逐渐在地质、气象、航空航天、汽车等领域得到发展和应用[34-35].Kriging 模型由于其卓越的非线性函数插值预测能力和误差估计功能,正受到越来越多的关注.

设x1,x2,···,xn为样本集上的一系列变量,为相应的响应值,则Kriging 函数定义变量x0处的插值结果yˆ(x0) 为已知样本函数响应值的线性加权,即

因此,通过求解加权系数 λi就可以得到数量集中任意位置的参数估计值.关于Kriging 模型的详细介绍和推导参见文献[35].

1.3 CST 参数化方法

类别形状函数变换(class-shape-transform,CST)方法[36]是气动外形优化设计中一种常用的翼型外形参数化方法,仅用少量参数就能准确地拟合翼型形状.CST 方法将翼型的纵坐标表示为类函数与型函数S的乘积

类函数的定义为

其中,N1和N2为几何外形类别参数.

1.4 模型框架

基于前述方法,针对气动力建模问题,提出的融入压力分布信息的学习模型架构如图1 所示.

图1 算法框架流程Fig.1 Algorithm framework process

算法步骤如下:

(1) 样本获取: 使用数值计算方法(或通过风洞实验)计算不同参数状态下翼型的压力分布及对应的气动力.

(2) 特征提取: 首先通过本征正交分解技术对压力分布数据进行降维,对压力分布数据进行特征提取,即得到压力分布的POD 基函数,并获取不同输入参数对应的POD 系数.

(3) 构建代理模型一(POD 系数建模): 通过Kriging 算法构建输入参数与压力分布POD 系数的映射关系.

(4) 低精度气动系数预测: 将POD 基函数与其对应系数相乘,反算得到压力分布,积分得到低精度升力系数和力矩系数(由于样本数量的限制以及通常截取的POD 阶数较低,这里反算得到的压力分布与实际存在较大误差,因此积分得到的气动系数称之为低精度数据).

(5) 构建代理模型二(高精度融合建模): 通过Kriging 算法构建输入参数、积分得到的低精度气动系数与直接通过数值计算(或通过风洞试验)得到的气动系数(相对而言,为高精度数据)之间的映射关系.

2 算例验证

为了体现融入压力分布信息的气动力建模方法的可行性和有效性,我们在论文中比较了单纯使用Kriging 算法直接构建输入参数和气动系数的映射关系(直接建模框架)与论文提出的预测模型(间接建模框架,如图1 所示)对气动力的预测精度.

为了量化说明气动系数预测值与真值的偏差程度,论文中定义误差如下式

其中,CL,pre和CL,tru分别代表升力系数预测值和真值,CM,pre和CM,tru分别代表力矩系数预测值和真值,eL代表升力系数绝对误差,eM代表力矩系数绝对误差.论文中力矩积分点均位于四分之一弦线处.

在建模的研究过程中发现,基于本征正交分解技术对压力分布数据特征提取的时候,应该截取多少阶的POD 基函数是一个问题,因为其决定着POD 系数的个数,从而影响所构建第一个代理模型(输入参数与POD 系数的映射关系),因此我们在气动力预测的过程中,研究了不同POD 基函数的阶数对于气动力预测精度的影响.

2.1 同状态变翼型算例

通过C S T 参数化方法,基准翼型选择NACA0012 翼型,采用12 个CST 参数描述翼型表面几何形状,在NACA0012 翼型CST 参数的 ± 30%变化范围内进行扰动,采用拉丁超立方抽样随机抽取样本翼型,来流状态为(Re=3.0×106,Ma=0.73,α=2.5°).通过采用课题组自研求解器计算,使用 AUSM +UP 格式求解NS 方程,计算了200 组样本数据(包含压力分布以及气动力系数),图2 展示了采样得到的200 组翼型对应的翼型形状.

图2 翼型样本空间Fig.2 Airfoil samples space

针对同状态变翼型算例,输入参数为12 个CST 参数,输出参数为升力系数和力矩系数,我们选取了10 组测试样本对模型进行精度评估,测试样本对应的翼型形状如图3 所示,test 1～test 10 即选取的10 组测试样本对应的翼型的形状.

图3 测试样本翼型Fig.3 Test sample airfoils

研究过程中,我们选取了不同数量的训练样本,研究了气动系数预测误差随训练样本数变化的变化趋势,并且研究了不同阶数的POD 基函数对预测精度的影响.如图4 所示给出了我们所提出的融入分布载荷信息的Kriging 气动力预测模型选取不同阶数POD 基时,随训练样本总数变化的气动系数预测误差曲线,一共选取了1～8 阶基函数,给出了8 条气动系数预测误差曲线,横坐标代表训练样本数,纵坐标代表真值与预测值之间的气动系数绝对误差,其中图4(a)为升力系数预测误差曲线,图4(b)为力矩系数预测误差曲线,两幅图进行综合比较,可以发现当选取前3 阶POD 基函数时(图中黑色线条),预测精度较高.

图4 POD 阶数对预测精度的影响Fig.4 Effect of POD order on prediction accuracy

图5 展示了当训练样本数为30 时,通过本征正交分解技术得到的压力分布信息对应的前三阶POD 基函数,并在图6 展示了前4 组测试样本对应的原始CFD 仿真结果以及基于前三阶POD 基函数反算得到的压力分布,其中黑色虚线代表CFD 仿真结果,红色实线代表经过POD 反算得到的压力分布.

图5 训练样本数为30 时,前三阶压力分布基函数Fig.5 The first three-order pressure distribution basis function when training number is 30

图7 比较了直接建模框架(即基于传统的Kriging 模型,蓝色虚线)和选取前3 阶POD 基函数时基于论文提出的间接建模框架(即融入分布载荷信息的Kriging 模型,红色实线)对于气动力的预测精度.可以看到,融入分布载荷信息的气动力建模方法可以有效提升升力系数预测精度,而对于力矩系数提升效果不是很明显.

图7 直接建模同间接建模误差对比Fig.7 Comparison of error between direct modeling and indirect modeling

图8 和图9 中给出了训练样本数分别为30 和70 时,模型训练10 次,得到的预测误差分布带的箱线图.其中,direct_CL和direct_CM分别代表直接建模得到的升力系数和力矩系数,indirect_CL和indirect_CM分别代表间接建模得到的升力系数和力矩系数,黑色实点代表模型每训练一次对应的10 组测试样本的预测误差均值,红色实点代表位于箱线图上下边缘之内所有黑点的预测误差均值,箱线图对应上边缘为预测误差最大值,下边缘为预测误差最小值,矩形箱体通过预测误差的上下四分之一分位数构成,位于箱线图上下边缘之外的为根据分布得到的异常值.同时,表1 给出了论文提出的模型框架(indirect,POD 阶数为3 阶)与传统的Kriging 模型(direct)对气动系数预测误差以及提升精度.其中,“absolute error”为绝对误差,“relative error”为相对误差,“percentage”表示间接建模相比于直接建模预测的绝对误差降低百分比,为了体现模型的鲁棒性,表中数据为建模30 次之后的统计结果,每次建模均随机打乱训练样本,抽取不同数量的训练样本总数进行研究.可以看到,训练样本数从20 变化到80 时,我们所提出的融入分布载荷信息的建模方法相比于Kriging 直接建模具有较为明显的优势,升力系数的预测精度提升17%～30%,力矩系数的预测精度仅有微小提升.通过气动系数预测误差的箱线图进行比较,相比于Kriging 直接建模,我们提出的气动力建模方法使得预测误差的分散度得到有效降低并提高建模精度.总体而言,融入分布载荷信息的Kriging 气动力建模方法相比于Kriging 直接建模方法对于气动力预测精度更高,模型的泛化性更强,有效缩减学习样本数量.

图8 训练样本数为30 时,预测误差分布带Fig.8 Prediction error distribution band when training number is 30

图9 训练样本数为70 时,预测误差分布带Fig.9 Prediction error distribution band when training number is 70

表1 气动系数预测误差Table 1 Prediction error of aerodynamic coefficient

2.2 CAS350 翼型变状态算例

CAS350 翼型变状态实验数据来源于NPU-NF-3 低速风洞,改变迎角和雷诺数,通过风洞试验获取了116 组实验数据(包含表面压力分布、升力系数、力矩系数),迎角和雷诺数范围分别为:α=-10°～18°,Re=1.0×106,1.5×106,3.0×106,4.0 ×106.如图10 给出了CAS350 翼型外形,并在图11 给出了Re=1×106时,部分压力分布样本数据.

图10 CAS350 翼型外形Fig.10 CAS350 airfoil shape

图11 CAS350 翼型部分压力分布曲线Fig.11 Partial pressure distribution curves of CAS350 airfoil

针对亚声速CAS350 翼型变状态算例,输入参数为迎角和雷诺数,输出参数为气动力.研究过程中通过获取不同数量的样本数,得到气动力预测误差随样本数量变化趋势.每次获取样本过程中,均随机打乱116 组实验数据,截取需要的样本数量,将获取得到的样本分为两部分,80%样本为训练集,用来训练整个学习模型,20%用作测试集,检验模型输出得到的气动系数的精度.

CAS350 翼型属于风力机翼型,翼型厚度比较厚,流动分离明显,呈现出很强的非线性特征,加之实验数据比较少,分布范围比较广,以及风洞试验测压数据存在噪声,故在建模过程中,升力系数的预测误差稍微大一些.

经过测试选用4 阶POD 基函数时,气动系数预测误差最低,如图12 所示给出了气动系数误差随选取样本数变化曲线,横坐标代表样本数,纵坐标代表气动系数绝对误差,图12(a)为升力系数绝对误差图,图12(b)为力矩系数绝对误差图,图中数据均为样本多次随机打乱之后得到的统计结果,可以清晰地看到,融入分布载荷信息的Kriging 气动力建模方法可以有效提升升力系数预测精度,对于力矩系数也具有一定提升精度效果,且随着样本数据的增多,提升效果更加显著.

图12 直接建模同间接建模误差对比Fig.12 Comparison of error between direct modeling and indirect modeling

图13 给出了当样本数为116 时,单次建模过程中的测试状态和测试误差,图13(a)为训练和测试样本状态范围,红色菱形代表训练状态,黑色实点代表测试状态,图13(b)为24 个测试算例中的升力气动系数预测误差对比,图13(c)为对应的力矩气动系数预测误差对比.其中橙色条状代表间接建模方法,绿色条状代表直接建模方法,Kriging 直接建模对应的升力系数和力矩系数绝对误差平均值分别为0.038 2,0.003 38,融入分布信息的间接建模对应的升力系数和力矩系数绝对误差平均值分别为0.021 6,0.003 34.可以看到,对于升力系数,绝大多数测试算例中,橙色条状明显低于绿色条状,从而体现了融入分布信息建模方法相比于直接建模方法能够使升力系数预测精度得到有效提高,而对于力矩系数,这种提升效果并不是很明显.

图13 样本数为116 时,单次建模误差对比Fig.13 Comparison of single modeling error when sample numberis 116

图14 给出了当样本数为116 时,建模10 次之后得到的气动系数绝对误差统计结果的箱线图,其中,红色实心点代表平均误差,可以看到,相比于Kriging 直接建模,间接建模能够显著降低气动力预测误差,并且降低气动系数预测误差的分散度,从而有效提高模型的鲁棒性.表2 总结了样本数分别为40,80,116,直接建模和间接建模两种模型的气动力预测误差的绝对值和相对值,并给出了气动力预测精度提升性能,表中数据为建模30 次之后的统计结果.由于某些状态下,力矩系数值很小,求得的相对误差稍微大点,因此表格中添加了力矩系数的绝对误差.可以看到,随着样本数的增多,直接建模框架和间接建模框架的预测误差均得到有效降低,且间接建模框架相比于直接建模框架能够使升力系数预测误差降低的更多.综合以上分析,提出的融入分布信息的气动力建模方法能够有效提高气动力预测精度,尤其表现在升力系数预测精度,且能够有效降低学习样本的数量,提升模型的鲁棒性.

图14 样本数为116 时,预测误差分布带Fig.14 Prediction error distribution band when sample number is 116

表2 气动系数预测误差Table 2 Prediction error of aerodynamic coefficient

3 结论

论文提出了一种融入压力分布信息的气动力建模方法,通过充分利用采样过程中所产生的压力分布信息,提高了建模的精度、鲁棒性和泛化性,有效缩减了学习样本的数量,从而降低样本获取的成本,主要结论如下.

(1)无论是针对风洞实验数据还是数值模拟数据,论文提出的融入分布载荷信息的气动力建模方法相比于传统的基于Kriging 模型均能有效提高气动力预测精度.

(2)气动力建模过程中,对于不同的研究对象,选取合适阶数的POD 基函数,对于整个气动力建模框架至关重要.

(3)在建模过程中,融入物理信息(压力分布信息)可以有效降低黑箱模型训练样本,解决小样本数据下,模型精度不够,泛化能力较低的难题.

本文在建模过程中,在构建代理模型一和代理模型二时,均采用了Kriging 算法,后续研究工作考虑神经网络去构建这种映射关系,可能精度上还会有所提升,同时在建模过程中如果能嵌入一些物理约束或通过引入多源数据,应该还能够进一步缩小学习样本并提升模型的泛化能力.后续研究也可以将该方法发展至三维机翼气动力建模问题.