具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构动力学行为研究1)

赵雨皓 杜敬涛 陈依林 刘杨

(哈尔滨工程大学动力与能源工程学院,哈尔滨 150001)

引言

梁结构作为一种基本结构单元被广泛应用于建筑、航空、航天、船舶等工程领域.在船舶工程中,轴系结构通常被简化为轴向载荷梁结构进行振动特性分析与减隔振设计.船舶轴系结构的轴向载荷通常由安装方式、推进结构引入.动力设备工作时产生的激励载荷通过连接装置向轴系结构进行传递,引起船舶轴系结构的不利振动.为有效降低轴系结构的振动水平,深刻理解梁结构的振动特性、动力学行为显得尤为重要.

国内外学者针对弹性梁结构的振动特性与动力学响应开展了大量研究.Kang 和Kim[1]总结了关于梁结构振动特性的研究并建立了弹性边界约束梁结构的振动特性分析模型,采用振动力学经典分析方法预报了弹性边界约束梁结构的振动特性并研究了边界条件对梁结构振动特性的影响.为高效预报工程结构的振动特性,文献[2-3]采用傅里叶级数研究了具有特定边界的梁结构振动特性.工程中梁结构通常具有弹性边界支撑,传统傅里叶级数在边界处的不连续性导致其难以准确预报弹性边界梁结构的振动特性.为提高傅里叶级数的工程适用性,Li[4]在传统傅里叶级数的基础上引入四项级数附加项,进而有效改善传统傅里叶级数的边界不连续性.上述改进傅里叶级数具有边界光滑的特性,亦被称为边界光滑傅里叶级数.

众多学者采用边界光滑傅里叶级数开展了关于梁结构振动特性的研究.Li 等[5]采用边界光滑傅里叶级数研究了耦合梁结构振动系统的振动功率流.Wang 等[6]采用边界光滑傅里叶级数研究了声学黑洞梁结构的振动功率流与结构声强.肖伟等[7]采用边界光滑傅里叶级数研究了梁结构的振动特性.文献[8-9]采用光滑边界傅里叶级数研究了多跨梁结构的振动特性.赵雨皓等[10]采用边界光滑傅里叶级数结合能量原理建立了轴向载荷条件下弹性边界约束梁结构的振动特性分析模型,研究了边界条件对梁结构振动特性的影响规律.Xu 等[11]采用边界光滑傅里叶级数结合能量原理建立了具有非均匀弹性支撑的轴向载荷梁结构振动特性分析模型,研究了非均匀地基参数对梁结构振动特性、动力学响应的影响规律.上述研究验证了边界光滑傅里叶级数在预报梁结构振动特性时的准确性与有效性,为工程中准确预报具有弹性边界约束的梁结构的振动特性提供理论支撑.值得一提的是,在研究具有非线性因素的梁结构动力学响应时,具有弹性边界约束的梁结构振动模态函数能够作为非线性振动分析方法中的试函数和权函数.

受振动分析理论的限制,早期研究难以准确预报具有非线性刚度的结构振动系统的动力学响应.在工程中,大量研究致力于消除结构的非线性刚度[12].随着振动分析理论的不断发展,Wagg 和Nield[13]尝试利用非线性刚度降低结构振动系统的振动水平.Gatti 等[14]与Ding 和Chen[15]详细总结了关于非线性刚度的研究,说明非线性刚度的合理利用对工程结构的减振具有有益影响.

在船舶工程中,为保证船舶轴系的结构刚度,通常在船舶轴系中引入中间支撑轴承.支撑轴承通常被简化为等效支撑刚度.需要注意的是,当支撑轴承油膜厚度、润滑效果、配合间隙和安装方式发生变化时,其等效支撑刚度不再呈现线性形式.此外,准零刚度隔振器[16-17]、非线性隔振器[18-20]等非线性结构被提出以提高传统隔振器的隔振性能.因此,研究具有非线性支撑的梁结构的动力学响应具有重要工程意义.

针对具有非线性支撑的梁结构,国内外学者开展了大量研究.文献[21-22]研究了具有非线性边界条件的梁结构控制微分方程解的存在性并通过数值方法求解了上述方程.Özhan 和Pakdemirli[23]研究了具有立方非线性刚度的梁结构振动系统的1/3 共振.Ghayesh 等[24-25]提出了一种针对具有三次非线性刚度和非线性/时变内边界的梁结构振动系统的通用解法并研究了梁结构振动系统的稳定性和非线性动力学响应.Kazemirad 等[26]研究了热环境下具有非线性弹簧-质量支撑的轴向运动梁结构振动系统的非线性振动.Mao 等[27]建立了具有非线性边界的弹性梁结构振动系统的动力学分析模型并通过多尺度法预报了梁结构振动系统的动力学响应,发现非线性边界使得梁结构振动系统幅频响应曲线的峰值发生偏移.Tang 等[28]通过锁相原理计算了具有非线性边界的梁、杆结构的固有频率,为弹性结构非线性振动的求解提供了一种新的思路.Ding 等[29]首次提出了一种可调刚度非线性边界支撑单元,通过伽辽金截断法与有限差分法预报了具有非线性支撑边界的轴向载荷梁结构振动系统的动力学响应,研究了非线性边界支撑单元结构参数变化对梁结构动力学响应的影响规律.文献[30]建立了具有非线性内支撑与非线性边界的轴向载荷梁结构振动特性分析模型并研究了非线性刚度对梁结构动力学响应的影响规律.上述文献主要研究了具有非线性支撑刚度的梁结构稳态动力学响应.在采用数值方法预报梁结构的动力学响应时,其计算初值保持恒定.在工程中,激励频率连续变化时,梁结构的振动响应将短暂保持激励频率变化前的状态,即梁结构激励频率变化后的初始振动响应为其激励频率变化前的振动响应.上述研究未充分考虑梁结构激励频率连续变化的情况.此外,梁结构的边界条件在现有研究中通常为简支边界且非线性支撑的集中质量、边界旋转约束刚度被大多数研究所忽略.

考虑到现有研究的不足,本研究建立具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构振动分析模型.采用伽辽金截断法预报梁结构振动系统的动力学响应并研究截断数对梁结构动力学响应稳定性的影响.采用谐波平衡法研究伽辽金截断法的可靠性.在上述基础上,研究谐波激励扫频方向对梁结构稳态幅频响应的影响.综合考虑工程实际,研究非线性支撑参数对单频激励下梁结构振动系统动力学响应的影响规律.

1 理论模型

本文研究具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构的动力学响应.图1 为具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构的物理模型.如图1 所示,在梁结构两端引入平动约束弹簧与旋转约束弹簧模拟弹性边界条件.kL与kR分别为梁结构两端平动约束弹簧的刚度系数;KL与KR分别为梁结构两端旋转约束弹簧的刚度系数.通过设置边界约束弹簧的刚度系数能够准确模拟经典边界、线弹性边界条件.本文所研究的梁结构模型为Euler-Bernoulli 梁,其中E,L,ρ,CB,S与I分别为梁结构的杨氏模量、长度、密度、黏性阻尼、横截面积以及惯性矩;P为梁结构受到的轴向载荷;u(x,t)为梁结构的横向振动位移;F(x,t)为作用在梁结构上的外部激励载荷.在本研究中,F(x,t)为谐波激励,其具体形式为

图1 具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构物理模型Fig.1 Physical model of the axially loaded beam structure with the nonlinear spring-mass system and elastic boundary restraints

式中,δ(·)为Dirac 函数;xF为谐波激励作用位置;F0为谐波激励幅值;ω为谐波激励角频率.

本文所研究的非线性支撑由集中质量mI、线性刚度kI、非线性刚度knI与黏性阻尼CI组成;xI为非线性支撑的作用位置.需要注意的时,由非线性支撑引入的非线性恢复力FI的表达式为

根据牛顿第二定律与振动力学推导具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构的振动控制方程与弹性边界条件.梁结构振动控制方程的具体表达式为

梁结构x=0 处边界条件的具体表达式为

梁结构x=L处边界条件的具体表达式为

本研究采用伽辽金截断法预报具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构的动力学响应.在伽辽金截断法中,试函数被用于展开梁结构的横向振动位移,权函数被用于离散梁结构振动系统的控制方程.伽辽金截断法中的权函数和试函数应满足梁结构边界条件.值得注意的是,非线性支撑不存在时,具有弹性边界约束的轴向载荷梁结构的模态振型函数满足方程(4)与(5)中的弹性边界条件.因此,本研究选取具有弹性边界约束的轴向载荷梁结构的模态振型函数作为伽辽金截断法的权函数与试函数.

2 模型求解

本研究采用伽辽金截断法预报具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构的动力学响应.具有弹性边界约束的轴向载荷梁结构的模态振型函数作为伽辽金截断法的权函数与试函数.具有弹性边界约束的轴向载荷梁结构的模态振型函数可通过边界光滑傅里叶级数与能量原理准确预报[10].

根据模态叠加原理,将梁结构的横向振动位移展开为

其中,φi(x) 为梁结构横向振动位移的第i阶试函数,即具有弹性边界约束的轴向载荷梁结构的第i阶模态振型函数;qi(t)为对应的第i阶时间项;N为位移截断数.

将方程(6)代入方程(3)中,利用伽辽金离散条件,建立梁结构振动系统的残差方程.在本研究中,梁结构振动系统的残差方程截断数为M.梁结构振动系统的第j阶残差方程的具体表达式如下

将梁结构振动系统的残差方程简化为

方程(8)中各残差项的具体表达形式为

考虑到方程(9c)与(9g)含有加速度项,为求解梁结构振动系统的残差方程,将方程(8)中含有加速度的残差项移至等式一侧.方程(8)被改写为

将R3j与R7j展开为含有时间项的形式,即

将方程(11)代入方程(10)中并将方程(10)改写为

其中Tj=R1j+R2j+R4j+R5j+R6j+R8j+R9j.

在上述基础上,将由方程(12)描述的梁结构振动系统的残差方程整理为矩阵的形式,即

其中Dji为加速度项前的常系数.

方程(13)中加速度项前的常系数矩阵为非单位阵,需对方程(13)做进一步变换.通过矩阵逆运算,将方程(13)改写为

所以近距离用眼30-40分钟一定要远眺，恢复看远的调节功能缓解视疲劳。戏曲大师梅兰芳和孙悟空的扮演者六小龄童都是高度近视，他们的自传里都有记载，梅兰芳看金鱼的游动锻炼眼球转动功能，六小龄童是通过放飞鸽子锻炼看远功能。打乒乓球、羽毛球都是锻炼眼球的好方法。

方程(14)中的常系数矩阵为方程(13)中常系数矩阵的逆矩阵.

方程(14)可通过数值算法进行求解.本研究采用4 阶龙格库塔算法求解方程(14).将方程(14)的计算结果代入方程(6)中即可得到具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构任意点的动力学响应.

3 数值结果与分析

根据前文推导结果,本节采用数值仿真软件对具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构的动力学响应进行编程仿真.首先,研究伽辽金截断法在预报梁结构动力学响应时的稳定性.采用谐波平衡法验证由伽辽金截断法预报的梁结构动力学响应的正确性.在此基础上,研究非线性支撑参数对轴向载荷梁结构动力学响应影响规律.

本文研究梁结构的稳态动力学响应.在后续研究中,为保证梁结构的瞬态动力学响应完全消失,选取0～500Te作为伽辽金截断法的时域仿真计算区间.Te为谐波激励的作用周期.选取401Te～500Te的时域仿真计算结果作为梁结构的稳态动力学响应.

3.1 模型验证

本节研究伽辽金截断法在预报具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构动力学响应时的稳定性与可靠性.一方面,研究截断数对伽辽金截断法稳定性的影响.另一方面,对比采用伽辽金截断法与谐波平衡法得到的梁结构动力学响应,研究伽辽金截断法的可靠性.

在本研究中,谐波激励的激励幅值为F0=10 N,谐波激励的位置为xF=0 m,激励频率的变化范围为1～200 Hz.梁结构的材料参数与几何参数见表1.梁结构的边界约束弹簧刚度系数见表2.非线性支撑参数见表3.

表1 梁结构材料参数与几何参数Table 1 Geometric and materials parameters of the beam structure

表2 边界约束弹簧刚度系数Table 2 Stiffness coefficients of boundary restrained springs

表3 非线性支撑参数Table 3 Parameters of the nonlinear support

首先,研究截断数对伽辽金截断法稳定性的影响.梁结构参数、边界约束弹簧刚度系数与非线性支撑参数见表1～表3.采用4 阶龙格-库塔算法求解方程(14)时,为保证残差方程的系数矩阵为方阵,设置伽辽金截断法的截断数为N=M.伽辽金截断法的计算初值设置为

图2 为伽辽金截断法的截断数为2,4,6,8 时梁结构两端的稳态幅频响应曲线.在绘制梁结构幅频响应曲线时,选取对应激励频率下梁结构401Te～500Te时域响应绝对值中的极大值作为y坐标,激励频率作为x坐标.在后续研究中,梁结构幅频响应曲线均采用上述方式绘制.由图2 可知,当伽辽金截断法的截断数达到4 后,梁结构两端稳态幅频响应曲线趋于稳定.上述现象说明伽辽金截断法在预报具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构的动力学响应时具有良好的稳定性.在本文后续的研究中,选取伽辽金截断法的截断数为N=M=4.

图2 不同截断数下梁结构两端稳态幅频响应曲线Fig.2 Stable amplitude-frequency response curves at both ends of the beam structure with different truncation numbers

在上述研究基础上,对比采用伽辽金截断法与谐波平衡法得到的梁结构动力学响应结果,研究伽辽金截断法的可靠性.采用谐波平衡法预报梁结构

将上述谐波形式代入方程(7)中,利用三角函数和差化积公式将立方项进行替换.通过保留一次谐波项构建谐波待定系数方程组.采用弧长延拓法求解该方程组即可得到谐波项前的待定系数.将方程(16)得到的谐波解代入式(6)中即可得到梁结构的动力学响应.梁结构参数、边界约束弹簧刚度系数与非线性支撑参数见表1～表3.图3 为采用谐波平衡法与伽辽金截断法得到的具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构振动系统端点处的稳态幅频响应曲线.由图3 可知,伽辽金截断法预报的梁结构动力学响应结果与谐波平衡法预报的梁结构动力学响应结果吻合良好,验证了伽辽金截断法在预报本文模型动力学响应时的可靠性.

图3 Galerkin 截断法与谐波平衡法预测的梁结构两端稳态幅频响应曲线对比Fig.3 Stable amplitude-frequency response curves at both ends of the beam structure predicted by the Galerkin truncated method and harmonic balance method

综上所述,伽辽金截断法在预报具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构的动力学响应时具有良好的稳定性与可靠性.

3.2 谐波激励正向、反向扫频对梁结构稳态幅频响应的影响

工程中动力设备在达到额定工况前需经历转速升高或转速降低的过程.动力设备的转速变化对其结构振动具有显著影响.值得注意的是,转速变化时,动力设备的结构振动响应将短暂保持其变化前的状态,即动力设备转速变化后的初始振动响应为其转速变化前的振动响应.

考虑到实际工程情况,本节研究谐波激励正向扫频、反向扫频对具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构两端稳态幅频响应曲线的影响.谐波激励正向扫频与反向扫频时,采用前一阶谐波激励频率下截止时刻的响应结果作为当前谐波激励下的伽辽金截断法计算初值.初始谐波激励的计算初值、谐波激励参数、梁结构参数与边界约束弹簧刚度系数与3.1 中一致.

首先,研究谐波激励正向扫频与反向扫频对具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构两端稳态幅频响应曲线的影响.非线性支撑的非线性刚度系数为knI=5×1010N/m3;非线性支撑的其他参数见表3.

图4 为谐波激励正向扫频(1 Hz→200 Hz)、反向扫频(200 Hz→1 Hz)时梁结构两端的稳态幅频响应曲线(knI=5×1010N/m3).由图4 可知,当谐波激励进行正向扫频、反向扫频时,梁结构两端稳态幅频响应曲线均在第二阶主共振区出现峰值跳跃现象.通过谐波激励正向扫频、反向扫频得到的稳态幅频响应曲线在第二阶主共振区处存在显著差异.谐波激励正向扫频时,梁结构稳态幅频响应曲线在120 Hz 处发生峰值跳跃.谐波激励反向扫频时,梁结构稳态幅频响应曲线在114 Hz 处发生峰值跳跃.在第二阶主共振区附近,反向扫频得到的稳态幅频响应曲线峰值小于正向扫频得到的稳态幅频响应曲线峰值.产生上述现象的原因是具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构的动力学响应具有初值敏感性.当谐波激励频率接近梁结构稳态幅频响应曲线的第二阶主共振区时,谐波激励正向扫频、反向扫频对应的动力学响应初值存在差异.动力学响应初值的差异使得梁结构两端稳态幅频响应曲线在正向扫频、反向扫频时呈现出不同特性.

图4 正向、反向扫频下梁结构两端稳态幅频响应曲线(knI=5×1010 N/m3)Fig.4 Stable amplitude-frequency response curves at both ends of the beam structure under the forward and reverse sweep(knI=5×1010 N/m3)

在上述基础上,研究非线性刚度为knI=8×1010N/m3时,谐波激励正向扫频与反向扫频对具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构两端稳态幅频响应曲线的影响.非线性支撑位置为xI=0.3 m,非线性支撑的其他参数与本节前述部分一致.

图5 为谐波激励正向扫频(1 Hz→200 Hz)、反向扫频(200 Hz→1 Hz)时梁结构两端的稳态幅频响应曲线(knI=8×1010N/m3).由图5 可知,当谐波激励进行正向扫频、反向扫频时,梁结构两端稳态幅频响应曲线在第一、二阶主共振区出现峰值跳跃现象.谐波激励正向扫频时,梁结构稳态幅频响应曲线在43 Hz,120 Hz 处发生峰值跳跃.谐波激励反向扫频时,梁结构稳态幅频响应曲线在42 Hz,115 Hz 处发生峰值跳跃.通过谐波激励正向扫频、反向扫频得到的稳态幅频响应曲线在第一、二阶主共振区处均存在显著差异.不稳定区出现在梁结构稳态幅频响应曲线的第二阶主共振区处.为深入研究梁结构的振动状态,绘制了梁结构稳态幅频响应曲线中不稳定区的相图.本节所研究的相图均采用401Te～500Te的稳态计算结果进行绘制.同时,在相图中绘制了庞加莱点.由相图结果可知,庞加莱点组成一条闭合曲线且相轨迹趋于稳定.上述现象说明梁结构稳态响应曲线的不稳定区呈现准周期振动状态.需要注意的是,准周期振动状态介于多周期振动状态与混沌振动状态之间.准周期振动状态易在外界扰动的作用下转换为混沌振动状态,对梁结构的振动控制产生不利的影响.

图5 正向、反向扫频下的梁结构两端稳态幅频响应曲线(knI=8×1010 N/m3)Fig.5 Stable amplitude-frequency response curves at both ends of the beam structure under the forward and reverse sweep(knI=8×1010 N/m3)

对比图4 与图5 结果可知,非线性刚度的增加扩大了梁结构正向扫频稳态幅频响应曲线与梁结构反向扫频稳态幅频响应曲线之间的差异.

综上所述,具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构的动力学响应具有初值敏感性.由于非线性支撑的存在,梁结构正向扫频稳态幅频响应曲线与其反向扫频稳态幅频响应曲线存在显著差异且非线性刚度能够改变梁结构的振动状态.

3.3 非线性支撑对单频谐波激励下梁结构动力学响应的影响

工程中为提高动力装置的使用寿命,动力装置通常在其额定工况下进行工作.当动力设备处于额定工况时,其产生的谐波激励处于稳定状态.结构受到的谐波激励通常由动力装置引入.动力装置安装完成后,其支撑形式、安装位置以及谐波激励的作用位置难以变更.在船舶工程中,船舶轴系通常被简化为具有内支撑的轴向载荷梁结构,其所受的谐波激励通常作用于梁结构端部.值得注意的是,支撑结构的作用位置取决于主结构的剩余安装空间.综合考虑工程实际情况,本节研究非线性支撑的集中质量、阻尼以及非线性刚度对单频激励下具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构动力学响应的影响规律.在研究非线性支撑参数对梁结构单频激励下动力学响应的影响规律时,当梁结构在单频激励下的振动状态发生改变时,对应的非线性支撑参数的数值定义为该非线性支撑参数的临界值.梁结构参数、边界约束弹簧刚度系数、伽辽金截断法的计算初值以及谐波激励参数与3.1 中使用的参数一致.谐波激励频率为45 Hz 与115 Hz,其分别位于梁结构稳态幅频响应曲线的第一、二阶主共振区附近.

在绘制梁结构动力学响应随非线性支撑参数变化的响应曲线时,选取单频激励下梁结构401Te～500Te时域响应绝对值中的极大值作为y坐标,激励频率作为x坐标.在后续研究中,相关曲线均采用上述方式绘制.本节所研究的相图、时域图均采用401Te～500Te的稳态计算结果进行绘制.

首先,研究非线性刚度对单频激励下具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构动力学响应的影响规律.非线性支撑的非线性刚度由108N/m3变化至1014N/m3.非线性支撑的位置参数为xI=0.3 m,非线性支撑的其他参数见表3.

图6 为谐波激励45 Hz 下的梁结构两端稳态幅值-非线性刚度响应曲线.由图6 可知,非线性刚度对45 Hz 谐波激励下梁结构的动力学响应具有显著影响.非线性刚度对梁结构动力学响应的影响存在临界值.当非线性刚度超过临界值时,梁结构的振动状态发生变化.对于本部分研究,非线性刚度的临界值为1012.74N/m3与1013.64N/m3.当非线性刚度位于1012.74N/m3至1013.64N/m3之间时,稳态幅值-非线性刚度响应曲线出现不稳定区.为深入研究梁结构的振动特性,绘制了稳态幅值-非线性刚度响应曲线中不稳定区的相图与时域图.在相图中绘制了庞加莱点.由相图与时域图结果可知,庞加莱点组成一条闭合曲线且相轨迹、时域波形均趋于稳定.上述现象说明梁结构稳态幅值-非线性刚度响应曲线(f=45 Hz)的不稳定区呈现准周期振动状态.

图6 单频激励下梁结构两端稳态幅值-非线性刚度响应曲线(f=45 Hz)Fig.6 Stable amplitude-nonlinear-stiffness response curves at both ends of the beam structure under the single-frequency excitation(f=45 Hz)

图7 为谐波激励115 Hz 下的梁结构两端稳态幅值-非线性刚度响应曲线.由图7 可知,非线性刚度对115 Hz 谐波激励下梁结构的动力学响应的影响存在临界值.对于本部分研究,非线性刚度的临界值为1011.08N/m3与1013.64N/m3.当非线性刚度位于1011.08N/m3至1013.64N/m3之间时,稳态幅值-非线性刚度响应曲线出现不稳定区.为深入研究梁结构的振动特性,绘制了稳态幅值-非线性刚度响应曲线中不稳定区的相图与时域图.在相图中绘制了庞加莱点.由相图与时域图结果可知,庞加莱点呈现无序状态且相轨迹、时域波形均不稳定.上述现象说明梁结构稳态幅值-非线性刚度响应曲线(f=115 Hz)的不稳定区呈现混沌振动状态.

图7 单频激励下梁结构两端稳态幅值-非线性刚度响应曲线(f=115 Hz)Fig.7 Stable amplitude-nonlinear-stiffness response curves at both ends of the beam structure under the single-frequency excitation (f=115 Hz)

对比图6 与图7 可知,45 Hz 谐波激励频率下梁结构稳态幅值-非线性刚度响应曲线不稳定区的位置与115 Hz 谐波激励频率下梁结构稳态幅值-非线性刚度响应曲线不稳定区的位置存在差异.非线性刚度的存在能够引起梁结构的复杂动力学行为.合适的非线性刚度参数能够降低梁结构右边界稳态响应曲线的振动幅值.

其次,研究非线性支撑黏性阻尼对单频激励下具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构动力学响应的影响规律.非线性支撑的黏性阻尼由1 N·s/m 变化至50 N·s/m.非线性支撑的非线性刚度为knI=1011N/m3.非线性支撑的其他与本节前述部分一致.

图8 为谐波激励45 Hz 时的梁结构两端稳态幅值-黏性阻尼响应曲线.由图8 可知,在45 Hz 谐波激励频率下,稳态幅值-黏性阻尼响应曲线始终保持稳定.当非线性支撑黏性阻尼为3.9 N·s/m 时,稳态幅值-黏性阻尼响应曲线出现峰值跳跃现象.对于梁结构左边界,非线性支撑的黏性阻尼在1 N·s/m 至3.9 N·s/m 之间时,非线性支撑黏性阻尼的增加使得梁结构左边界处的振动幅值降低.非线性支撑的黏性阻尼在3.9 N·s/m 至50 N·s/m 之间时,非线性支撑黏性阻尼的增加使得梁结构左边界处的振动幅值升高.对于梁结构右边界,非线性支撑的黏性阻尼在1 N·s/m 至3.9 N·s/m 之间时,非线性支撑黏性阻尼的增加使得梁结构右边界处的振动幅值升高.非线性支撑的黏性阻尼在3.9 N·s/m 至50 N·s/m 之间时,非线性支撑黏性阻尼的增加使得梁结构右边界处的振动幅值降低.

图8 单频激励下梁结构两端稳态幅值-黏性阻尼响应曲线(f=45 Hz)Fig.8 Stable amplitude-viscous-damping response curves at both ends of the beam structure under the single-frequency excitation (f=45 Hz)

图9 为谐波激励115 Hz 下的梁结构两端稳态幅值-黏性阻尼响应曲线.由图9 可知,非线性支撑黏性阻尼对115 Hz 谐波激励下梁结构动力学响应的影响存在临界值.非线性支撑黏性阻尼的临界值为4.9 N·s/m.非线性支撑黏性阻尼在1 N·s/m 至4.9 N·s/m 之间时,稳态幅值-黏性阻尼响应曲线出现不稳定区.为深入研究梁结构的振动特性,绘制了稳态幅值-黏性阻尼响应曲线中不稳定区的相图与时域图.在相图中绘制了庞加莱点.由相图与时域图结果可知,庞加莱点呈现无序状态且相轨迹、时域波形均不稳定.上述现象说明梁结构稳态幅值-黏性阻尼响应曲线(f=115 Hz)的不稳定区呈现混沌振动状态.

对比图8 与图9 可知,45 Hz 谐波激励频率下梁结构稳态幅值-黏性阻尼响应曲线始终保持稳定而115 Hz 谐波激励频率下梁结构稳态幅值-黏性阻尼响应曲线存在不稳定区.非线性支撑阻尼的增加能够抑制梁结构的复杂动力学响应.合适的非线性支撑黏性阻尼能够降低梁结构边界处的振动.

图9 单频激励下梁结构两端稳态幅值-黏性阻尼响应曲线(f=115 Hz)Fig.9 Stable amplitude-viscous-damping response curves at both ends of the beam structure under the single-frequency excitation (f=115 Hz)

最后,研究非线性支撑的集中质量对单频激励下具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构动力学响应的影响规律.非线性支撑的集中质量由0.01 kg 变化至0.05 kg.非线性支撑的非线性刚度为knI=8×1010N/m3.非线性支撑的其他参数与本节前述部分一致.

图10 为谐波激励45 Hz 下的梁结构两端稳态幅值-集中质量响应曲线.由图10 可知,在45 Hz 谐波激励频率下,稳态幅值-非线性支撑质量曲线始终保持稳定.对于梁结构左边界,非线性支撑质量在0.01 kg 至0.05 kg 之间时,集中质量的增加使得梁结构左边界处的振动幅值升高.对于梁结构右边界,非线性支撑质量在0.01 kg 至0.05 kg 之间时,集中质量的增加使得梁结构右边界处的振动幅值降低.

图10 单频激励下梁结构两端稳态幅值-集中质量响应曲线(f=45 Hz)Fig.10 Stable amplitude-concentrated-mass response curves at both ends of the beam structure under the single-frequency excitation(f=45 Hz)

图11 为谐波激励115 Hz 下的梁结构两端稳态幅值-集中质量响应曲线.由图11 可知,非线性支撑集中质量对115 Hz 谐波激励下梁结构动力学响应的影响存在临界值.对于本部分研究,非线性支撑集中质量的临界值为0.031 kg.非线性支撑黏性阻尼在0.01 kg 至0.031 kg 之间时,稳态幅值-集中质量响应曲线出现不稳定区.为深入研究梁结构的振动特性,绘制了稳态幅值-集中响应曲线中不稳定区的相图与时域图.在相图中绘制了庞加莱点.由相图与时域图结果可知,庞加莱点形成一条封闭曲线且相轨迹、时域波形均趋于稳定.上述现象说明梁结构稳态幅值-集中质量响应曲线(f=115 Hz)的不稳定区呈现准周期振动状态.

对比图10 与图11 可知,45 Hz 谐波激励频率下梁结构稳态幅值-集中质量响应曲线始终保持稳定而115 Hz 谐波激励频率下梁结构稳态幅值-集中质量响应曲线存在不稳定区.合理的选择非线性支撑的集中质量对梁结构边界处的减振具有有益效果.

图11 单频激励下梁结构两端稳态幅值-集中质量响应曲线(f=115 Hz)Fig.11 Stable amplitude-concentrated-mass response curves at both ends of the beam structure under the single-frequency excitation(f=115 Hz)

综上所述,非线性支撑参数对单频激励下具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构振动系统的动力学响应具有显著影响.在一些非线性支撑参数下,梁结构振动系统出现复杂的动力学行为.一方面,合适的非线性支撑参数能够抑制梁结构的复杂动力学行为;另一方面,合适的非线性支撑参数对梁结构边界处的减振具有有益效果.

4 结论

本文建立了具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构动力学行为预报模型.采用伽辽金截断法预报梁结构振动系统的稳态动力学响应并研究了伽辽金截断法的稳定性.通过谐波平衡法研究了伽辽金截断法的可靠性.在上述基础上,研究了谐波激励扫频方向对梁结构稳态幅频响应的影响.综合考虑工程情况,研究了非线性支撑参数对单频激励下梁结构振动系统动力学响应的影响规律,得出主要结论如下.

(1)采用伽辽金截断法能够准确预报具有非线支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构振动系统的动力学响应.当伽辽金截断法的截断数为4 时,梁结构振动系统的动力学响应收敛.

(2)具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构的动力学响应具有初值敏感性.谐波激励的扫频方向对梁结构振动系统的稳态幅频响应曲线影响显著.非线性支撑的非线性刚度使得梁结构出现复杂动力学行为.

(3)非线性支撑参数对单频激励下具有非线性支撑和弹性边界约束的轴向载荷梁结构振动系统的动力学响应具有显著影响.在一些非线性支撑参数下,梁结构振动系统出现复杂的动力学行为.

(4)通过选择合适的非线性支撑参数,能够有效抑制梁结构的复杂动力学行为并且对梁结构边界处的减振具有显著效果.