基于强震记录的多维地震动降维建模

2022-09-30刘章军姜云木刘子心岳庆霞

振动与冲击 2022年18期

刘章军，姜云木，刘子心，岳庆霞

(1. 三峡大学水利与环境学院，湖北宜昌 443002； 2. 武汉工程大学土木工程与建筑学院，武汉 430074； 3. 防灾科技学院中国地震局建筑物破坏机理与防御重点实验室，河北三河 065201； 4. 山东建筑大学建筑结构加固改造与地下空间工程教育部重点实验室，济南 250101)

我国位于环太平洋地震带与欧亚地震带交汇处，断裂带分布广泛，频发的地震灾害对经济建设造成了不可估量的损失[1]。研究表明，地震动是一个典型的多分量共同运动过程，通常包含3个平动分量和3个转动分量。由于转动分量的研究受到目前强震观测水平的限制，进展较为缓慢[2]，因此本文仅考虑3个平动分量。实践表明，大型工程结构在多维地震作用下的动力反应与破坏模式更加复杂，因此，在抗震分析时应充分考虑地震动的多维特性[3]。然而，受场地条件等客观因素限制，现有的实测多维强震记录难以完全满足工程分析中对地震动输入的各种需求。因此，多维地震动的人工模拟方法近年来受到广泛关注。

目前，基于地震动过程的随机模型，考虑平动方向分量间的相干性及参数关系，即可实现多维地震动的建模。在此方面，国内外学者取得了一系列成果。对于多维地震动各分量间的相干性，目前广泛应用的是松岛丰相干函数模型[4]，该模型将不同方向分量间的相干性简化成一个包络常数，实现了多维地震动相干性的简化定量描述；李忠献等[5]根据抗震规范中多维地震动加速度分量最大值的调整比例，确定了三方向分量功率谱的比值，并建议了一种多维地震动相干函数模型。对于多维地震动演变功率谱的建模，黄玉平等[6]对11组水平双向地震加速度记录进行统计分析，发现两水平方向地震动分量的相关性较高，平均自功率谱的形状大致相同，互功率谱的形状与自功率谱相近；薛素铎等[7]根据地震动波动理论，总结了水平方向分量与竖直方向分量的场地卓越圆频率以及谱强度因子之间的关系；李英民等[8]基于实测强震记录，建议了一种适用于多维地震动的四段强度调制函数模型，并给出了不同地震动分组与场地类别所对应的参数取值。此外，Penzien等[9]建议了地震动的主轴模型，其广泛应用于多维地震动抗震分析的反应谱法中；Bozorgnia等[10]对多维地震动的工程特性进行了研究，给出了竖向地震动的反应谱规律；Bommer等[11]提出了一种可以预测地震动竖向分量与水平分量加速度反应谱比值的模型。

虽然上述研究在多维地震动建模方面取得了较大进展，但仍存在如下问题：①对于多维地震动平动分量之间的相干性，提出的模型过于简化，且尚未考虑相干性随频率的变化规律；②并未从强度、频谱和持时等工程特性方面系统地建立多维地震动演变功率谱模型；③选用的实测多维强震记录偏少，导致提出的模型适用性有限。针对上述研究现状，本文拟根据筛选的1 766组实测多维强震记录，开展以下工作：首先，研究多维地震动平动分量间的相干性，建议一类较为精确的多维相干函数模型；其次，着眼于地震动的工程特性，建立多维地震动的演变功率谱模型；最后，基于本征正交分解的随机向量过程降维方法[12-14]，实现仅用两个基本随机变量即可有效模拟多维地震动向量过程。由于降维方法生成的代表性时程具有完备的概率信息，因此可与概率密度演化理论[15-16]结合，实现多维地震作用下复杂工程结构的精细化动力反应及可靠度分析。

1 实测地震动记录的选取

本文从美国太平洋地震工程研究中心NGA-West2地震动数据库中筛选了1 766组实测多维强震记录，其筛选原则如下：

(1)断层距离应大于10 km，以减少近场效应的影响。

(2)实测强震记录的矩震级应大于5，以排除对结构影响较小的地震动。

对于选取的实测强震记录，Rjb(Joyner-Boore距离，即地震记录台站到断层面表面投影的最短距离)范围为0～540 km；VS30(地表以下30 m内平均剪切波速)范围为106.83～1 525.85 m/s；矩震级MW范围为5.0～7.9。

同时，根据VS30将实测强震记录按照GB 18306—2015《中国地震动参数区划图》[17]中建议的I0，I1，II，III，IV五类场地进行分类。结合相关研究成果[18-19]，表1给出了场地类别与VS30的对应关系及实测记录数量。

表1 场地分类与VS30的对应关系Tab.1 The relationship between the soil site classification and VS30

进一步，对实测强震记录进行四阶Butterworth滤波处理以及1%～99%内能量截取，以保证结果的可靠性。

2 多维地震动相干函数模型

日本学者松岛丰提出的多维地震动相干函数模型

(1)

式中:γ为相干函数矩阵；非对角元素γij(j≠i)为多维地震动的第i个与第j个平动分量间的相干性。该模型将多维地震动的相干性简化成一种包络常数，便于应用，但其高估了地震动平动分量间的相干性，且未能体现随频率的变化趋势。为此，本文根据选取的实测强震记录，对多维地震动的相干性进行建模。

实际上，地震动的相干效应包括迟滞相干效应、行波效应和局部场地效应，由于本文研究的是同一点处不同方向分量间的相干性，因此仅涉及到迟滞相干效应，故将迟滞相干函数简称为相干函数。

根据式(2)，分别计算1 766组不同方向分量间的实测相干函数，其均值与标准差如图1所示。

图1 实测多维强震记录不同方向分量间相干函数的均值及标准差Fig.1 Mean and standard derivation of the coherence function between different directional components of measured multi-dimensional ground motion records

由图1可见，地震动不同方向分量间的相干性类似地震动的包络函数，大致呈现出先递增、再平稳、后衰减的趋势，且峰值在0.6左右；而标准差先增大后减小。据此，本文建议了一种傅里叶级数模型

Ckcos(k×D×ω)]

(3)

(4)

表2 相干函数模型参数取值Tab.2 Parameter values of the proposed coherence function model

图2给出了相干函数模型与实测相干函数均值的对比。可见，相干函数模型能够反映多维地震动相干性随频率变化的趋势，验证了该模型的有效性。

图2 多维地震动相干函数模型与实测记录拟合结果Fig.2 Fitting results of multi-dimensional ground motion coherence function model and the measured records

3 多维地震动的演变功率谱的建模

3.1 多维地震动的演变功率谱模型

多维地震动平动分量均采用统一的演变功率谱模型，其区别在于模型参数的取值不同。为简便之，采用强度非平稳的演变功率谱模型[20]

(5)

对于强度调制函数，采用王光远提出的指数模型

(6)

式中:ci为地震动峰值到达时刻；di为强度调制函数的形状参数。于是，强度调制函数的参数向量λq,i=(ci,di)。

平稳地震动加速度过程的双边功率谱采用经典的Kanai-Tajimi谱模型[21]

式中：ωg,i和ξg，i分别为场地土的卓越圆频率和阻尼比；S0,i为谱强度因子，其表达式为[22]

(8)

根据式(6)～式(8)，多维地震动的演变功率谱S(ω,t;λS,i)的参数向量λS,i为

(9)

3.2 多维地震动的持时特性参数识别

(10)

表3 多维地震动强度调制函数参数取值Tab.3 Parameter values of intensity modulation function upon multi-dimensional ground motions

3.3 多维地震动的频谱特性参数识别

(11)

于是，假定同一组实测强震记录各分量的场地土阻尼比相等，则对于第m组的第i、第j个平动分量间的卓越圆频率之比为

(12)

表4给出了不同场地平动分量间的卓越圆频率之比的均值。可见，水平分量间的卓越圆频率大致相同，且通常小于竖向分量的卓越圆频率。

表4 多维地震动卓越圆频率比值Tab.4 Ratio of predominant circular frequency of multi-dimensional ground motion

3.4 多维地震动的幅值特性参数识别

(13)

对于具有演变功率谱S(ω,t;λS,i)的地震动过程，其能量曲线P(t;λS,i)可定义为

(14)

令

(15)

由帕萨瓦尔定理可知，信号的时域总能量与频域总能量相等，即

由此，可得

(17)

(18)

(19)

表5给出了不同场地类别的多维地震动平动分量间峰值因子比值以及峰值加速度比值的均值。可见，水平分量间的峰值因子以及峰值加速度都大体相同，而水平分量与竖向分量的峰值因子比值随场地土变软弱而逐渐变小，峰值加速度比值则具有完全相反的变化趋势。

表5 峰值因子比值与峰值加速度比值Tab.5 Peak factor ratio and peak acceleration ratio

总之，通过给定x向分量的演变功率谱模型参数，根据3.2节、3.3节及3.4节，便可得到其他方向分量的演变功率谱参数。进一步，将不同方向的演变功率谱模型参数分别代入式(5)，即可得到多维地震动三方向分量的演变功率谱密度函数S(ω,t;λS,1)，S(ω,t;λS,2)和S(ω，t;λS,3)。

4 基于POD的多维地震动降维模拟

4.1 基于正交随机变量的POD表达

工程上常将多维地震动看作零均值的1D-3V(一维三变量)随机向量过程，进而可采用本征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD)方法进行模拟。令随机向量过程u(t)=[u1(t),u2(t),u3(t)]，其中u1(t),u2(t)和u3(t)分别表示x,y和z向的地震动分量过程，其演变功率谱密度矩阵S(ω,t)可表示为

(20)

其中，S(ω,t)可分解为如下的形式

(21)

(22)

式中：特征向量矩阵Ψ(ω)=[ψ1(ω),ψ2(ω),ψ3(ω)]；特征值对角矩阵Λ(ω)=diag[Λ1(ω),Λ2(ω),Λ3(ω)]；I为3×3阶的单位矩阵。

进一步地，令

ψj(ω)=χj(ω)+iZj(ω)，j=1,2,3

(23)

式中:i为虚数单位;χj(ω)=[χ1j(ω),χ2j(ω),χ3j(ω)]T;Zj(ω)=[Z1j(ω),Z2j(ω),Z3j(ω)]T。

根据刘章军的研究及文献[24]，多维地震动过程u(t)的第i个分量过程ui(t)的POD表达式为

[χij(ωk)(Rjkcosωkt-Ijksinωkt)-

Zij(ωk)(Rjksinωkt+Ijkcosωkt)]，i=1,2,3(24)

式中:N为频率离散点数；Δω为频率步长；Rjk和Ijk为零均值的正交随机变量，满足以下基本条件

(25)

4.2 正交随机变量的降维表达

随机向量过程的POD方法在本质上属于Monte Carlo方法。该方法通常需要大量随机抽样才能达到令人满意的模拟精度：一方面，高维随机变量导致生成的样本数量巨大，严重影响结构动力反应分析的计算效率；另一方面，随机抽样的本质导致生成的样本概率信息不完备，无法对结构进行精细化动力反应分析和动力可靠性评价。为克服上述挑战，本文引入基于随机函数的降维思想，将正交随机变量{Rjk,Ijk}定义为如下的随机函数形式

(26)

式中，Θq(q=1,2)为在区间(0,2π]内均匀分布且相互独立的基本随机变量。

显然，式(26)定义的随机函数形式完全满足式(25)的基本条件。通过降维方法，仅需两个基本随机变量即可精细化模拟多维地震动过程，且生成的代表性时程构成一个完备的概率集，为与概率密度演化方法结合实现复杂结构精细化动力反应分析与动力可靠性评价奠定了有力基础。

5 模拟步骤

多维地震动过程的模拟步骤如下：

步骤2构造多维地震动过程的演变功率谱模型。给定x向分量的演变功率谱参数，随后根据表3、表4和表5确定y,z向分量的演变功率谱参数。将参数代入式(5)～式(7)，即可确定多维地震动的演变功率谱S(ω,t;λS,i)。

步骤4确定正交随机变量集{Rjk,Ijk}。将步骤3中生成的Θq(q=1,2)的代表性点集代入式(26)，此处，需要注意的是，为实现多维地震动向量过程的模拟，需要进行确定性的随机序列变换(s,l)→(j,k)。这一确定性的一一映射过程可以通过MATLAB工具箱中的rand(‘state’,0)和temp=randperm(3×N)函数实现。这样，即可唯一确定正交随机变量集{Rjk,Ijk}。

6 数值算例

在本算例中，以II类场地为例，地震动设防烈度为8度，模拟持时30 s，时间步长0.01 s，截断频率240 rad/s，频率步长0.15 rad/s，代表性时程数量为144，演变功率谱参数的取值具体如表6所示。

表6 多维地震动演变功率谱取值Tab.6 Evolutionary power spectrum parameter values of simulated multi-dimensional ground motion

图3为采用降维方法生成的多维地震动。其中，图3(a)为多维地震动的代表性时程；图3(b)为相干函数模拟值与实测强震记录的对比结果；图3(c)为演变功率谱模拟值与相应目标值的对比结果。从图3(a)可以看出，不同方向分量的地震动代表性时程在持时、频谱、幅值等方面都显示出较大的差异性，具有显著的多维地震动特征。从图3(b)和图3(c)可以看出，相干函数的模拟值和演变功率谱的模拟值均与各自的目标值拟合良好，证明了降维方法的有效性。

图3 采用降维模拟方法生成的多维地震动结果Fig.3 Simulation results of multi-dimensional ground motion generated by the dimension-reduction method

为进一步证明降维方法的精确性，表7分别计算了144条和987条代表性时程的均值平均相对误差与标准差平均相对误差。可以看出，当仅生成144条代表性时程时，均值与标准差的平均相对误差均小于5%，满足工程需求，证明了降维方法的精确性。此外，随着代表性时程的增加，均值与标准差的平均相对误差均逐渐减小，证明了降维方法具有收敛性。

表7 降维模拟方法的均值与标准差平均相对误差Tab.7 Average relative errors of mean and standard deviation upon the dimension-reduction simulation method

为了进一步验证多维地震动演变功率谱的工程适用性，图4和图5给出了II类场地不同方向分量反应谱和幅值谱模拟值与实测强震记录的对比。为了便于对比，本文将代表性时程与实测强震记录均调幅至200 cm/s2。可见，本文的模拟结果与实测记录拟合良好，且实测强震记录均包含在模拟均值加/减一倍标准差范围内，充分验证了本文提出的多维地震动模型的有效性。