铝液滴撞击曲面的流动特性分析*

2022-09-30李逢超付宇李超杨建刚胡春波

物理学报 2022年18期

李逢超付宇李超杨建刚胡春波

1) (西北工业大学,燃烧、热结构与内流场重点实验室,西安 710072)

2) (西北工业大学无人系统技术研究院,西安 710072)

为揭示高表面张力的铝液滴撞击弯曲壁面的铺展机制,基于流体体积方法建立了铝液滴撞壁的数值计算模型,通过分析韦伯数(We)、奥内佐格数(Oh)以及壁面曲率(k)对液滴碰壁过程的影响规律,探索了铝液滴在曲面上的铺展特性与流动机理.研究结果表明: 随着We 的增大,铝液滴的撞壁行为模式依次表现为黏附、反弹以及破碎射流;由于铺展和回缩过程都会产生能量耗散,因此液滴回缩速度要小于其铺展速度.在撞壁过程中,接触点处产生了两次压力峰和速度峰,分别出现在撞壁时刻与即将反弹时刻.随着k 的增加,液滴的最大铺展系数不断增加,且在平面上最小,但曲率变化对液滴铺展速度的影响并不突出.基于计算结果,通过引入k 对铺展系数预测模型作出了修正.同时,基于能量守恒定律,对铝液滴在曲面上的流动过程进行分析,建立了多因素耦合作用下的铺展系数计算模型.与撞击平面相比,液滴在曲面上的铺展系数不仅与液滴的运动参数、壁面的润湿性有关,还与壁面曲率与液滴曲率之比有关.本文提出的两种预测模型均能为实际的工程应用提供参考依据.

1 引言

金属液滴撞击固体壁面是一种典型的表面流动现象,普遍存在于3D 打印、微观涂覆、等离子喷涂、增材制造等工业领域的生产过程中[1,2].由于液滴的物性、初始能量、壁面结构以及润湿性等因素的耦合作用,使得液滴撞壁时的动力学行为以及力热传递过程极其复杂[3],因此,掌握金属液滴撞击过程的作用机理不仅会对工业生产起到重要的促进作用,而且对液滴动力学的发展具有深远意义.

针对常规的水、煤油等低表面张力液滴在壁面上的运动过程,研究者们已开展了大量的研究.早在2001 年,Rioboo 等[3,4]通过实验研究了水液滴碰撞不同粗糙度和润湿性壁面的过程,清晰地捕捉到整个液滴撞击过程的形态演化,并指出液滴碰撞水平壁面后主要呈现出: 铺展、直接飞溅、冠状飞溅、回缩破碎、部分反弹和完全反弹等形态.Mundo等[5]则以无量纲参数K(K=We0.5Re0.25)为判据,将液滴碰撞结果分为沉积和飞溅两种状态,其临界值K=57.7.Stanton 和Rutland[6]提出了燃油液滴与壁面的碰撞模型,指出油滴与壁面的碰撞结果和液滴性质、壁面状态、液滴碰撞之前所穿过的气相边界层特性等因素均有关.Xu 等[7]考虑了液滴黏性与壁面润湿性等因素的影响,建立了柱状和球冠状两种铺展直径预测模型,并指出柱状模型适合预测液滴撞击壁面后的反弹过程,球冠状模型较适合预测黏附过程;而Attane 等[8]则认为球冠模型适用于低黏流体的持续铺展过程,柱状模型适用于伸展达到最大程度时的形状.宋云超[9]采用耦合水平集-流体体积(CLSVOF)法法研究了液滴撞击水平壁面后的飞溅现象,并认为射流液体局部毛细波波长大于毛细破碎临界波长是飞溅的重要条件.李大树[10]采用高速摄像仪结合像素分析法研究了液滴碰撞壁面时铺展、收缩、飞溅等动力学形态演变过程,定量获得了液滴铺展系数和铺展速度随无量纲时间的变化规律.陈石等[11]通过对液滴受力状态的分析,建立了液滴碰撞壁面振荡模型,得到了液滴铺展半径的振荡表达式,并通过与数值模拟结果的对比,验证了模型的可行性.在实际环境中,液滴撞击的壁面往往是已被润湿的壁面,液滴在其上的撞击行为与干壁面完全不同.梁刚涛等[12]对液滴撞击液膜的机理进行了研究,认为表面张力对冠状水花形态的影响远大于黏度的影响,而颈部射流的产生主要是由于撞击后颈部区域局部压差造成的.黄虎等[13]采用格子玻尔兹曼法建立了液滴碰撞液膜的二维模型,发现表面张力越大,界面变形阻力越大,水花形变越小,不易断裂破碎.

由于金属液滴大多具有较高的表面张力,其撞壁行为、流动规律与常规液滴存在较大差异[14].针对不同的工业生产环境,研究者们对金属液滴的撞壁过程也开展了相应的研究.Pasandideh-Fard 等[15]实验记录了不锈钢表面上熔融锡液滴的铺展直径和液-固接触角的变化过程.尚超等[16]研究了镓铟锡所形成的液滴撞击泡沫金属表面的运动特性,发现具有较高表面张力的镓铟锡液滴的铺展系数随时间的变化在铺展初始阶段仍满足常规流体的1/2 次幂关系.李涛[2]对比了Al 和Pb 液滴在不同表面结构、形貌的水平基底上的撞击行为,认为液滴的表面张力、壁面的曲率直径对撞击结果起重要作用.Dou 等[17]观测了韦伯数We=3.05、雷诺数Re=1488 的锡液滴撞击塑料基体的动力学过程,发现液滴在ABS,PMMA 和PC 基体上反复振荡后沉积,而在FR4 基板上铺展后反弹.Li 等[18]实验分析了铝液滴与壁面碰撞后的反弹过程,并对液滴接触时间和最大铺展系数的理论模型进行了修正.

综上所述,国内外学者对于金属液滴撞壁的研究相对较少,且多集中于液滴撞击水平壁面,而对于复杂结构壁面上液滴的形态变化与流动机理尚不明确,其流动规律亟待探索.因此本文基于Fluent计算软件,采用流体体积(VOF)方法对高表面张力的铝液滴撞击曲面的问题进行详细地研究,着重讨论液滴We,Oh以及壁面曲率k对液滴铺展过程的影响规律,并根据能量守恒建立铝液滴撞击过程的预测模型.

2 数值方法

2.1 物理模型

精确的数值模拟主要用来研究实验手段无法观测到的微观特征.对液滴撞壁过程进行数值计算之前,需建立合理的物理模型.图1 为计算使用的模型,由于液滴碰撞过程的对称性,计算中采用二维轴对称结构;红色区域为液滴的初始位置,直径为D0的球形液滴在重力g和初速度v0的作用下撞击刚性内凹壁面;左边界为对称轴,下边界为壁面,液滴表面为自由流动表面,其他边界为压力出口.考虑气体存在对液滴下落过程的影响,液滴初始位置距离壁面的高度(Height)为1.5D0.

图1 物理模型Fig.1.Schematic diagram of physical model.

计算中的参考温度为1000 K,压力为101325 Pa.液态铝的物性随温度变化明显,计算中使用到的主要物性参数如表1 所列[19,20].在液滴碰壁过程中,随着液滴不断运动变形,液滴与壁面之间的接触角会动态改变,但在液滴撞击壁面的数值模拟中一般均采用静态接触角,本文选取铝液滴在壁面上的静态接触角θ=161°[21].

表1 主要物性参数Table 1.Main physical properties.

2.2 控制方程

液滴与壁面的碰撞涉及到液气两相流动,且两者之间没有质量的传递,采用VOF 方法追踪气-液界面,有利于对液滴撞壁过程的动力学行为进行单项机理研究.VOF 方法通过求解连续性方程,得到每个单元上的体积分数;通过在整个求解域中求解单独的动量方程,得到的速度场由各相共用.每个单元上的流体体积分数C为目标流体体积Vq和网格总体积Vsum的比值.当单元体积内充满目标流体时,C=1;不含目标流体时,C=0;而0＜C＜1 时,该单元内含有自由表面.各控制方程具体如下:

连续性方程为

动量方程为

式中,v是速度矢量;p是压力;µ是计算单元内动力黏度;ρ是计算单元内密度;F是表面张力源项,采用Brackbill 提出的连续表面力(CSF)模型对其进行求解[22],F可表示为

其中A是曲率,根据单位法线的散度进行定义,σ是表面张力系数,Γ是Heaviside 函数.当液滴在壁面运动时,定义接触角为θ.分别为壁面处的单位法向量和单位切向量,则接近壁面处的法向量为

假设液滴撞壁过程为绝热流动,忽略碰壁过程中温度的变化,因此不考虑能量方程.在求解过程中,压力-速度的耦合求解采用SIMPLE 方法;对流项使用空间离散方法,压力项的离散采用PRESTO方法,动量方程的离散采用二阶迎风格式,体积分数方程的求解使用CICSAM 方法.

2.3 模型验证

采用两相界面追踪的模拟方法对网格分辨率的要求较高,为检验网格尺寸的有效性,对其进行无关性验证.在图1 所示物理模型下,考察了12 万、35 万、50 万等3 种网格数量下,Oh=0.00082,We=2.7 的铝液滴撞击水平壁面后铺展系数β随时间的变化情况,结果如图2 所示.可以看出: 采用35 万和50 万的网格,液滴撞壁后铺展系数随时间的变化曲线几乎完全重合,而12 万的网格下的铺展系数与其他两者存在明显差异.因此,本研究采用35 万网格,既可保证计算精度,又可节省计算时间和成本.

图2 网格无关性验证Fig.2.Verification of grid independence.

同时,为进一步验证数值模型的准确性,需将数值结果与实验结果进行对比.本文通过计算D0=676 µm,v0=1.21 m/s 的铝液滴撞击平面的过程,与Li 等[18]的实验结果进行了对比,其中液滴温度与壁面温度均为1280 K,结果如图3 所示.从图3可以看出: 不同时刻的计算结果与实验结果均符合得较好,一定程度上证明了数值模型的准确性与可靠性.对于结果中对应时刻存在的微小差异,与试验测量误差以及数值方法的局限性均有关.

图3 数值计算结果与实验结果[18]的对比Fig.3.Comparison of the numerical calculation results with the experimental data[18].

3 结果与分析

本文中,铝液滴的动力学参数为 0.00082＜Oh＜0.0013,0＜We＜43,壁面曲率k的范围为: 167＜k＜400.其中,k=1/R,R为曲面半径.采用铺展系数β和液膜中心高度系数h来表征液滴在空间上的变化规律,其表达式分别为

式中,D为不同时刻的铺展直径,H为不同时刻的液膜中心高度.

3.1 内部流动特性

研究液滴在壁面铺展时的内部流动特性,对揭示其撞壁规律至关重要.图4 给出了Oh=0.00082,We=2.7 的铝液滴撞击k=400 的曲面时压力与速度的分布情况.从图4 可以看出,t=0 ms 时,液滴与壁面即将接触,液滴内的高压区出现在液滴的底部,这是由于液滴在运动中的惯性力导致的,而液滴内的速度分布均匀.同时,在液滴下落过程中,会对靠近壁面附近的气体产生挤压,导致其沿壁面切向速度分量较大.t=0.2 ms 时,液滴已经撞击壁面,部分动能转换为压能.此时液滴与壁面接触区域压力最高,且沿壁面法向递减,球冠顶部的压力最低;同时近壁处液滴沿壁面切向的速度较大,驱使液体向两侧流动,但在撞击中心处为速度滞止区.t=0.2—0.8 ms 时,随着液滴的铺展,高压区由接触中心逐渐向边缘迁移,液滴中心压力逐渐降低;由于黏性力作用,此过程中液体内部速度整体减小.t=0.8 ms 时,液滴达到最大铺展直径,液滴中心的压力最低.t=1.0—1.2 ms 时,液滴向中心回缩,由于壁面的黏附作用,靠近壁面处的流体速度最低,远离壁面即液滴上部的速度最高;t=1.2 ms 时,液滴回缩时中心处流体受到挤压,压力逐渐升高;当液滴收缩到一定程度后逐渐向上拉伸,液滴顶部压力较高;t=2.0 ms 时,液滴即将反弹离开壁面,此时液滴底部出现高压区,这是由于液滴自身重力以及壁面黏附力的作用使得液滴底部流速降低导致的.进一步观察还发现,当液滴反弹至空中后,在液滴的顶部和底部会周期性的同步出现高压区,这主要与液滴在惯性力作用下的反复振荡运动有关[23].

图4 铝液滴撞击曲面过程的压力与速度分布 (a) 压力云图;(b) 速度云图Fig.4.Pressure and velocity distribution of aluminum droplet impinging on concave surface: (a) Pressure contours;(b) velocity contours.

进一步,对液滴撞击点处的压力与速度进行分析,结果如图5 所示.液滴在流动过程中,接触点处在液滴撞壁时刻与反弹时刻分别出现了压力峰和速度峰,这与上述对压力与速度的分析结果保持一致.在铺展和回缩过程中,接触点的速度保持为0,进一步说明接触点为速度滞止区.

图5 固-液接触点的压力与速度变化规律Fig.5.Time evolution of the pressure and velocity of solidliquid contact point.

3.2 We 的影响

液态铝的表面张力远高于一般流体,因而其撞壁过程的动力学行为与常规液滴存在一定差异.图6 展示了Oh=0.00082,We分别为0.7,2.7,10.8,43.3 的铝液滴撞击k=400 曲面后的流动过程.从图6 可以看出: 当液滴与壁面接触后,液滴底部首先受到挤压并发生变形,由于表面张力的作用,此时液滴上部仍保持球形(图6(a),t=0.2 ms).随后,液滴迅速以接触点为原点沿壁面铺展,并将动能转化为表面能和黏性耗散能.在铺展的初期,液滴的形状仍为球冠装(图6(a),t=0.6 ms),当达到最大铺展直径时,为圆盘状或中心下凹状(图6(a),t=1.2 ms),此时液滴动能为0,表面能达到最大;其后,为了维持体系原有的平衡,在表面张力的作用下,液滴开始向中心位置收缩,铺展直径逐渐减小.

由于We不同,液滴回缩后产生了反弹、黏附以及破碎射流等不同的状态.

黏附当初始能量较小(图6(a)),液滴在回缩阶段转化的动能不足以产生反弹,则液滴将无法脱离壁面,只能在不断铺展和拉伸的过程中消耗能量,最终黏附在壁面上.

反弹当初始能量较大(图6(b)和图6(c)),液滴在回缩阶段转化的动能足够大,最终将脱离壁面,完成反弹.

破碎射流当初始能量过大(图6(d)),液滴将在铺展阶段产生更快的铺展速度以及更大的铺展直径,形成的液膜厚度更薄.当液膜达到最大铺展直径,即外缘速度为0 时,液膜中心仍有向外流动的速度.因此,当外缘向内收缩时,液膜中心继续向外流动,由于Plateau-Rayleigh 不稳定性,液膜发生断裂,产生多个小液滴(图6(d),t=0.8 ms).随后,由于弯曲的壁面结构以及惯性力的共同作用,破碎的小液滴逐渐向碰撞中心聚合,最终形成法向射流(图6(d),t=1.0—2.2 ms).铝液滴表面张力较高,内部分子受到的约束力较大,因而不容易发生破碎,仅当动能足够大时,才会发生破碎射流的情况.

图6 不同We 下铝液滴在曲面上的铺展行为 (a) We=0.7;(b) We=2.7;(c) We=10.8;(d) We=43.3Fig.6.Spreading behavior of droplets on the surface at different impact We: (a) We=0.7;(b) We=2.7;(c) We=10.8;(d) We=43.3.

通过对不同We下液滴铺展系数的时域过程进行分析,结果如图7 所示.从图7 可以看出: 当撞击能量较小时,液滴在壁面上呈振荡铺展,铺展直径最后趋于定值;随着We增大,液滴将拥有足够的能量在壁面上完成反弹,此种情况下,We越大,液滴与壁面的接触时间越短.同时,由于铺展和回缩过程都会产生能量耗散,因此液滴的回缩速度要小于其铺展速度.从图7 也可以看到,随着We的增大,最大铺展系数逐渐增大,破碎的情况下获得的铺展系数最大.

图7 不同We 下铝液滴铺展系数随时间的变化Fig.7.Time evolution of spreading coefficient of aluminum droplets under different We.

3.3 Oh 的影响

进一步,分别在反弹和黏附两种行为模式下,对比了不同Oh的液滴在曲面上的铺展过程.图8为铝液滴撞击曲面且均发生反弹时,其铺展系数与中心高度系数随时间的变化情况.其中,k=400,We=10.8,Oh分别为0.00082,0.00092,0.00106和0.00130.从图8(a)可以看出,随着Oh的增大,液滴在壁面上形成的最大铺展直径逐渐减小,液滴与壁面的接触时间更短;而在图8(b)中,最小中心高度系数随着Oh的增大而逐渐减小.值得注意的是: 液滴中心高度达到最小的时刻要滞后于液滴的最大铺展时刻.这是因为在最大铺展时刻,液滴中心仍有向外流动的动能,所以,液滴中心高度最小的时刻发生在液滴的回缩阶段.

图8 铝液滴的铺展系数与中心高度系数随时间的变化规律 (a)铺展系数;(b)中心高度系数Fig.8.Time evolution of the spreading and center height coefficient of aluminum droplets of different sizes: (a) Spreading coefficient;(b) center height coefficient.

图9 对比了不同Oh的铝液滴在曲面黏附时,其铺展系数与铺展速度随时间的变化情况,其中We=0.7.从图9(a)可以看出: 在黏性力的作用下,铝液滴在壁面上的铺展为振荡衰减过程;且在同一个衰减周期内,Oh较小的液滴,其最大铺展系数更大,最小铺展系数更小.这是因为Oh越小,液滴的惯性力越大,铺展流动过程更加剧烈.同时从图9(b)也不难看出,Oh=0.00092 的铝液滴其铺展速度更快,振荡周期更短,衰减更快.

图9 铝液滴铺展系数和铺展速度随时间的变化规律 (a)铺展系数;(b)铺展速度Fig.9.Time evolution of the spreading coefficient and spreading velocity of droplets of different sizes: (a) Spreading coefficient;(b) spreading velocity.

3.4 液滴温度的影响

由于在实际的工业环境中,高温铝液滴在运动以及撞击壁面时,均会与周围环境气体、固体壁面发生复杂的热交换,导致其温度和物性发生变化.所以研究铝液滴温度变化对撞壁过程的影响是非常必要的.铝的熔点为933 K,沸点为2767 K.在1200—2000 K 的温度范围内,液滴物性随温度T的变化如表2 所列.

表2 铝液滴物性参数随温度的变化Table 2.Physical parameters properties of aluminum droplets at different temperatures.

图10 对比了不同温度下液滴铺展系数随时间的变化,其中D0=1 mm,v0=1 m/s,k=400.显然,液滴温度对铺展过程几乎没有影响,且We随液滴温度的增加变化微弱.进一步,图11 比较了D0=1 mm 的铝液滴在不同撞击速度下,最大铺展系数随温度的变化规律.可以看出同一撞击速度下,最大铺展系数不随液滴温度的变化而变化;但随着撞击速度的提高,最大铺展系数显著提高.以上分析说明,铝液滴温度的单一变化对流动过程的影响较小.在实际工程中,当液滴与壁面存在明显温差时,由此产生的瞬态传热过程可能会对液滴的撞壁过程带来较大的影响.

图10 不同液滴温度下铺展系数随时间的变化规律Fig.10.Time evolution of the spreading coefficient of droplets of different temperatures.

图11 铝液滴最大铺展系数随温度的变化规律Fig.11.Variation of the maximum spreading coefficient of aluminum droplets with temperature.

3.5 壁面曲率的影响

当液滴撞击曲面时,曲率变化对液滴的动力学行为影响显著[2,24].为研究壁面曲率对金属液滴铺展过程的作用机制,模拟了D0=1 mm 的铝液滴在不同曲率上的铺展过程.其中,壁面曲率k分别为0(平面),167,250 以及400,对应曲率半径为无穷大,6 mm,4 mm 及2.5 mm.图12 展示了铝液滴的Oh=0.00082,We=2.7 时,液滴铺展系数与中心高度系数随时间的变化规律.从图12 发现,在本文研究范围内,液滴在不同曲率上的铺展速度基本一致,且达到最大铺展系数和最小中心高度的时刻基本相同;而在回缩阶段,液滴均在2.25 ms左右完成反弹.

表3 详细列出了图12 中液滴撞击四种壁面时的最大铺展系数βmax、达到最大铺展直径所用时间t1、最小中心高度hmin、最小中心高度的时刻t2以及弛豫时间tmax.可以清晰地看到,液滴的弛豫时间基本在2.2 ms 左右,达到最大铺展直径所用时间基本在0.6 ms 左右,壁面曲率对这两个参数没有直接影响;但随着k的增加,液滴在壁面上的βmax与hmin不断增加,且平面上的βmax与hmin最小.这说明液滴的铺展特性受壁面的几何形状影响,当k增加时,可强化液滴的铺展过程.

表3 铺展过程的特征参数Table 3.Characteristic parameters of the spreading process.

图12 铝液滴撞击不同曲率壁面时铺展系数与中心高度系数的变化规律 (a) 铺展系数;(b)中心高度系数Fig.12.Time evolution of spreading and center height coefficient of aluminum droplet on different curvature surface:(a) Spreading coefficient;(b) center height coefficient.

进一步探索壁面曲率对液滴流动过程的影响规律,图13 给出了不同k时,液滴最大铺展系数随We的变化情况.从图13 可知,βmax随We的增大而增大;且同一We下,k越大,铺展系数越大.将数据与PAkao 等[25],Hatta 等[26]以及Samkhaniani 等[27]提出的预测模型(βmax=0.613We0.39,βmax=0.093We0.74+1,βmax=)进行对比,发现预测误差较大,一方面是因为Akao 等[25]只是针对液滴撞击平面进行的实验,另一方面是因为其使用的是水和酒精等低表面张力流体.本文首次通过引入壁面曲率k,对预测公式进行修正,得到如下关系式:

图13 铝液滴撞击曲面时最大铺展系数随We 的变化规律Fig.13.Variation of the maximum spreading coefficient with Weber number when aluminum droplet impinges on surface.

由图14 可以看出,修正后的预测公式与数值计算结果符合得较好,能够较为准确地预示铝液滴撞击曲面时的最大铺展系数.

图14 修正的预测模型Fig.14.Modified prediction formula.

3.6 理论分析

在上述分析的基础上,根据能量守恒定律,考虑不同时刻液滴表面能和动能的转换关系,建立了铝液滴铺展过程的理论模型.

1) 初始时刻

如图15 所示,铝液滴撞击前,液滴系统相对稳定,各能量之间没有转换.液滴的总能量ET主要包括初始动能Ek、重力势能Ep和表面能Es.各部分能量分别为

图15 铝液滴撞壁过程的形态变化 (a) 初始时刻;(b) 最大铺展时刻Fig.15.Deformation process of a droplet colliding with the wall: (a) The initial moment;(b) maximum spreading moment.

其中ρ为铝液滴密度,V0为液滴体积,S0为表面积,σlg为液滴在气体中的表面张力.重力势能在总能量中的占比为

在本文中,0.4 mm＜D0＜1 mm,0.5 m/s ＜v0＜4 m/s,则当D0=1 mm,速度为0.5 m/s 时,重力势能的相对影响最大,即

可见,此时的重力势能仅占总能量的0.73%,可以忽略不计,即液滴的初始总能量为动能和表面能之和:

2) 最大铺展时刻

铝液滴接触壁面后,开始在壁面上铺展流动,并且铺展速度逐渐增大.但在液滴变形过程中,液滴整体动能开始下降,并逐渐转化为表面能和黏性耗散能.当铝液滴达到最大变形时,其总能量包括动能和表面能.由于此时速度为零,动能为零.

液滴达到最大铺展时的表面能与液滴最大铺展面积有关.将液滴在壁上铺展的过程看作液-固表面不断替换气-液表面的过程,因此此时液滴的表面能为

式中,Slg,Ssl,Ssg分别为液滴与气体、液滴与固体、气体与固体的接触面;σsl,σsg分别为相应的液-固、气-固表面张力.

如图15(b)所示,假设液滴最大铺展时形状为“球壳”,最大铺展直径为Dmax,则液滴的上表面积At,下表面积Ab分别为

忽略侧面积,结合(14)式—(19)式,此时液滴的表面能为

根据杨氏方程

将(21)式代入(20)式可得

从液滴接触壁面时刻到最大铺展时刻存在能量守恒:

其中ϕ为黏性耗散函数,Ω为黏性流体层的体积,t′为初始时刻到最大时刻的时间.

黏性耗散函数可以简化为

Chandra 和Avedisian[28]假设L等于液滴最大铺展时的高度h,但它建立的模型对Dmax的预测误差为40%,这说明L实际上应该小于h.Pasandideh-Fard[29]认为L应该等于固-液界面的边界层厚度δ:

并且

根据“球壳”假设,液滴最大铺展时黏性流体层的体积可表示为

因此黏性耗散能

基于能量方程,结合(8)式、(10)式、(22)式、(29)式可以得到

可简化为

其中ε=,则铝液滴在曲面上的最大铺展系数βmax的解析模型如下:

如果壁面为平面,即R→∞,ε→0,

方程(31)转化为

通过求解(34)式,得到平面上铝液滴最大铺展系数βmax的解析模型为

对比(32)式与(35)式不难看出,液滴撞击曲面的铺展系数不仅与液滴的运动参数、壁面的润湿性有关,还与壁面曲率半径与液滴半径之比有关.

表4 列出了不同工况下(7)式与(32)式的预测误差.从表4 可以看出,(7)式的误差均在3%以内,相比于Hatta 等[26]和Samkhaniani 等[27]的模型更加精确.而基于能量守恒建立的预测模型其误差基本在10%—20%之间,这是因为在理论分析中,对液滴流动过程进行了必要的简化和假设,导致其最终的预测精度降低.

表4 预测模型的相对误差Table 4.Relative error of prediction model.

同时,在相同曲率的壁面上,随着We和Re的减小,(32)式的预测误差逐渐增大.这是由于在理论推导中将液滴最大铺展时刻的形状视为球壳状,这种情形更容易发生在We较大的情况下,当We较小时,其形状更接近球冠.同样,当液滴的We和Re相同,随着曲率半径比的减小,曲面结构对液滴铺展的限制作用会减弱,液滴在最大铺展时刻也会接近球冠状或柱状,从而导致预测误差的增大.

可见,本文提出的球壳模型适用于预测大We铝液滴在曲率半径相对较小的壁面上的铺展过程,当液滴的We较小或壁面的相对曲率半径较大时,该模型将会失效.相比于(7)式,(32)式考虑了We,Re,ε以及θ等多种因素的耦合作用,因此具有更好的普适性.