基于实数编码遗传算法的稀布阵列综合*

孙建邦，李建兵，王 鼎，聂福全，林鹏飞

(1.中国人民解放军战略支援部队信息工程大学，郑州 450001；2.卫华集团有限公司，河南 长垣 453400；3.北部战区陆军参谋部30分队，济南 250000)

0 引 言

相控阵天线采用电扫工作模式，天线波束灵活多变，易于在空间合成大功率，并且可以对多个目标同时进行搜索、识别和跟踪，在电子对抗、探测预警、通信导航等领域得到了广泛应用。传统的相控天线为了克服栅瓣的不利影响一般采用均匀的布阵方式，并且阵元间距通常不大于0.5λ[1-2]。对于一些大型相控阵天线，想要得到高的天线增益，采用传统的均匀布阵方式无疑需要大量的天线阵元，这样不仅导致结构复杂，成本提升，而且天线体积庞大，工程建造困难。因此如何通过合理优化各阵元位置和数量并通过设定各单元的激励幅度以及激励相位，得到符合需求的阵列辐射特性，是天线阵列领域主要研究的一类核心问题[3]。阵列综合能够使用较少数量的天线元件来获得所需的辐射方向图[4]，并且通过无规则的布阵方式，消除栅瓣，抑制副瓣。

从天线方向图函数可以看出，阵元振幅的优化是一个线性问题，通过传统的数学方法便可轻而易举地得到最优解，但是阵元位置的优化是一个非线性问题，而且对于稀布阵，阵元的随机性更大，对于大型阵列，可以想象其解集空间是无穷大的。采用穷举法直接求解，以当前计算机的计算能力根本不可能在短时间内求出最优解。针对这个问题，广大学者将遗传算法[5-7]、蜂群算法[8-10]、粒子群算法[11-12]等群体智能算法成功运用到了阵列综合领域。

遗传算法(Genetic Algorithm,GA)是一种模拟自然界生物进化的群体智能进化算法，由于其性能稳健，搜索能力强，对于复杂连续问题的优化具有很好的效果，被广泛应用于阵列综合领域。GA算法优化阵列的基本思想是通过一定的编码方式将阵列方向图函数中的参数变量作为基因编码成为染色体，然后通过构造合理的适应度函数对染色体的优劣进行评价，筛选出优秀的染色体进行一系列的复制、交叉和变异操作，逐代进化得到最佳解。1994年，Haunt等人[13]采用遗传算法对一个均匀激励的200阵元线阵进行了稀疏优化，得到了低于-20 dB的天线峰值旁瓣电平(Peak Side-lobe Level，PSLL)，这是GA首次运用在阵列综合领域。国内电子科技大学的陈客松教授也在稀布阵列方向开展了大量的研究[14-16]。

本文提出一种实数编码遗传算法(Real Coded Genetic Algorithm，RGA)的阵列优化方法，阵列中所涉及的参数变量分别是阵元位置和阵元激励幅度，两者均是一定解集空间的连续型随机变量。本文采用十进制实数量化编码方式，不仅提高了编码精度，而且不需要对参数变量进行复杂的解码运算，大大简化了程序。阵元位置和激励幅度的组合优化方式显著降低了天线的峰值旁瓣电平。

1 稀布阵列模型

图1是一个有N+1个阵元的稀布阵列模型，为了保证孔径大小为L不变，首位各放置一个阵元。此外，考虑到电磁辐射元件之间的互耦，相邻阵元间距离满足min{di-dj}≥dc，0≤j

图1 稀布阵列模型

通常一个多元天线阵，阵列的方向图函数可以表示成单元方向图elpat与阵因子AF(θ)之积，如下式所示:

E=AF(θ)·elpat 。

(1)

对于本文所提出的一个具有间距约束的非均匀直线阵，假设在理想的状态下，所有的天线阵元都是各向同性的，即elpat=1，不考虑环境、器件之间的电磁效应等参数，只将阵元的放置位置和振幅作为变量，阵列的方向图函数可以表示为

(2)

式中：wi表示i阵元振幅；di表示i阵元的放置位置；k=2π/λ表示波数；u=cosθ-cosθ0,θ表示来波方向，θ0表示天线主波束指向。式(2)给出了本文所要优化的稀布阵列的方向图函数，所有阵元振幅和位置用一组向量Wi、Di(0≤i≤N)表示，本文主要目的是通过提出的改进遗传算法计算出一组最佳的向量Wi、Di将方向图函数中的峰值旁瓣电平降到最低。

2 RGA在稀布阵列综合中的应用

2.1 参数变量的实数编码

2.1.1 阵元位置编码

如图1所示，根据约束条件,0号阵元坐标为0，N号阵元坐标为L,这两个阵元是为了限定孔径大小，所以是不参与优化的。为了达到最小阵元间距dc,则1号阵元坐标需满足d1≥dc,第N-1号阵元坐标d(N-1)≤L-dc,除去首尾两个阵元，余下阵元的布阵空间为L-2dc,当然在L-2dc的空间上同样需要考虑最小阵元dc的约束,所以将有长为(N-2)dc的区间上同样不能布置阵元,这样,孔径上共剩余的区间为

S=L-2dc-(N-2)dc=L-Ndc。

(3)

通过程序随机生成区间[0,S]内的N-1个随机数，并将它们从小到大进行排列，得到一组向量X=[x1,x2,x3,…,x(N-1)]T。这里可以将阵元位置位置向量Di=[d0,d1,…,dN]T表示成向量X=[x1,x2,x3,…,x(N-1)]T和idc(1≤i≤N-1)两部分相加，则可以得到

(4)

向量X中的数值满足x1≤x2≤x3≤…x(N-1)∈[0，S]。

通过上述操作，可以将阵元个体位置坐标优化向量d间接地转化成求解向量X。同时显然可以发现，搜索空间从[0，L]缩小为[0，S]，搜索空间的减小也意味着搜索效能的提升。本算法对阵元位置的优化并不是直接以阵元位置坐标d作为决策变量，而是间接地通过参数变量X来表示，直接对参量x进行编码。这样做的好处是既保证了阵元间距约束，又缩小了搜索空间，同时增强了算法的稳定性。

2.1.2 激励幅度编码

对于激励幅度的编码比较简单，可以直接通过程序生成区间[0，1]之间的一组随机数，用向量Wi=[w0,w1,…,wN]T表示。

设初始种群数量为Mp，首先按照要求分别产生一组随机失量X=[x1,x2,x3,…，x(N-1)]T和一组随机激励幅度矢量Wi=[w0,w1,…，wN]T，向量X通过式(4)可以得到N+1个阵元的位置矢量Di=[d0,d1,…,dN]T。一个完整的个体由一组阵元位置矢量和振幅矢量共同组成，即向量P=[d0,d1,…,dN，w0,w1,…,wN]T,则由Mp个种群可以表示成矩阵P：

(5)

2.2 适应度函数构造

式(2)中所示的阵列方向图函数由一组向量P=[d0,d1,…,dN，w0,w1,…,wN]T决定。通过每个阵元位置和振幅的不同排列组合来降低天线方向图的峰值旁瓣电平,所以可以将峰值旁瓣电平作为适应度函数：

(6)

式中：FFmax是表示主瓣；|u|≥2C0/(N+1)，u的取值区间是主瓣以外其他区域。

目标函数可以表示为

f=min{fitness(d0,d1,…,dN，w0,w1,…,wN)} 。

(7)

2.3 种群初始化

设个体数量为Mp，每个个体的维数为2N+2，前N+1个实数代表位置参量，后N+1个值代表激励幅度参量，个体表示为x(i,g)(i=1,2,3,…,Mp),i表示个体对应种群中的序号，g表示遗传代数。种群的个体需要进行编码，从而建立初始的搜索点。

根据优化模型可以得到，位置参数变量的范围为[0，L-Ndc]，则个体的位置初始参数值可以由xji,0=rand[0,1]·(L-Ndc)求得，其中，i=1,2,3,…,M；j=0,1,2,…,N。归一化激励幅度取值范围[0，1]，则个体的激励幅度参量可以由xji,0=rand[0,1]求得，其中,i=1,2,3,…,M；j=N,N+1,N+2,…,2N。本文综合衡量了遗传编码的复杂度和遗传代数，取Mp=200。

2.4 选择操作

采用“轮盘赌”的选择法，用pi来表示个体i被选取的概率:

(8)

从式(8)中得知个体i的适应度fi越大，则它在种群中生存的几率越大。

2.5 交叉和变异

采用随机方式进行交叉和变异，由于交叉概率Pc和变异概率Pm在一定程度上会影响到算法的搜索和开发能力，为了防止算法陷入局部最优，增加遗传算法开发能力和寻优能力，本文设计了一种动态的交叉和变异方式，即每次迭代过程中的Pc和Pm值由下式确定:

(9)

式中：Pc0和Pm0分别是初始交叉概率和初始变异概率，gi是当前遗传代数，Gmax是最大遗传代数。随着迭代数的增加，交叉概率Pc增大，算法的开发能力增强，收敛加快。同时随着后期变异概率Pm减小，随机搜索能力降低，算法趋于稳定，有利于收敛到最佳值。

2.6 算法流程

基于实数编码的遗传算法的稀布阵列综合流程如图2所示。

图2 算法基本流程图

3 稀布阵列优化仿真结果

传统的相控阵天线采用的是均匀布阵，为了使可视空间不出现栅瓣，阵元间隔一般不大于λ/2。一个50阵元、阵元间隔λ/2、孔径长为24.5λ的传统一维线阵的方向图如图3所示，其中，波长λ=1 m，它的PSLL约为-13.11 dB。这里将50阵元的传统阵列称之为“满阵阵列”。

图3 传统50阵元天线阵列方向图

本文RGA综合稀布阵列的核心思想是，在约束天线孔径和最小阵元间隔的基础上，通过优化位置和激励幅度以获得更优的天线辐射特性。假设原始阵列阵元数为K，稀布阵列阵元数为k，定义稀布率η=k/K。

3.1 RGA算法对一个阵元数50的均匀阵阵列进行稀布优化

为了验证RGA算法对优化天线PSLL的有效性，对一个拥有50阵元的均匀直线阵列进行稀布优化。设阵元是各向同性的，天线发射波长λ=1 m，阵列孔径为L=24.5λ，取阵元最小间隔dc=0.5λ，种群数量Mp=200，Pc0=0.8，Pm0=0.05，遗传算法最大进化代数Gmax=300，随机生成初始种群,通过“轮盘赌”选择法随机选择父代染色体。为了充分利用优秀染色体基因资源,采取优秀个体保留机制。分别讨论稀布率为50%、60%、70%和80%四种情况下对阵列优化情况，每种稀布率下独立随机地进行5次仿真,表1给出了最优的PSLL结果。由表1可知，阵元位置和激励幅度组合优化效果明显，随着稀布率增大，虽然可以进一步提高主瓣增益，但是同时也抬高了天线副瓣电平，对主副瓣比提高不是太明显，大稀布率下需要的天线阵元较多，增加了天线结构的复杂性和成本。当然，实际的稀布率选择还应考虑天线系统的可靠性以及发射总功率等因素。

表1 优化结果对比

当稀布率为60%时，进行独立的阵元位置优化时，最大副瓣电平相比“满阵阵列”下降了4 dB，采用本文提出的RGA算法对阵元位置和激励幅度进行组合优化，天线最大副瓣电平相比“满阵阵列”降低了7.54 dB，由此可见本文算法和优化策略的优越性，稀布率为60%时优化方向图与同口径50阵元均匀线阵方向图对比如图4所示。图4的结果证明，本文提出的方法取得了预期的结果，达到了降低PSLL的目的。此外在同样稀布率的条件下，通过RGA对阵元位置和激励幅度同时进行优化与只进行阵元位置优化相比，天线方向图性能得到了很大的改进，大幅度降低了副瓣电平，压低了远区栅瓣，但是唯一不足的是增加了天线主瓣宽度。

图4 RGA阵元位置和激励幅度优化、RGA阵元位置优化和同孔径50阵元均匀线阵方向图对比

3.2 RGA算法与文献[15]中的稀布阵列综合方法对比

文献[15]提出了一种运用修正遗传算法(Modified GA,MGA)综合稀布阵列的方法，对阵元数17、阵列孔径9.744λ、最小阵元约束0.5λ≤dc≤λ、左右对称的线性阵列进行了阵元位置优化，通过优化得到了低于-19 dB的峰值副瓣电平。采用本文提出的RGA方法，阵元数量、阵列孔径和最阵元间距约束与文献[15]相同，基本参数参照3.1节，重复进行5次优化，PSLL最低达到了-30.35 dB。取最优的天线方向图与文献[15]对比，结果如图5所示，可见本文提出的优化方法远远优于文献[15]方法。

图5 本文方法与文献[15]中方法最优稀布阵方向图对比

3.3 RGA算法与文献[16]中的稀布阵列综合

文献[16]提出了一种基于遗传算法的非均匀激励的稀布阵列综合方法，同样以降低副瓣电平为目标函数，利用遗传算法优化设计了单元最佳均匀间距的非均匀激励线阵，与单元间距为λ/2的均匀激励线阵相比，采用最佳间距的非均匀激励线阵的设计可以显著地降低线阵的PSLL。设阵元数为20，阵列孔径约束为16.7λ，方向图对比如图6所示。由实验结果可见，本文RGA组合优化方法与文献[16]优化方法相比，PSLL降低了3.16 dB。

图6 本文方法与文献[16]方法最优稀布阵方向图对比

4 结 论

遗传算法对于优化非线性等复杂问题具有自身独特的优势。随着稀布阵列在5G通信、卫星、军事等领域的广泛使用，优异的阵列辐射性能极为重要，本文提出的基于实数编码的遗传算法为稀布阵列的优化提供了一种新的方案。采用阵元位置和激励幅度双参数实数量化编码方式，扩大了阵列结构的优化空间，使求解精度得以提高，而十进制实数量化编码方式简化了程序，提升了遗传算法的执行效率。同时还引入交叉和变异动态进化算子防止算法陷入局部最优，增加了遗传算法开发能力和寻优能力。