一类含有P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题的多重正解

胡芳芳，刘元彬，张 永

(1.伊犁师范大学 数学与统计学院 应用数学研究所，新疆 伊宁 835000；2.新疆工程学院 数理学院，新疆 昌吉 830091)

0 引言

如今，分数阶微积分已被应用于许多领域，如工程、力学、物理、化学和生物学，特别是在科学和工程建模等相关领域[1-6]，因此，分数阶微分方程和P-Laplacian算子微分方程引起了数学家们的广泛关注，对分数阶微积分的各种问题进行了大量的专题研究[7-13].

在文献[14]中研究了如下边值问题

(1)

在文献[15]中考虑了以下问题

(2)

基于上述研究，本文利用P-Laplacian算子分析了以下分数阶微分方程边值问题:

(3)

1 预备知识

在这里，给出一些定义、预备引理及格林函数的一些性质，这些预备知识在后面会用到.

定义1[16]连续函数y:(0,+∞)→R的α>0阶Riemann-Liouville积分定义为

其中等式右端在(0,+∞)内有定义.

定义2[16]连续函数y:(0,+∞)→R的α>0阶Riemann-Liouville微分定义为

其中n是大于或等于α的最小整数.

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cntα-n,
ci∈R,i=1,2,…，n,

其中n是不小于α的最小整数.

其中n是不小于α的最小整数.

引理3设y∈[0,1],1<β≤2,3<α≤4,则分数阶微分方程边值问题

(4)

有唯一解

(5)

其中：

(6)

(7)

(8)

将c1,c2代入式(8)，可得

(9)

由边值条件u(0)=u′(0)=u″(0)=u″(1)=0,可得

将d1,d2，d3，d4代入式(9)，可得

引理4函数G(t,s),H(t,s)满足如下性质：

(1)对任意的t,s∈[0,1],

G(t,s)≥0,H(t,s)≥0;

(10)

(2)对任意的t,s∈[0,1],

G(t,s)≤G(1,s),H(t,s)≤H(s,s);

(11)

(3)存在两个正函数k(s),q(s)∈C[0,1],满足

(12)

(13)

证明(1)由函数G(t,s),H(t,s)的表达式可知式(10)显然成立.

(2)当0≤s≤t≤1时，有

当0≤t≤s≤1时，有

则函数G(t,s)在s∈[0,1]上关于t单调递增.

由引理4的(1)及函数G(t,s)的单调性可知

下面研究函数H(t,s)的性质.

当0≤s≤t≤1时，有

则函数H(t,s)是关于t单调递减的，即H(t,s)≤H(s,s).

当0≤t≤s≤1时，有

则函数H(t,s)是关于t单调递增的，即H(t,s)≤H(s,s).则式(11)成立.

(3)由函数G(t,s)的单调性，令

则有

其中

由函数G(t,s)的单调性，有

故可取

则式(12)成立.

再由函数H(t,s)的单调性，令

则有

其中

再由函数H(t,s)的单调性，有

故可取

则式(13)成立.

特别的，如果α=2，则r=0.5；α→1时有r→0.75.

(1)‖Ax‖≤‖x‖,x∈P∩∂Ω1,‖Ax‖≥‖x‖,x∈P∩∂Ω2.

(2)‖Ax‖≥‖x‖,x∈P∩∂Ω1,‖Ax‖≤‖x‖,x∈P∩∂Ω2

(C1){x∈P(θ,b,d)|θ(x)>b}≠φ且对x∈P(θ,b,d),有θ(Ax)>b;

(C3)当x∈P(θ,b,c)且‖Ax‖>d时，θ(Ax)>b.

那么A至少有三个不动点x1,x2,x3,满足

‖x1‖

‖x3‖>a,θ(x3)

2 结果与讨论

定理1T:P→P是全连续算子.

所有T(Ω)是一致有界的.

另外，由于G(t,s)在[0,1]×[0,1]上是一致连续的，因此对固定的s∈[0,1]及任意的ε>0，存在δ>0，使得当t1,t2∈[0,1],t1

|G(t2,s)-G(t1,s)|<

于是

即T(Ω)是等度连续的.由Arzela-Ascoli定理可知,T:P→P是全连续的.

记

定理2假设f(t,u(t))为C[0,1]×[0,∞)上的连续函数，若存在两个正常数r2>r1>0,使得

(H2)当(t,u(t))∈[0,1]×[0,r2]时，f(t,u(t))≤(Mr2)p-1，

则边值问题(3)至少有一个正解u,使得r1<‖u‖

证明令Ω1={u∈P|‖u‖

因而‖Tu‖≥‖u‖,u∈∂Ω1.

令Ω2={u∈P|‖u‖

因而‖Tu‖≤‖u‖,u∈∂Ω2.

由引理5可知，算子T至少有一个不动点u，即边值问题(3)至少有一个正解且满足r1<‖u‖

定理3假设f(t,u(t))为C[0,1]×[0,∞)上的连续函数，若存在正常数且满足0

(A1)当(t,u(t))∈[0,1]×[0,a]时，f(t,u(t))≤(Ma)p-1;

(A3)当(t,u(t))∈[0,1]×[0,c]时，f(t,u(t))≤(Mc)p-1,

则边值问题(3)至少有三个正解u1,u2,u3,且满足

{u∈P(θ,b,c)|θ(u)>b}≠φ.

即对任意的u∈P(θ,b.c),θ(Tu)>b.所以引理6中的条件(C1)成立.

综上所述，引理6的所有条件都满足，根据引理6，可以得出边值问题(3)存在三个正解u1,u2和u3，满足

3 例子

例1考虑边值问题

通过计算得M≈19.69,N≈2846.37，选择r1=0.001,r2=0.9，有

根据定理1，例1可以得到一个解u,使得0.001≤‖u‖≤0.9.

例2考虑边值问题

其中

根据定理3，例2可以得到三个正解u1,u2,u3,且满足

4 结语

本文以分数阶微分方程理论为基础，首先给出相应格林函数及其性质，其次将边值问题转化为与其等价的积分方程，最后结合锥压缩锥拉伸不动点定理和Leggett -Williams不动点定理，获得了边值问题(3)一个及多个正解的存在性,并给出实例加以验证.