循环小数与实数构造理论

◎王斌儒

(甘肃有色冶金职业技术学院建筑与信息工程系，甘肃 金昌 737100)

一、引 言

数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学追本溯源，数学最初的工作是计数在计数过程中，人类首先接触到自然数，自然数系由于实际生活和数学运算需要用到它，而逐渐扩充到整数系，再扩充到有理数系

有理数系是一个比较完美的数系：它具有稠密性，即任何两个有理数之间必含有有理数；它对四则运算是封闭的，即任何有理数经加减乘除四则运算后仍然是有理数；它的元素有顺序关系，因而可以比较大小，进行不等式运算有理数系的这些性质使得古希腊人认为它就是所有数的全体，并且设想把它们由小到大、连续无空隙地排列在一条无限长的直线上，即在全体有理数与直线上全体点之间建立一一对应关系，这种和谐自然的连续性设想促使古希腊数学家毕达哥拉斯提出万物皆数的名言但事实并非如此，公元前500年左右，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现正五边形对角线长是不可公度的，继而发现正方形的对角线长是不可公度的，即单位边长的正五边形和正方形的对角线长不是有理数希帕索斯的发现动摇了古希腊几何理论的基础，同时，第一次展示了有理数系的缺陷：有理数尽管鳞次栉比地排在数轴上，但并没有布满整个数轴，数轴上面还存在不能用有理数填补的空隙然而希腊人并没有建立起无理数的一般概念

孕育于希腊时代的微积分思想与方法，经过了漫长时期的酝酿十七世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨创立微积分到了18世纪，微积分在应用领域取得了巨大的成功但是，随着数学本身的发展以及人们对物理领域中微观现象的深入探讨，微积分学初创时期粗糙的逻辑表述，已无法令人满意，形成了方法上有效但逻辑上无法自圆其说的矛盾局面

微积分学逻辑基础上的严重问题，虽然暴露了出来，但是并没有能够及早地得到解决这就促使十九世纪的许多数学家，回过头去重新分析逻辑基础，即分析理论的严格化

微积分是建立在极限运算基础上的变量数学，而极限运算需要完备的实数域最终，构建完备实数域的任务在19世纪下半叶被完成，微积分学也进入了新的发展阶段

二、实数系的建立

我们从自然数系出发，可以构造出有理数域，这是一个对四则运算封闭的、稠密的有序域如果我们进一步从变量数学的角度来考察问题的话，则它还存在本质上的缺陷从分析学的基本运算——极限的角度来考虑，有理数域在极限运算下，不是一个封闭的数域，正像自然数集在减法或除法运算下，是不封闭的一样某些有理数序列本身尽管有凝聚的趋势，但是在有理数的范围内却找不到极限值，有理数域的这种“不完备性”，正是它本质的缺陷当我们把数从有理数集扩充到实数集后，便解决了这个矛盾

(一)实数的定义

我们采用十进数，来定义实数

设∈，∈{0,1,…，9}(∈)，∃，只要>，就有<9

我们称…为十进数，即实数的十进表示，简称实数，实数集记为实数集中循环小数表示的实数叫作有理数，不循环小数表示的实数叫作无理数

下面本文借助十进数和标准列来说明循环小数是如何表示有理数的

(二)标准列与循环小数

事实上，我们定义了可称为标准列的有理数列为一个实数

标准列是柯西列

下面我们给出循环小数的定义

对第二类循环小数的标准列我们可进行类似讨论

由此可见，两类循环小数的标准列收敛到有理数，称循环小数为其标准列极限的十进表示

不同的标准列不等价

不同的循环小数表示不同的有理数

由引理1即可证明

有理数都可以表示成循环小数，即有理数是循环小数对等的标准列的极限

只需证明每个正的真分数都可以表示成循环小数

上述过程中，一旦出现余数为0，除法运算就终止，这时得到有限小数；在相反的情形中，即余数不为0，则余数列无限，因为0<<，所以余数列中至少有两项相等存在最小的下标及正整数，使得=+，并且(当>1)时+1，…，+-1两两不等，且不等于由的定义，可知，…，-1两两不等，都不等于

综上可得，任何一个有理数存在唯一一个循环小数为其表示，每个循环小数都表示一个有理数循环小数表示的有理数是这个循环小数标准列的极限

三、实数的基本关系

实数的基本关系是围绕柯西列展开的

(一)实数的运算规律

任意一个有理数的柯西列，存在唯一一个标准列与其等价

当0…不以9为循环节时，是标准列

当0…以9为循环节时，有两种情况

①对∀∈,=9，规定数列()=+1，∈

②∈,使得<9,当>时恒有=9此时，规定

因为不相同的标准列不等价，所以与一个柯西列等价的标准列唯一

由极限的运算法即可证明

由此可见，实数的运算本质上是标准列之间的运算

(二)实数的序

任取实数=…，其中∈若≥0，且所有的不全为零，则称为正数，记作>0；若所有的全为零，则称为零，记作=0；若<0，则称为负数，记作<0若实数,满足->0，则称大于，记作>，或者小于，记作<记不大于为“≤”； 记不小于为“≥”

(三)实数的绝对值与三角不等式

实数的绝对值

我们称||为实数的绝对值，显然||≥0

设>0，则||<⟺-<<

若>0，则>-显然成立，||<即<

若≤0，则<显然成立，||<，即-<，两边加上-即得-<

三角不等式

①||=|-| ②|·|=||·||

③|+|≤||+|| ④|||-|||≤|-|

(四)实数的稠密性

两个有理数之间必然存在一个有理数，同样任意两个实数之间总有一个有理数或无理数，即实数连续地布满了实轴

有理数的稠密性

设,是两个不同实数，且<,则存在有理数，<<

无理数的稠密性

设,是两个不同实数，且<,则存在无理数，<<

(五)实数的完备性

有理数经过扩张得到的实数，关于加、减、乘、除运算仍是封闭的，事实上实数关于极限运算也是封闭的下面我们来给实数列的收敛下定义

实数列的收敛

设数列的通项公式为()=…，∈

实数系的完备性

从有理数系扩充到实数系后，在实数范围内，柯西列均收敛，称为实数的完备性完备性是实数连续地布满实轴的反映

满足0≤()-()≤10-，从而有理数列与等价

由此可见，任何有理实数的柯西序列在实数域内都有极限

四、历史上的实数构造理论

实数，看起来很浅显，几乎人人都知道它，也会用它进行四则运算，但数学家偏偏要问：“究竟什么是实数？它有什么性质？”从古希腊开始，这个问题困惑了数学界2000多年

实数系的逻辑结构问题被19世纪下半叶的数学家所正视，人们在确认有理数系的建立工作已完成的基础上，无理数被认为是主要的难点最终戴德金和康托等人以不同方式完成了完备实数域的构造

(一)Cantor的实数构造

Cantor首先定义了基本序列

给定有理数序列{}，若∀>0，∃自然数，当,>时，有|-|<，则称{}为基本序列

考虑全体有理数基本列{}所组成的集合，在上引进一个等价关系，如下:

关系“～”是一个等价关系，即满足：

①自反性 {}～{}

②对称性 {}～{}，则{}～{}

③传递性 若{}～{}，{}～{}，则{}～{}

等价关系～把分成若干个等价类不同等价类里的有理数基本列是互不等价的，而在每一个等价类里，都可以任选一个有理数基本列作为代表，它完全确定了该等价类

有理数基本列的集合按等价关系“～”划分的每一个等价类称为一个实数

康托把每一基本序列定义为一个实数两个这样的序列{}与{}是同一个实数当且仅当|-|在趋向于无穷时趋向于零

我们用，，…来表示实数，实数集记作每个等价类中的任一数列{}都称为该实数的一个代表，即有理数基本列{}是实数的代表当且仅当{}∈

如果基本列{}在有理数范围内不存在极限，我们就称以它为代表的等价类所确定的实数为无理实数从而，实数由有理实数和无理实数构成

(二)Dedekind的实数构造

Dedekind借助几何直观，在直线的启发下来定义无理数他观察到当直线上的点划分成两类，使每一类中的点都位于另一类中的点的左边时，就必然有一点且只有一点能够确定此分划，所以直线上的任何一点与它确定的划分是一回事，正是这一特性使直线成为连续不断的于是，为了建立实数的连续性，Dedekind用集合的观点分析了直线(实数域)连续性的本质，把有理数全体分为两类(用大小代替左右次序)，由此来唯一地界定实数

若将全体有理数划分为非空的两类：与，中的每一个数都小于中的任一个数，则称此为有理数的一个分划，记为(|)如果中有一个最大数，或中有一个最小数，那么称此分划为有理分划(此时存在一个有理数，即中最大者或中最小者，它确定了此分划)；如果中没有最大数，或中没有最小数，那么称此分划为无理分划，并称(|)为无理数

全体有理数再加上如上引进的全体无理数称为实数系，记作我们对这一系统再进行分划，就与上述对有理数系所做的分划不同了若将全体实数划分为非空的两类：与，中的每一个数都小于中的任一个数，则称此为实数系的一个分划，记为(|)

Dedekind证明了Dedekind连续定理，即对实数系的任一分划(|)，或中有最大数，或中有最小数，两者必居且仅居其一

该定理说明，任何一个实数分划都可以由一个实数来产生，大于该数的实数为一类，小于该数的实数为一类，至于该数，则属于两类之一这样类似于直线上点的分割，实数也成为一个连续的系统，简称为实数连续统