巧借几何直观，助力数学理解<br/>——以小学数学数的运算教学为例

巧借几何直观，助力数学理解
——以小学数学数的运算教学为例

2022-09-22福建省福鼎市实验小学王丽娟

天津教育 2022年25期

■福建省福鼎市实验小学王丽娟

在当前的义务教育数学课程标准中提出了几何直观这一理念，主要指的是建立在几何教学的基础上，利用图形描述和分析问题。利用几何直观能将较为复杂的数学问题简明化，将其抽象的问题形象化，有助于学生探索解决问题的思路，预测结果，提高学生解题的速度。因此在数的运算教学过程中，教师可以合理利用几何直观进行教学融合，助力学生对算理、算法的理解，提高学生运算能力，提升其数学综合素养。

一、几何直观的基础概念分析

几何直观是建立在数学几何问题的基础上，经过提炼和总结形成的理论，而根据当前的课程标准，我们可以从以下几个层面来分析几何直观的具体内涵。

（一）图形直观层面

几何直观主要指的是人在描述和理解图形时的视觉感知性。尤其是针对小学生的几何学习来讲，模型以及大量的实物道具是教学中能被利用的材料，因此可以将其作为实物直观以及模型直观。这种直观最大的优势是化抽象为具体；几何直观是对图形的直观，而图形主要指的是几何图形的视觉可感知性，通过一个抽象的几何图形能够传递给学习者什么样的信息。因此，图形直观是几何直观理论的最基础概念。而从数学教学的角度来讲，几何直观的形成和图形与几何教学内容有直接的关联，这其中涉及了几何图形本身的空间关系、点线面体关系、结构特征。

（二）描述及分析问题

从数学知识的角度来讲，几何直观往往体现的是学习者在分析几何图形的过程中，由自身主观思想产生的、对几何图形性质表征进行描述的事实，并且在已知信息的基础上进行问题分析的逻辑。通过描述以及问题分析，能借助几何图形本身的性质以及数学本质进行信息提取，显示具体的数学对象以及数学问题，并且定位这些要素之间存在的关联性。比如，在表达两个分数相乘这一概念时，其基本的算理本质是求一个数的几分之几是多少，那么利用画长方形示意图来表示两个分数相乘的最终结果是较为恰当的。这种数形结合的方式，能帮助学生尽快获取问题中呈现出来的已知信息，然后通过分析问题的基本算理来进行解答。

（三）进行问题表征

问题表征是几何直观的最核心价值，几何直观本身是一种表征手段，主要的表征对象为几何图形，而在表现几何图形特点以及相关信息的过程中，需要伴随分期以及解决问题的整体流程。例如，学生可以直接利用几何直观在表征问题时把握问题的已知信息；在分析解答思路时，打造更为直接的信息联络框架；在探寻问题最终结果的过程中，可以借助几何图形的特征以及相关空间关系进行推测。利用这种方式能有效提升学生解答问题的流畅性，构建清晰明确的探索思路，能快速进行结果预测，更有助于学生审美能力以及数学认知能力的提升。

二、以数学运算为基础的几何直观应用分析

史宁中教授曾经指出，数学教学需要在几何图形的基础上建立直观认知，利用代数语言来分析规律。这从学术角度证明了，几何直观和代数语言之间本身有着较为紧密的联系，尤其是小学数学教学，其不仅能夯实学生的数学基础，更能引导学生形成数学认知能力以及逻辑思维能力。因此借助几何图形来实现数的运算教学，帮助学生培养几何直观，是提升学生数学综合素养的根本表现。

（一）依托几何直观进行运算意义理解

数的运算在整体的数学教学过程中都至关重要，将直接影响学生本身的数学学习质量以及积极性，因此了解数的运算的具体概念，分析其中的相关含义，有助于提升学生的运算质量。而利用几何直观可以将抽象的运算意义具象化，便于学生快速理解，同时也可以提升学生的思维能力。

例如，在“乘法分配律”的教学中，为使学生从本质上理解乘法分配律，教师可以这样引导：刚才大家列的这些算式，真的都相等吗？任意选择一个算式，用自己喜欢的方法来说明算式的左右两边相等。可以写，可以算，还可以画。

全班反馈交流：

学生1：3×5+7×5=（3+7）×5，先算3个5等于几，再算7个5等于几，然后相加；也可以先求一共有10个5，再用10乘5等于50，左右两边都是在计算一共有几个5。（见图1）

图1

学生2：3×5+7×5=（3+7）×5，用一小段表示5，3个5加7个5一共10个5，他们都是在算一共有几个5，所以它们相等。（见图2）

图2

运算意义就是乘法分配律教学的本质依据。教学中，教师可以借助图形直观，引导学生从乘法的意义这个层面理解等式两边相等的道理，化抽象为具体，从本质上理解乘法分配律。

（二）依托几何直观进行运算算理分析

算理主要指的是数学计算背后的具体道理，需要让学生了解为何要这样计算、有什么意义以及具体逻辑是哪些。从学术角度来讲，算理包含数位值、运算规律、法则。在教学的过程中，引导学生明确运算算理，可以形成最基础的计算逻辑，全面提升学生的运算可行性。而在具体教学过程中，由于大部分的运算算理都以抽象的形式体现出来，学生可以利用实物操作以及学具操作的方式打造模型直观以及实物直观。而几何直观是建立在几何学的基础上利用图形直观来解释知识，整体流程更为简便快捷，同时可以有效提升学生的几何素养。

比如，在“分数乘整数”的教学过程中，教师可以打造多元化情境，帮助学生更好地理解分数乘法的算理。

（三）依托几何直观实现运算方法探究

运算方法是数的计算中的核心操作流程。而在小学教学过程中，要求学生能快速掌握数的运算方法，并且依托不同的情境，及时进行运算方法的调整，由此来全面增强学生的创新能力以及逻辑思维能力。而纵观当前，大部分的运算方法都涉及了简化以及省略等操作，那么进一步明确其中的运算逻辑，能引导学生更快地进行解题。比如，在分数和分数相乘的过程中，教师可以通过依次画图的方式来展现具体的运算逻辑。如图3所示，教师可以依次示范画图帮助学生初步理解含义；然后看图说一说分别是这张长方形纸的几分之几，得出学们，猜一猜两道算式中的乘数，它们与积的分子、分母间有什么联系？”引导学生比较、初步感知这其中的联系。再结合让学生动手画斜线表示计算结果，对比中梳理计算过程，总结算法。

图3

三、几何直观在数的计算中的应用注意事项

几何直观虽然能有效提升学生的数学计算能力和核心素养，但是在具体应用的过程中，还需要注意以下几方面的问题。

（一）加强几何图形含义的解析

几何直观本身依托几何图形的具体概念和含义进行运算教学，因此必须注重引导学生理解几何图形，分析几何图形的具体关系以及相关概念，这样才可以更好地使用几何直观来进行数学运算解析。

（二）合理定位几何直观的呈现时机

从当前的数学运算教学角度来讲，几何直观是一种帮助学生更好地进行运算理解的工具，并不是教学必需品，因此教师必须合理定位教学的时机和不同几何直观的选择，时机不当，极有可能干扰学生的认知。另外，在运算的过程中主要考验学生的自主解题能力以及创新思维意识，几何直观可以为其提供某一个方向上的解题思路，但是并不能完全代替学生的自主认知。因此在实际教学的过程中，教师可以合理利用几何直观帮助学生来解答难题，切勿完全将其作为学生解题的依赖方式。

（三）利用几何直观渗透抽象及概括概念

在数的运算教学过程中，几何直观的应用，最基础的是表达算理，能更形象地分析运算的相关关系以及具体操作步骤，但是其中的部分计算信息不需要全部呈现出来。在部分情况下，为了营造简洁的计算教学体系，还需要培养学生的概括能力以及抽象思维意识，那么可以直接利用几何直观来培养学生的这两种能力。

比如，在“乘法分配律”的教学中，教师可以借助几何直观展示其中的部分抽象信息。课前，教师可以先创设一个购物的生活情境，唤醒学生的生活经验：“小明买了5件夹克衫和5条裤子，夹克衫每件65元，裤子每条45元。一共付了多少元。”结合直观图帮助学生理解65×5+45×5=（65+45）×5。“如果小明买了c套服装，你还能写出乘积相等的式子吗？”适时呈现另一组直观图（见图4），引导感受省略号表示部分相似信息的省略。“如果夹克衫每件a元，裤子每条b元，你还能用a、b、c代表这三个数表示出上面的规律吗？”一步步地引导抽象，最后概括出（a+b）×c=a×c+b×c，“像这样两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再相加，这就是我们今天要学习的乘法分配律。”拓展了学生的抽象逻辑思维。

图4

（四）灵活进行几何直观调整

几何直观本身的载体是几何图形，而几何图形具有较强的多样性特点，尤其是小学阶段为学生塑造科学的几何图形认知观念至关重要。因此在常规的数学运算教学过程中，教师可以选取不同的几何图形作为几何直观的载体进行教学。比如，以长方形为依托进行的分数乘法教学，以圆形为依托进行的分数加减法教学，以线段图为依托进行的行程问题的计算教学等，帮助学生利用不同几何图形的特征去表征问题。这种灵活性的思路有助于培养学生的逻辑思维能力以及信息整合能力，可以在运算教学的过程中传递科学的几何观念以及运算逻辑，从而强化学生的数学核心素养。