联想解题“促”自然 创造编题“显”深度 ——2021年浙江省杭州市数学中考第16题的解法与创编探究

姜琴娣

(余杭区黄湖镇中学，浙江 杭州 311118)

在2021年各省各地的数学中考试题中，精彩“好题”层出不穷.“研题”不仅给我们带来无限的思维冲击，而且也给予我们无穷的乐趣享受，这必然能促进教学．细研浙江省杭州市数学中考第16题——填空压轴题，发现近6年来一直延续“折叠”题，“年年考，年年新”形成一种特色，已成为一道亮丽的风景线．现以2021年浙江省杭州市数学中考“折叠”题的拓展探究为例，探讨联想解题能力的培养、深度编题的策略，与同行们共享．

1 原题呈现简析

例1如图1，在一张矩形纸片ABCD中，点M是对角线AC的中点，点E在边BC上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，联结DF，EF．若MF=AB，则∠DAF=______ °．

图1

(2021年浙江省杭州市数学中考试题第16题)

命题者图画得精确，解题者量得精准，得到所求角的度数为18°，而且不设“陷阱”，可谓“秒杀”.经过简单推理，果然答案如此，让优等生有“简单得怀疑人生”的感觉，中等生有“压轴题做得真爽”的感受，后进生有“竟然用量角器都能做对”的感叹．

若命题者“故意”将图画得不精确一点，仅凭“量”解决不了问题，则又与实际不符，这是不严谨的，而且会使“魅力”黄金分割之美黯然失色．

由此看来，与以往相比，此题确实难度不大，没有上演压轴大戏，也因区分度不够而略显遗憾.但题目背景简约熟悉，知识常规中矩，图形蕴涵“0.618的美丽”，其实是一道值得细细品味、深度研究的“好题”．

2 联想解题探究

在教学中，追求“一题多解”，寻求适合学生自己的“最优解”，必定能挖掘题目的潜在价值，激增学生的思考容量，有效拓展学生数学思维的宽度，培养数学解题的知识联想能力，缩短数学思维的长度．

在本题中，对于条件“点M是对角线AC的中点”可以联想到：直角三角形“斜中线”定理、等腰三角形“三线合一”性质、三角形中位线定理、倍长(类)中线法、平行四边形的对角线互相平分等，于是非常自然地作出辅助线：如图2，联结DM(或联结BD)．

图2

解法1借助“共边等腰三角形”联想.

易得到等腰三角形△AMD，△MFD，△FDC，设∠DAF=x，则

∠FMD=∠FDM=2x，

进而

∠DFC=∠DCF=4x.

于是在Rt△ACD中，

∠DAC+∠ACD=90°，

即

x+4x=90，

解得

x=18，

故

∠DAF=18°．

评注结合矩形的性质、折叠、直角三角形斜中线等知识，综合运用3个“共边等腰三角形”，问题迎刃而解．

解法2借助“母子等腰三角形”联想.

易得△MCD，△MFD，△FDC为母子等腰三角形，联想到“黄金三角形”，可得∠CMD=36°，又根据△AMD是等腰三角形，利用外角性质可得∠DAF=18°．

评注根据母子相似三角形进行“巧妙转移”视线，利用“黄金三角形”直接获解，解题思路非常简捷高效．

解法3借助“轴对称列方程组”联想.

设∠DAF=x，∠CDE=y，因为∠ADF+∠CDF=90°，∠DFC+∠FDE=90°，所以得方程组

解得

x=18，y=18,

即

∠DAF=18°．

评注充分利用轴对称列出方程组顺利求得答案，达到了“左右逢源”的效果．

解法4借助“母子直角三角形”联想.

由折叠可知DE⊥AC，交AC于点N，又

∠ADC=90°，

于是

△ADN∽△DCN∽△ACD，

从而

∠DAF=∠CDE.

设∠DAF=∠ADM=x，则

∠DMF=∠MDF=2x， ∠FDE=∠CDE=x，

由于 ∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=90°，

即

x+2x+x+x=90，

解得

x=18，

故

∠DAF=18°．

评注观察到“母子相似”就能迅速实现战线统一，解题的核心素养得以充分展现．

本题中的折叠问题涉及两个“熟悉”的模型：

1)“鸡爪”模型.如图3,MA=MD=MC(一个顶点引出的3条线段叫做“鸡爪型”线段).

图3

2)“三节棍”模型.如图3，CD=DF=FM(一条线段连接另两条线段组成的图形叫做“三节棍”图形)．

解题时，需要将图形适当、恰当地分离，概括、提炼出特殊模型(识模)，借助模型可以联想到相应知识(用模)，进而解决数学问题(解模)，促进学生数学解题的自然生成．

3 创新编题策略

“知识求联，方法求变”，对试题进行有效变式拓展，有利于进一步感悟“母题”的解法，理解问题的本质，训练数学思想方法，不断提升分析、思考、研究问题的思维能力[1]．在实际的教学“题组演练”过程中，教师积极采用“三十六计”策略，乐此不疲，精彩之技不容错过，同时让学生学会举一反三，远离题海战术，助推初中数学核心素养的培养．

创编策略1瞒天过海，化“静”为“动”.

例2图4是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在射线CB上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在直线AC上的点F处，联结DF，EF．当FM=AB时，∠DAC=______°．

图4 图5

评注例2提供一个参考图，给学生展现空间想象的机会，将“静”的原图“动”起来，边AB仍静止，把边CD水平向右拉伸得到图1(18°)，或水平向左压缩得到图5(54°).考查学生“分类讨论”思想的运用，“瞒天过海”，解题思路与原题完全不同，学生自行作出图形，尽管“测量法”仍适用，但难度上骤然提升，同时也增添了“数学味”．

创编策略2偷梁换柱，变“显”为“隐”.

例3如图1，在一张矩形纸片ABCD中，点M是对角线AC的中点，点E在边BC上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，联结DF，EF．若MF=AB=2，则AC=______．

评注例3将原题“求角度”改为“求长度”，在一定程度上提升了难度．原题所求角度显性18°被隐藏，“偷梁换柱”后联想不到36°，进而联想不到“黄金三角形”，往往会与“妙法”擦肩而过.此题若利用方程思想去解则不太容易．

创编策略3明修栈道，引“暗”变“明”.

图6 图7

评注例4将条件“点M是对角线AC的中点”改为“对角线AC，BD相交于点M”，实现知识转向，将暗知“直角三角形斜中线”变为明知“矩形对角线互相平分”.给定“图6和图7”，呈现明确的两种情况，变为“明修栈道”，着重考查学生的数学思想运用能力．

创编策略4声东击西，由“近”及“远”.

例5在一张矩形纸片ABCD中，AB=12，点M是对角线AC的中点，点E在射线CB上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在直线AC上的点F处，联结DF，EF．

1)如图8，当F为MC的中点时，AD=______．

图8 图9

2)如图9，当F为MA的中点时，AD=______．

评注本改编考查“分类讨论”思想相关知识的运用．为了分散画图技能的难点，设置两个小题，给出了图8和图9，意图是为了降低难度，节省解题时间.第1)小题的“声东”为第2)小题的“击西”提供知识支架，让学生拾级而上，难度适宜，达到了由“近”及“远”的效果．

创编策略5围魏救赵，避“实”就“虚”.

例6在一张矩形纸片ABCD中，AB=12，点M是对角线AC的中点，点E在射线CB上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在直线AC上的点F处，联结DF，EF．如图10和图11，当F为AC的三等分点时，AD=______．

图10 图11

评注例6给出图10(“赵”)和图11(“魏”)，不同活动经验的学生的解题能力在“围魏救赵”计策下显露无遗，要救“赵”，不妨先围“魏”，避实就虚，击中要害，左右逢源，运筹于帷幄之中，呈现一定的压轴信度.当然，如果不给予一个备用图(图10和图11)，那么本题彻底压轴，“画图，推理，运算”三技共舞，难度系数瞬间提高，随之也提升了区分度，但在目前“双减”背景下，不宜出一些过难之题．

4 解编教学启示

教师需关注解题“解”得精彩，更需注重编题“编”得精致.其实二者是相辅相成的，值得教师尽力探索、极力尝试、倾心渗透、潜心研究．

4.1 联想“促进”自然

“联想是思维的翅膀，解题离不开联想”．近几年浙江省杭州市数学中考试题都有意避开套用“模型”，考查的是数学本质，学生必须凭借对数学的理解，临场发挥解决问题[2]．

在教学中，教师要重视基本活动经验的积累，让学生先行，呈现思考过程；要加强知识“联想”的训练，让学生善于“联想”.教师要围绕数学本质进行总结和归纳，长此以往必然会对提高解题能力、优化思维品质大有裨益，从而促进学生自然解题．

4.2 创编“彰显”深度

深度学习意味着学生需主动地参与知识的构建，获得良好的可迁移的认知结构，能综合应用和灵活运用所学知识解决问题[3]．

正如本题采用化静为动、变显为隐、引暗变明、由近及远、避实就虚等创新编题策略，以核心素养为基点、能力立意为基准、数学思想为基线、活动经验为基调，从而彰显学习的深度．

总之，在几何复习课教学中，由于落实“双减”的需要，教师只有多思考、多研题、多拓编，同时必须适当考虑难度的控制，进行精准的知识关联和整合，才能充分拓宽学生的视野，夯实学生的基础知识，迁移自然解题能力，演进和内化学生的数学核心素养．