大概念统领下的单元复习设计——以“绝对值”为例

汪 健, 任念兵

(1.华东师范大学第二附属中学，上海 201203；2.上海外国语大学附属外国语学校，上海 200083)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:教师要以数学学科核心素养为导向，……引导学生从整体上把握课程，实现学生数学学科核心素养的形成和发展.落实整体把握教学内容要求的一个有效途径是进行“单元—课时”教学设计，由单元设计为课时设计指引方向，通过课时设计来落实、支撑单元设计的理念．如同章建跃博士指出的：“单元—课时”教学设计能够充分体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性，切实防止碎片化教学，通过有效的“四基”“四能”教学，使数学学科核心素养真正落实于数学课堂[1]．

事实上，国际教育界对单元整体教学的研究由来已久，其中比较具有代表性的一种观点是以“大概念”为“锚点”，将素养的培养落实到具体教学中．所谓“大概念”，可以被界定为反映专家思维方式的概念、观念或论题．用“大概念”来组织知识，可以帮助学生在知识之间建立有意义的联系，从而提升理解的品质，促成高通路迁移[2]．

本文将在“大概念”的视角下，以高三复习中与绝对值和模相关的问题为例，探索复习课的“单元—课时”教学设计．为便于讨论，我们把求含绝对值(或向量、复数模)的表达式的最值、取值范围或其中所含参数应满足的条件等问题，统称为“绝对值问题”．

1 内容和内容解析

绝对值是学生在初中数学课程中接触的一个重要概念，它在代数上与几何上都具有重要的意义．教材中往往将这两重意义同时呈现，以帮助学生理解绝对值的内涵．

首先，绝对值运算的分段定义方式提供了分段函数的雏形，绝对值函数也是不少教材用于引入分段函数(或称函数的分段表示法)的首选．而“运算”不仅是数学学习的基本任务，也是贯穿于高中数学的一条逻辑“暗线”[3]．在教学中可以尝试将运算从函数中剥离出来，使运算不再作为函数的依附，而是运算先行，再引入函数观点．

其次，借助绝对值所代表的“距离”这一几何意义，可将其从数轴上两点之间的距离推广为一般有向线段的长度:在有向线段的终点处添上箭头，演化为向量的模；又借着复数的几何意义引申为复数的模，一以贯之地沿用了记号“|a|”的同时，逐步迁移并发展了绝对值的概念．而串联起这一系列“距离”的，则是平方运算，这为通过二次函数研究绝对值和模的性质提供了途径．

最后，绝对值问题涉及的思想方法也具有较高的育人价值．作为分段函数的绝对值函数所体现的分类思想是近现代数学中的重要思想．绝对值的定义很好地体现了从“现象分类”到“本质分类”的演进过程，能够培养学生的辩证思维[4]，提升逻辑推理素养．而作为数轴上的“距离”，绝对值更是体现了数学的研究对象——数量关系与空间形式之间的对立统一关系，是学生发展“四基”、提高“四能”的重要载体．

综上所述，我们将本单元的教学重点定为：提炼绝对值问题中的分类讨论与数形结合思想方法，理解其中所蕴涵的函数思想．

2 目标和目标解析

2.1 单元目标

1)了解作为距离概念之基础的绝对值运算和取模运算，把握原始的绝对值定义作为数轴上有向线段的长度这一内涵，体会绝对值的分段定义与数轴上有向线段的定向分类的联系；

2)掌握处理绝对值问题的两种基本方法——“去绝对值—分类讨论”“构建距离—数形结合”，初步体会两种思想在解决绝对值问题过程中的作用；

3)掌握在两向量(或复数)差的模与平面上两点间的距离之间的转换手段，将距离表达式平方以便转化为二次函数来处理；

4)理解含绝对值的表达式与分段函数研究过程的共通性，能将绝对值问题转化为距离问题，并建立其与二次函数的联系，发展逻辑推理、数学运算、直观想象素养．

2.2 目标解析

1)学生知道实数的绝对值、复数的模、有向线段的长度、向量的模等各个概念之间的联系和发展过程，能体会上述诸概念之间的共性；

2)学生会从几何视角解释相应的代数表达式，也会用代数式表示几何上的距离并做适当的变形；

3)学生能将含绝对值的变形转化与分类讨论过程应用于函数问题、向量(复数)模的和差、递推数列等情境；

4)学生能将类似距离的概念和绝对值问题的联系化归为已有距离概念与绝对值问题的联系，并用于解决相应问题．

3 教学问题诊断分析

绝对值问题是落实各种数学思想方法的有效载体，也是高三复习课关注的热点之一．尽管这不是一类陌生的问题，但学生在解决绝对值问题时仍然会遇到许多困难．

首先，如何选择解决方案．学生面对绝对值问题时，往往在解题路径的选择上犯难，或者手段比较单一，试图寻找“万能公式”，不能针对具体问题具体分析；或者在选择时比较盲目，只能得出“一题一法”，而得不到通性通法．解决这个问题，需要教师引领学生归纳出绝对值问题的常用解题路径，并结合具体实例分析每种路径的适用场景，进而帮助学生发展在综合场景下选择路径，甚至自行组合现有解决方案的能力．

其次，如何选择分类标准．分类讨论是绝对值问题的一种有效的解决方案．在绝对值问题的分类讨论解法中，选择分类标准是一个貌似浅显实则困难的环节．众所周知，分类讨论的关键在于不重不漏．绝对值问题的分类讨论中，主要涉及的是绝对值内表达式的符号问题，而后者又往往与不等式(组)相关联，造成学生在讨论过程中分类标准不清；或者在同一个范围内反复计算，徒增无谓的运算量，淹没了主线思想；或者在讨论时遗漏约束条件，导致缩小或扩大解的范围．这个困扰的消除需要长期的学习和积累．

第三，如何建立几何模型．绝对值问题往往以常规几何问题或代数问题的面目出现，这就造成学生无法轻易识别其中一些问题背后隐藏的距离概念，从而难以在问题中的“数”与“形”之间进行转化．同时，囿于学生的个人经验和直观想象能力，将常规的几何模型转化并应用于新定义的距离(如直角距离)，也是学生运用数形结合思想解决绝对值问题的一大难关．为化解这个困难，可以尝试引导学生探究新定义距离下的几何学(如考查欧氏距离下经典轨迹问题在“直角距离”[5]下的对应图形)，从而帮助学生建立几何直观．

第四，如何运用函数思想．将含绝对值的表达式平方变形，是对其进行化简的一种常见手段．在绝对值问题中，由于代数表达式的复杂性，将表达式平方并非不二之选．如果问题中涉及多个绝对值表达式，那么平方之后对简化问题的帮助往往不大．但是通过平方的手段将绝对值问题转化为二次函数的思想仍然有其价值．这属于一般观念的层次，需要教师引导学生体会．

4 课时教学设计

根据以上关于绝对值问题的分析，可对以绝对值问题为数学主题的单元进行课时教学设计．按照复习课的特点，可将课时分为下列教学环节：

知识点击——复习与课时内容相关的基本概念、基本方法等；

读题审题——展示例题，师生共同读题审题，分析问题要素；

策略设计——按照审题的结论设计解题路径，优化解题策略；

拓展联系——考虑变式问题，比较问题间的异同，深化理解；

反思启迪——总结本课中体现的思想方法，提升为一般规律；

巩固练习——将解决方法类似的问题作为练习，巩固所学．

根据单元内容解析和单元目标解析，将“绝对值问题”单元分解为3个课时，内容分别为绝对值问题中的分类讨论法、数形结合法和函数思想．下面以第一课时“绝对值问题的分类讨论法”为例，对课时的教学设计进行探讨．

课时重点“去绝对值—分类讨论”过程的理解与运用．

课时难点正确执行分类讨论的过程．

环节1知识点击.

问题1含绝对值的函数y=|x|±|ax+b|(其中a,b>0)的图像具有什么特征？其作图过程是什么？

师生活动学生独立思考，教师选择学生代表面向全班交流，并完善结论——图像由两条射线和连接它们端点的线段组成，一般先确定两条射线端点的位置，再找出两条射线的斜率．

追问11)函数y=|x|±|ax+b|(其中a,b>0)的图像上有两处“拐角”，它们的位置如何确定？

师生活动学生思考并回答，教师提示其中蕴涵的分类讨论思想——作图前需要将y=|x|±|ax+b|改写为不含绝对值的分段函数形式，讨论其3段表达式分段点的位置和相应的解析式．教师提示：该过程可归纳为“去绝对值—分类讨论”．

师生活动学生思考、讨论，师生共同总结——“拐角”的位置和图像各段的斜率都需要按系数的情况进一步分类讨论，但是“拐角”的个数和图像的“分段线性”特征是一致的．

设计意图函数图像的直观特性使它成为研究函数性质的得力“助手”．由于我们关注的是函数图像所反映的函数整体性质，因此，函数作图的重点在于尽可能准确地描述函数的动态：单调性、奇偶性、周期性等．形如y=|ax+b|±|cx+d|的函数提供了分段函数作图的范本，其中的“分段线性”和“拐角”特征既展示了处理绝对值问题时的分类讨论思想，又区别于描点作图，蕴涵着“化无限为有限”的思想，体现了函数作图的一般研究路径．同时，y=|x|±|ax+b|可以作为形如y=|ax+b|±|cx+d|的函数的代表，其作图的研究也为后续问题的展开提供了思路．

环节2读题审题.

例1设f(x)=|x-b1|+|kx-b2|-|2x-b3|，其中常数k>0，b1,b2,b3∈R．若函数y=f(x)的图像如图1所示，则数组(b1,b2,b3)的一组值可以是

图1

( )

A．(3,-1,1) B．(1,-2,-1)

C．(-1,2,2) D．(1,-3,1)

水稻是建湖县的主要粮食作物，常年种植面积在4.67万hm2左右，稻谷产量41.4万吨左右。大力推广水稻病虫绿色防控技术，既能经济有效地控制农作物病虫危害、保证稻谷产量，又达到农药减量增效、保护生态环境和农产品质量安全的目的。为此，植保植检站做了大量的工作。

(上海市长宁区2021届高三数学一模试题第16题)

师生活动共同分析题目条件，特别是函数图像蕴涵的信息．对比图像的特征，讨论题干中出现的参数对图像形态的影响．

设计意图虽然函数的表示方法以解析式形式为主，但是不能忽视由图像法表示的函数．数学分析中强调通过研究函数的性质来作图，将图像作为函数性质的综合反映.因此，由图像给出函数也可视作对上述由性质到图像过程的逆向思维，考查此类问题有助于发展学生的直观想象和逻辑推理素养．

环节3策略设计.

问题2我们已经看到，要把f(x)的解析式和图像联系起来，首先需要确定k的值．通过图像给出的什么信息可以解决这个问题？

师生活动学生思考并回答．必要时，教师提示此问题与y=|ax+b|±|cx+d|的图像特征的联系．得出结论：由图像两端的水平射线可知k=1．

问题3对比y=|ax+b|±|cx+d|的图像特征，可以通过已知函数图像的哪个特征来排除干扰选项？

追问“拐角”位置相匹配是(b1,b2,b3)符合要求的充要条件吗？可以怎样检验我们选出的答案？

师生活动学生思考、讨论，师生共同总结——上述解决方案考虑的是(b1,b2,b3)成为解的必要条件，并未将各段图像的斜率变化情况考虑在内．(b1,b2,b3)应满足的充要条件较为复杂，留待课后思考．

环节4拓展联系.

(上海市浦东新区2017届高三数学二模试题第12题)

问题4“去绝对值—分类讨论”的过程可以怎样应用于本题？

师生活动学生讨论、回答，教师完善结论：原式必取|a·e±2b·e±3c·e|的4种可能的值之一．由|e|=1知原式的最大值一定等于|a±2b±3c|的4种可能值中的最大者．

设计意图含绝对值表达式的最大值问题常用三角不等式求解，将和的绝对值放大为绝对值的和．但是本例所求表达式是3个绝对值的和，按照上述思路无法继续放大，因此需要回归基本的“去绝对值—分类讨论”过程，也可算是一种逆向思维．

环节5反思启迪.

问题5回顾本课内容，回答下列问题：

1)本课处理绝对值问题的主要方法是什么？

2)你能结合具体实例说明自己对“去绝对值—分类讨论”过程的理解吗？

3)有人认为“含绝对值的函数本质是分段函数”，你如何理解这种观点？

师生活动学生讨论、回答，教师进行补充完善，归纳出本课聚焦的处理绝对值问题的主要方法，突出分类讨论思想在此类问题解决过程中的具体表现形式，即“去绝对值—分类讨论”．

设计意图回顾本课的主要内容，使学生在归纳提炼思想方法的同时，体悟数学基本技能和基本思想，提高分析和解决问题的能力．问题3)是开放性的，因为“分段函数”并不是一个明确界定的数学概念，而是函数的一种表示方法．有人认为处理含绝对值的函数问题经常需要进行分类讨论，但是后续授课内容会打破这一思维定势．用该问题引发学生的关注也正是对此进行批判性的思考．

环节6巩固练习.

例3设数列a1,a2,…,an是数列1+21,2+22,3+23,…,n+2n(其中n∈N*，n≥3)的一个排列，求表达式f(a1,a2,…,an)=|a1-a2|+|a2-a3|+…+|an-1-an|的最大值，并说明理由．

(上海市浦东新区2020届高三数学一模试题第21题)

设计意图该问题的解决沿用了“去绝对值—分类讨论”的思路，但是需要对各个绝对值的符号进行定量讨论，这是本课思想方法的延伸与细化．

以上是我们对“绝对值”这个大概念统领下的“绝对值问题”单元整体教学设计的一个初步尝试，对“大概念”在单元复习中的“锚点”作用及其教学效果还有待进一步研究．