《开天辟地：宇宙演化理论》

本书作者善用源于日常生活的比喻阐释复杂的宇宙物理问题，为读者展示人类迄今所探知的宇宙诞生和演化的历程，从日常的世界到微小的世界，再到巨大的世界，将一幅宇宙从起源到归宿的宏大图景在读者的脑海中缓缓展开，让不可思议的宇宙变得亲切和美丽。

数学的三次危机都可以说是与悖论联系在一起的。第一次数学危机可追溯到古希腊时代的希帕索斯悖论，起因是研究某些三角形边长比例时发现的无理数，泄露这个“怪数”的学者希帕索斯（Hippasus，大约公元前500年）被他的同门弟子扔进大海处死。第二次危机则与芝诺悖论及贝克莱悖论有关，基于对无穷小量本质的研究，它的解决为牛顿、莱布尼茨创建的微积分学奠定了基础。毕达哥拉斯学派在淹死了希帕索斯之后，对错误有所认识，被迫承认了无理数，并提出了“单子”，它有点类似“极小量”的概念。不过，这个做法却遭到了诡辩数学家芝诺的嘲笑，他抛出了一个快跑运动员阿格里斯永远也追不上乌龟的“芝诺悖论”，令历代数学家反复纠结不已。牛顿发明微积分之后，虽然在实用上颇具优势，但理论基础尚未完善，贝克莱等人便用悖论来质疑牛顿的无穷小量，将其称之为微积分中的“鬼魂”。

因为前两次数学危机的解决建立了实数理论和极限理论，后来又有了康托的集合论，数学家们十分兴奋激动，认为数学第一次有了“基础牢靠”的理论。

然而，当初康托的集合论对“集合”的定义太原始了，以为把任何一堆东西放在一起，只要它们具有某种简单定义的相同性质，再加以数学抽象后，就可以叫作“集合”了。没想到如此“朴素”的想法也会导致许多悖论，罗素悖论就是其中之一。因此，在这些悖论解决之后，人们便将康托原来的理论称为“朴素集合论”。

实际上，集合可以分为在逻辑上不相同的两大类，一类（A）可以包括集合自身，另一类（B）不能包括自身。可以包括自身的，比如说，图书馆的集合仍然是图书馆；不能包括自身的，比如说，全体自然数构成的集合并不是一个自然数。

显然一个集合不是（A）类就应该是（B）类，似乎没有第三种可能。但是，罗素问:由所有（B）类集合组成的集合（X），是（A）类还是（B）类? 如果你说（X）是（A）类，则（X）应该包括其自身，但是（X）是由（B）类组成，不应该包括其自身。如果你说（X）是（B）类，则（X）不包括其自身，但按照（X）的定义（X）包括了所有的（B）类集合，当然也包括了其自身。总之，无论把（X）分为哪一类都是自相矛盾的，这就是罗素悖论(Russell paradox)，即理发师悖论的学术版。

还有一个与朴素集合论有关的悖论，叫作“说谎者悖论”（Liar paradox），由它引申出了许多版本的小故事。它的典型语言表达为：“我说的话都是假话”。为什么说它是悖论？因为如果你判定这句话是真话，便否定了话中的结论，自相矛盾；如果你判定这句话是假话，那么引号中的结论又变成了一句真话，仍然产生矛盾。

上述这两个悖论导致了一种“左也不是，右也不是”的尴尬局面。说谎者悖论中的那句话，无论说它是真还是假，都有矛盾；而罗素悖论中的集合（X），包含自己或不包含自己，也都有矛盾。朴素集合论产生的另一个有趣悖论（柯里悖论）与上述两个悖论有点不一样，它导致的荒谬结论是“左也正确，右也正确”，永远正确!

我们也可以用自然语言来表述柯里悖论。比如我说：“如果这句话是真的，则马云是外星人。”根据数学逻辑，似乎可以证明这句话永远都是真的，为什么呢？因为这是一个条件语句，条件语句的形式为“如果A，则B”，其中包括了两部分:条件A和结论B。在这个例子中，A=这句话是真的，B=马云是外星人。

如何证明一个条件语句成立？如果条件A满足时，能够导出结论B，这个条件语句即为“真”。那么现在，将这个方法用于上面的那一句话，假设条件“这句话是真的”被满足，“这句话”指的是引号中的整个叙述“如果A，则B”，也就是说，A被满足意味着“如果 A，则B”被满足，亦即B成立。也就得到了B“马云是外星人”的结论。所以，上面的说法证明了此条件语句成立。

但是，我们知道事实上马云并不是外星人，所以构成了悖论。此悖论的有趣之处并不在于马云是不是外星人，而是在于我们可以用任何荒谬结论来替代B。也就是说，通过这个悖论可以证明任何荒谬的结论都是“正确”的。如此看来，这个悖论实在太“悖”了!

以上三个悖论都牵涉到“自我”指涉(selfreference)的问题。理发师不知道该不该给“自己”理发，说谎者声称的是“我”说的话。柯里悖论产生的关键是“这句话”的语义表达中包括了条件和结论两者。这样看来，将自身包括在“集合”中不是好事，可能会产生许多意想不到的问题。那么，如果将自身排除在集合之外，悖论不就解决了吗？也许问题并非那么简单，但总而言之，这些悖论提醒数学家们重新考察集合的定义，并为它制定了一些“公理”作为条条框框，从而使得康托的朴素集合论走向了现代的“公理集合论”。