以终为始：圆锥曲线问题中设线的基本原则

朱 潇

(湖北省武汉大学附属中学 430064)

笔者在文[1]中以圆锥曲线中的设线方式问题为例，分析了不同设线方式对于计算量的影响．在最近一次高三复习课“同课异构”研讨活动中，有教师提出关于设线方式的一个观点：如果直线过x轴上定点，选择“反设”(x=ty+m)；如果直线过y轴上定点，选择“正设”(y=kx+b)，这样就可以减少计算量．笔者认为这种观点不仅值得商榷，还固化了学生的思维，不利于数学运算素养的培养．在圆锥曲线解答题中如何选择合适的设线方式？如何将其背后的算理内化为学生的运算素养？笔者认为“以终为始”是圆锥曲线问题中设线的基本原则；在课堂上将“怎么做”扭转为“为什么这么做”，可在帮助学生理解算理的同时，让提升学生的运算素养成为可能．

1 一定要“正设”吗？

2 一定要“反设”吗？

若l与x轴不重合，设l的方程为x=ty+1(t≠0)，设M(x1,y1),N(x2,y2),R(0,y3).

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3 如何选择合适的设线方式

3.1 设线方式的本质分析

3.2 设线方式的原则

图1

有些问题核心条件或结论的转化较为复杂，需要进行二次转化，形成新的目标式子，进而再选择设线方式．但无论是哪种类型，培养学生的目标意识，遵循“以终为始”的设线原则，进而发展用程序化的思想理解、表达问题的能力，才是数学运算素养的最终诉求．

3.3 设线方式教学的价值旨归

高三复习课的专题分类经常是题型导向，而“设线方式问题”是方法导向．《普通高中数学课程标准(实验)》中要求利用8课时左右时间专门讲《推理与证明》，内容要求结合学习过的实例讲解综合法、分析法等，体现证明数学命题的方法性[2]．《普通高中数学课程标准(2017年版2020修订)》中删除了《推理与证明》，提倡将证明数学问题的方法以渗透的方式融合在平时教学内容中[3]．“设线方式问题”的教学就是一个很好的载体．本专题中，在学生习得“以终为始”的设线原则的同时，教师通过带领学生分析题目关键条件(结论)，以分析法的思路得到解题的起点，然后以综合法的步骤书写解题过程，将书写过程、思维过程与综合法、分析法对应，真正从“教题型”中解脱出来，进而走向“教方法”.这一过程也为发展数学运算素养提供了可行场域．

4 结语

在解题过程中目标意识是最为重要的．圆锥曲线中目标意识是“终”，设线方式是“始”．“以终为始”是解决这类目标导向很明确的问题的基本原则．长期以来，我们习惯于呈现解题方法，忽视了思维的过程．表现为教师在课堂里直接告诉学生诸如“抛物线开口向右选择反设、面积问题中水平宽为定值时选择反设”等总结好的套路，固化了学生的思维．在解题教学中遵循“以终为始”的基本原则，生成火热的思考，有助于帮助学生“知其然，知其所以然”，进而“知何由以知其所以然”．