工件旋转法磨削硅片的亚表面损伤深度预测

高尚，李天润，郎鸿业，杨鑫，康仁科

（大连理工大学 精密与特种加工教育部重点实验室，辽宁 大连 116024）

1 引言

单晶硅片是制造集成电路、MEMS器件、智能传感器、光子器件等半导体器件的重要衬底材料，在超平整超光滑低损伤表面的硅片上运用注入、沉积、光刻等工序制成晶圆，再经过背面减薄和封装等工序最终制造出半导体芯片［1］。工件旋转法磨削作为硅片超精密加工的关键技术，主要用于大尺寸硅片（主流产品尺寸为300 mm）平整化加工和背面减薄加工（从0.75 mm减薄到0.05 mm以下）［2-3］。目前，硅片的超精密磨削加工主要采用金刚石砂轮，利用超硬金刚石磨粒的微切削作用去除工件表面材料，不可避免地会在硅片的表面/亚表面产生损伤层，即使采用细粒度金刚石砂轮和采用低进给速度减小磨粒切削深度，以延性域方式磨削硅片，硅片表面/亚表面仍然会产生微磨痕、位错和非晶等损伤［4］，必须采用后续的化学机械抛光（Chemical Mechanical Polshing，CMP）工艺获得超光滑无损伤的硅片表面。但是，CMP加工的材料去除率低、加工成本高，如果前道工序金刚石砂轮磨削产生的亚表面损伤层越深，后续CMP的加工时间和加工成本就越高，此外，长时间的CMP加工还会导致磨削硅片的面形精度变差［5-6］。为了缩短CMP的加工时间，提高硅片整个工艺流程的加工效率，降低加工成本，控制硅片的亚表面损伤深度是硅片超精密磨削加工的核心问题之一。超精密磨削硅片的亚表面损伤深度检测主要有截面显微观测法、角度截面显微观测法、逐层腐蚀法和截面透射电子显微镜观测法等，这些方法均需要对硅片进行破坏，制备满足特定要求的检测试样，且试样制备时间长、成品率低，导致硅片亚表面损伤深度的检测周期长、效率低［7-8］。因此，研究超精密磨削硅片的亚表面损伤深度预测方法对于控制磨削硅片的表面/亚表面质量，优化硅片高效低损伤磨削工艺具有重要的指导意义。

目前，单晶硅、玻璃等硬脆材料超精密加工表面损伤层深度的预测方法主要借助于压痕断裂理论建立表面粗糙度和亚表面损伤深度之间的数学关系，通过检测工件加工表面的粗糙度预测其亚表面损伤深度。需要指出的是，现有通过工件表面粗糙度预测亚表面损伤深度的模型都是基于Lawn等［9］提出的压痕断裂模型改进而来。Li等［10］建立了光学材料磨削和研磨加工的表面粗糙度Rz和亚表面损伤深度之间的非线性关系，并研究了材料特性对亚表面损伤深度的影响。LV等［11］研究了超声辅助磨削加工BK7玻璃的亚表面损伤深度预测模型，发现亚表面损伤深度与表面粗糙度Rz的平方成比例关系。Chen等［12］考虑磨削过程中砂轮振动的影响，提出脆性材料磨削亚表面损伤深度与表面粗糙度之间呈二次多项式关系，但多项式中的各个常数需要根据具体加工条件和工艺参数来进行修正，导致该模型很难得到实际应用。Gao等［13］根据压痕断裂力学理论和理想塑性材料孔洞扩张的Hill模型建立了硬脆材料脆性域加工的表面粗糙度Rz与亚表面裂纹深度的数学模型，提出了石英玻璃脆性域磨削的亚表面损伤深度与表面粗糙度Rz的定量关系。Yao等［14］考虑超精密平面磨削光学玻璃时砂轮、磨粒和工件之间的相对运动和磨削参数对亚表面损伤深度的影响，建立了平面磨削光学玻璃时亚表面损伤深度与表面粗糙度Rz和磨粒切削深度之间的定量关系。Li等［15-16］在上述研究的基础上，进一步研究了平面磨削的磨粒切削深度模型，修正了亚表面损伤深度与表面粗糙度Rz和磨粒切削深度之间的数学模型，并通过BK7光学玻璃和单晶硅的超精密磨削试验对模型进行了验证。然而，已公开发表的文献中报道的硬脆材料磨削表面损伤层深度预测模型均是针对硬脆材料在磨削过程中的材料去除方式为脆性断裂去除时，产生的亚表面损伤深度以微裂纹为主要损伤特征。对于脆性材料在磨削过程中的材料去除方式为塑性流动去除或同时包括脆性断裂去除和塑性流动去除的亚表面损伤深度预测模型还未见报道。硬脆材料磨削表面损伤层深度预测模型是针对传统平面磨床的磨削方式建立的，工件旋转法磨削硅片采用杯型金刚石砂轮，磨削时砂轮和硅片绕各自轴线旋转，同时砂轮进行轴向进给实现硅片表面材料的去除，磨削过程中砂轮与硅片的接触面积、接触长度和切入角均保持不变，因此工件旋转法磨削时砂轮磨粒与工件相互作用的运动轨迹以及磨粒切削深度与磨削参数之间的关系均与传统平面磨床的磨削方式不同，基于传统平面磨削方式建立的亚表面损伤深度预测模型不适用于工件旋转法磨削方式。鉴于上述情况，有必要深入研究工件旋转法磨削硅片的亚表面损伤深度预测模型。本文通过分析工件旋转法磨削硅片的表面几何轮廓参数，以及脆性域和延性域磨削硅片时不同材料去除方式形成的表面轮廓特征，借助于压痕断裂力学理论建立磨粒切削深度、表面粗糙度Ra和亚表面损伤深度之间的数学关系，推导出工件旋转法磨削硅片的亚表面损伤深度预测模型，并通过硅片超精密磨削实验对模型进行了验证与分析。

2 工件旋转法磨削原理

工件旋转法磨削原理如图1所示。该方法采用杯型砂轮立轴磨削方式，硅片通过真空吸盘装夹在旋转工作台上，硅片的中心与工转台的中心重合，杯形砂轮的磨削层通过硅片中心，磨削过程中硅片和杯形砂轮绕各自轴旋转，砂轮同时沿轴向连续进给，对硅片表面进行轴向切入磨削。为了实现磨削硅片面形的主动控制，同时减小加工过程中的磨削力和磨削热，需要微调砂轮主轴轴线与旋转工作台主轴轴线的夹角，使砂轮和硅片实现半接触磨削，如图2所示。

图1 工件旋转法磨削原理Fig.1 Principle for workpiece rotational grinding

图2 半接触磨削示意图Fig.2 Illustration of half-contact grinding

3 亚表面损伤深度预测模型

磨削过程中砂轮砂粒与硅片表面的相互作用具有随机性，难以对超精密磨削硅片的表面宏微观形貌特征进行全面精确的描述。为了建立磨削硅片的亚表面损伤深度预测模型，在模型中需要对磨削硅片表面的形成过程和形貌特征进行简化。假设和简化条件具体如下：

（1）具有相同刃圆半径的磨粒随机分布在砂轮磨削层中，砂轮磨粒在硅片表面产生的磨纹沟槽深度与磨粒切削深度相同，且磨粒的切削深度符合瑞利分布；

（2）塑性域磨削硅片时砂轮磨粒在硅片表面产生的磨纹沟槽截面形状为半圆形，脆性域磨削硅片表面的磨纹沟槽截面形状为半椭圆形［17-18］；

（3）砂轮磨粒在硅片表面产生的磨纹沟槽发生重叠时仅在沟槽两侧重叠一次，相同形状磨纹沟槽的重叠区域在硅片表面的投影宽度为磨粒切削深度的2/3［17］。

超精密磨削硅片的表面微观形貌是由砂轮磨粒在硅片表面产生的磨纹沟槽叠加而成的，如图3所示。根据砂轮磨削硅片的磨粒切削深度t与硅片表面轮廓中心线ycl和单晶硅脆塑转变临界切削深度hc之间的关系，将磨削硅片的表面微观几何形貌分为3个区域。在区域Ⅰ中，砂轮磨削硅片的磨粒切削深度t1小于磨削硅片表面轮廓的中心线ycl，且小于单晶硅的脆塑转变临界切削深度hc，在该区域中硅片表面材料的去除方式为塑性流动去除，硅片表面磨纹沟槽的截面形状为半圆，其半径为t1。在区域Ⅱ中，砂轮磨削硅片的磨粒切削深度t2大于硅片表面轮廓的中心线ycl，但小于单晶硅的脆塑转变临界切削深度hc，该区域中磨削硅片表面材料的去除方式为塑性流动去除，硅片表面磨纹沟槽的截面形状为半圆，其半径为t2。在区域Ⅲ中，砂轮磨削硅片的磨粒切削深度t3大于硅片表面轮廓的中心线ycl和单晶硅的脆塑转变临界切削深度hc，该区域硅片表面材料的去除方式为脆性断裂去除，硅片表面磨纹沟槽的截面形状为半椭圆形，半椭圆的长短径分别为t3和c，其中c为脆性断裂去除时砂轮磨粒在硅片表面产生的横向裂纹长度。根据表面粗糙度Ra的定义可知，磨削硅片的表面粗糙度Ra为采样长度范围内表面微观形貌的轮廓线上各点到轮廓中心线偏距绝对值的算术平均值，即有：

式中ycl为表面微观形貌轮廓线的中心线位置，如图3所示。由轮廓中心线的定义可知，磨削硅片表面微观形貌的轮廓线与中心线上方和下方包围的面积相等，则有：

式中f(t)为磨粒切削深度t的概率密度函数。由于磨粒切削深度t符合瑞利分布［18］，其概率密度函数表达式为：

式中σ为概率密度函数的待定参数，取决于磨削条件、砂轮表面微观形貌和工件材料特性等。

图3 磨削硅片表面微观几何形貌示意图Fig.3 Schematic illustration of cross-sectional surface geometry of ground silicon wafer

根据图3中磨削硅片表面微观几何形貌关系和概率与数理统计的基本理论可知，式（2）可进一步变换为：

其中：P1为磨粒切削深度t小于硅片表面轮廓中心线ycl，且小于单晶硅脆塑转变临界切削深度hc的概率；P2为磨粒切削深度t大于硅片表面轮廓中心线ycl，且小于单晶硅脆塑转变临界切削深度hc的概率；P3为磨粒切削深度t大于硅片表面轮廓中心线ycl，且大于单晶硅脆塑转变临界切削深度hc的概率；A1是材料去除方式为塑性去除的区域Ⅰ中位于中心线上方的阴影面积，A2up和A2down是材料去除方式为塑性去除的区域Ⅱ中分别位于中心线上方和下方的阴影面积，A3up和A3down是材料去除方式为脆性去除的区域Ⅲ中分别位于中心线上方和下方的阴影面积。

根据图3所示的硅片表面微观形貌几何关系和式（2）所示的磨粒切削深度概率密度函数，计算得到：

式中：ycl为硅片表面微观轮廓的中心线，hc为单晶硅脆塑转变的临界切削深度。根据硬脆材料脆塑转变的临界切削深度公式可知［19］，单晶硅脆塑转变的临界切削深度hc约为10 nm。

针对式（4）的要求，根据概率基本理论进一步计算图3中区域Ⅰ、区域Ⅱ和区域Ⅲ对应的阴影面积A1，A2和A3的数学期望。在材料去除方式为塑性去除的区域Ⅰ中，位于中心线下方的阴影面积A1的期望值为：

式中φ为砂轮磨粒在硅片表面产生的磨纹沟槽横截面积重叠系数。

同理，在材料去除方式为塑性去除的区域Ⅱ中，位于中心线上方和下方的阴影面积A2up和A2down的期望值，以及材料去除方式为脆性去除的区域Ⅲ中位于中心线上方和下方的阴影面积A3up和A3down的期望值分别为：

式中：k为区域Ⅱ中砂轮磨粒在硅片表面形成的磨纹沟槽截面与轮廓中心线相交的半弦长，c为区域Ⅲ中砂轮磨粒在硅片表面形成微裂纹的横向裂纹长度。

根据Lambropoulos的印压断裂力学理论和理想塑性材料孔洞扩张的Hill模型，区域Ⅲ中砂轮磨粒在硅片表面形成微裂纹的横向裂纹长度c和中位裂纹深度dms的计算公式为［20］：

式中：ψ为压头锥度角，E，H，Kc分别为工件材料的弹性模量、硬度和断裂韧性，m为介于1/3～1/2的量纲常数，对于工件旋转法磨削m取1/2。

将式（5）～式（12）代入式（4）得到硅片表面微观形貌轮廓中心线位置ycl为：

由 于hc远 大 于σ［20-21］，则 式（15）中将 上 述 近 似值代入式（15）中，进一步计算得到：

由于表面粗糙度Ra还可以通过采样长度范围内工件表面微观形貌的轮廓线与中心线之间包围的面积除以采样长度来计算，则区域Ⅰ、区域Ⅱ和区域Ⅲ的表面粗糙度Ra1，Ra2和Ra3的期望值分别为：

根据概率基本理论进一步计算得到：

式中K是磨削硅片表面材料去除方式为塑性去除区域的面积与整个磨削表面的总面积之比。

将式（5）～式（7）和式（16）～式（19）代入式（20）中进一步计算得到：

由于磨粒切削深度t符合瑞利分布，则根据式（3）所示的瑞利分布概率密度函数可得磨粒切削深度t的期望值为：

联立式（21）和式（22），消去σ，得到表面粗糙度Ra和磨粒切削深度t之间的关系式，具体如下：

硅片磨削表面是由大量砂轮磨粒在硅片表面进行划擦形成的。根据压痕断裂力学理论可知，当砂轮表面尖锐磨粒以较大载荷作用在单晶硅等脆性材料的表面时，在磨削硅片的亚表面会产生中位裂纹和横向裂纹，形成亚表面损伤层，如图4所示。磨削硅片的亚表面损伤深度为：

式中：DSS为磨削硅片的亚表面损伤深度，dms为磨削硅片亚表面的中位裂纹深度，ds为磨削硅片表面材料的去除深度。

图4 磨粒划擦作用下硅片亚表面损伤示意图Fig.4 Schematic illustration of abrasive scratching induced subsurface damage of silicon wafer

根据断裂力学理论，磨削过程中砂轮磨粒在硅片产生的亚表面损伤深度和磨粒切削深度的关系式如下［21-22］：

式中：Rg为砂轮磨粒半径，μ为硅片表面去除深度ds与磨粒切削深度t的比值，δ为磨粒切削硅片表面时的材料回弹系数。

将式（23）代入式（25）中得到：

式中：Ra为磨削硅片的表面粗糙度，E，H和Kc分别为磨削硅片的弹性模量、硬度和断裂韧性，Rg为砂轮磨粒半径，μ和δ为砂轮磨削硅片时表面材料去除深度与磨粒切削深度的比值和表面材料的回弹系数，φ为磨削硅片表面的磨纹沟槽横截面积重叠系数，K为磨削硅片表面塑性去除区域的占比。

4 试验

4.1 试验方案

根据式（26）可知，磨削硅片的亚表面损伤深度可以通过检测硅片表面粗糙度Ra来预测。为了验证模型的正确性，本文首先通过硅片磨削试验检测不同磨削条件下加工硅片的表面粗糙度及亚表面损伤深度，然后根据式（26）和实际检测的硅片表面粗糙度Ra计算硅片亚表面损伤深度的预测值，与实际检测的硅片亚表面损伤深度进行对比验证。

4.2 试验条件

硅片磨削试验在基于工件旋转磨削原理的VG401MK II型超精密磨床（OKAMOTO，日本）上进行，如图5所示。磨削工件为φ200 mm×0.725 mm的（100）单晶抛光硅片，磨削硅片采用的砂轮为#600和#1500树脂结合剂金刚石砂轮，磨削过程中采用去离子水作为冷却液，具体磨削参数如表1所示。

图5 VG401MK II型超精密磨床Fig.5 VG401MK II ultra-precision grinder

表1 磨削试验参数Tab.1 Grinding parameters used in experiments

图6 磨削硅片检测样品的取样位置Fig.6 Sampling locations on ground silicon wafer

工件旋转法磨削硅片时砂轮粒度和砂轮轴向进给速度是影响硅片表面质量的敏感磨削参数［6，23］。为了获得不同表面粗糙度及其对应亚表面损伤深度的磨削样品，试验中分别采用#600和#1500金刚石砂轮在轴向进给速度为2，8和16 μm/min的条件下各磨削3片硅片，其他磨削参数如表1所示。由于工件旋转法磨削硅片时表面粗糙度和亚表面损伤深度沿硅片半径方向从中心到边缘逐渐增大［6］，考虑磨削硅片表面粗糙度和亚表面损伤深度沿径向的变化，每个磨削硅片上表面粗糙度和亚表面损伤检测样品的取样位置如图6所示。沿磨削硅片的半径径向从中心到边缘取2个样品，分别标记为A和B，样品尺寸为10 mm×10 mm。试验中磨削硅片的表面粗糙度和亚表面损伤检测样品的制备流程为：首先采用#600和#1500金刚石砂轮在3个不同的轴向进给速度条件下分别加工3片硅片，然后在每个硅片上沿半径径向从中心到边缘取2个样品，每个砂轮磨削硅片的表面粗糙度和亚表面损伤检测样品数量为6个。

磨削硅片检测样品的表面粗糙度采用Newview5022型白光干涉3D表面轮廓仪（ZYGO，美国）检测。检测样品的亚表面损伤深度采用角度截面显微观测法检测，检测原理如图7所示。采用专用胶将待检测样品的磨削表面与相同尺寸抛光硅片样品的抛光表面黏结在一起，然后将粘好的样件固定在角度夹具上进行角度截面的研磨和抛光加工，加工截面的角度为5.7°，亚表面损伤放大倍数为10，最后采用“杨氏”溶液对抛光后的角度截面进行腐蚀，使角度截面内的硅片亚表面损伤显现出来，并采用光学显微镜进行观察和测量。通过角度截面显微观测法检测的磨削硅片亚表面损伤如图8所示，实际的亚表面损伤深度为：

图7 角度截面显微观测法原理Fig.7 Principle illustration of angle cross section microscopy

图8 角度截面显微观测法的磨削硅片亚表面损伤Fig.8 Subsurface damage of ground silicon wafers observed using angle cross-section microscopy

4.3 模型参数确定

根据式（26）可知，为了预测磨削硅片的亚表面损伤深度，需要确定加工硅片的弹性模量E、硬度H、断裂韧性Kc和砂轮磨粒半径Rg、砂轮磨削硅片时表面材料去除深度与磨粒切削深度的比值μ和表面材料的回弹系数δ、硅片表面磨纹沟槽横截面积重叠系数φ，以及硅片表面塑性去除区域的占比K等参数。由于硅片磨削试验加工的工件为（100）单晶硅片，其弹性模量E、硬度H和 断 裂 韧 性Kc分 别 为169 GPa，10 GPa和0.71 MPa-2［21］；磨 削 硅 片 的 砂 轮 为#600和#1500树脂结合剂金刚石砂轮，其磨粒平均半径Rg分别为10 μm和4.5 μm，树脂结合剂砂轮磨削硅片时表面材料的去除深度与磨粒切削深度的比值μ和表面材料回弹系数δ分别为0.4和0.8［22］；对于工件旋转法磨削硅片，其表面磨纹沟槽横截面积重叠 系 数φ为0.8［23］。将 上 述 参 数 代 入 式（27）得到：

计算硅片磨削表面塑性去除区域的占比K时，首先通过MX 40型光学显微镜（OLYMPIC，日本）得到磨削硅片表面的光学图像，如图9（a）所示；然后，将磨削硅片表面的光学图像转化为像素矩阵，根据图像上塑性材料去除区域和脆性材料去除区域的颜色差异将对应区域的像素点颜色转换为黑色或白色，如图9（b）所示；最后，计算图像中黑色区域面积的百分比，确定硅片磨削表面塑性去除区域面积占比K。

图9 磨削硅片表面Fig.9 Polished silicon wafer

4.4 结果与讨论

图10和图11分别 为#600和#1500金 刚石砂轮在砂轮转速和工件转速保持不变的条件下，轴向进给速度不同时磨削的不同硅片的亚表面损伤深度预测值与实测值。其中，图中位置A和B为同一磨削硅片上沿径向从中心到边缘的检测样品位置，磨削硅片的亚表面损伤深度预测值根据式（27）和硅片表面粗糙度Ra实测值计算得出，亚表面损伤深度实测值采用角度截面显微观测法直接检测得到。由图10和图11可以明显看出，随着磨削硅片表面粗糙度Ra的增大，硅片亚表面损伤深度越来越大。根据本文建立的磨削硅片亚表面损伤深度预测模型和不同磨削条件下加工硅片的表面粗糙度Ra实测值计算的亚表面损伤深度预测结果与实际测量结果基本相同，误差小于10%。

图10 #600金刚石砂轮磨削硅片的亚表面损伤深度Fig.10 Subsurface damage depth of silicon wafers ground by #600 diamond wheel

图11 #1500金刚石砂轮磨削硅片的亚表面损伤深度Fig.11 Subsurface damage depth of silicon wafers ground by #1500 diamond wheel

进一步分析金刚石砂轮在不同进给速度下磨削硅片的亚表面损伤深度预测值与实测值的误差变化规律，从图10和图11可以看出，#600和#1500金刚石砂轮在低进给速度下（进给速度为2和8 μm/min时）磨削硅片的亚表面损伤深度预测值与实测值的误差较小，在高进给速度下（进给速度为16 μm/min时）误差则较大，且高进给速度下磨削硅片的亚表面损伤深度预测值略小于实测值。这是由于试验中采用表面轮廓仪检测磨削硅片的表面粗糙度Ra时，以检测区域内表面微观形貌的轮廓线上各点到轮廓中心线偏距绝对值的算术平均值为表面粗糙度Ra的实测值，根据式（27）和硅片表面粗糙度Ra实测值计算的亚表面损伤深度预测值是硅片亚表面损伤深度平均值的预测值；然而，采用角度截面显微观测法检测磨削硅片的亚表面损伤深度时，以检测样品整个磨削区域的亚表面损伤深度最大值作为硅片亚表面损伤深度的实测值。金刚石砂轮在低进给速度下磨削硅片时产生的亚表面损伤深度较小，硅片亚表面损伤深度的平均值和最大值基本接近，但金刚石砂轮在高进给速度下磨削硅片时产生的亚表面损伤深度较大，硅片亚表面损伤深度的平均值略小于其最大值［6］。

从图10和图11中还可以看出，在相同磨削参数下，#600金刚石砂轮磨削硅片的表面粗糙度和亚表面损伤深度明显大于#1500金刚石砂轮磨削硅片。对于同一金刚石砂轮，磨削硅片的表面粗糙度和亚表面损伤深度随着砂轮进给速度的增大而增大，此外，磨削硅片的亚表面损伤深度沿硅片半径方向从中心到边缘逐渐增大。这是由于工件旋转法磨削硅片时，随着砂轮磨粒粒径、砂轮进给速度和硅片表面径向作用位置的增大，金刚石砂轮磨削硅片的磨粒切削深度随之增大［23］，磨粒切削深度直接决定磨削硅片的表面/亚表面质量，磨粒切削深度越大，磨削硅片的表面粗糙度和亚表面损伤深度越大，从而导致磨削硅片的表面粗糙度和亚表面损伤深度随着砂轮磨粒粒径和砂轮进给速度的增大而增大，且硅片边缘区域的亚表面损伤深度大于中心区域的亚表面损伤深度。

5 结论

本文分析了工件旋转法磨削硅片时硅片表面材料在脆性断裂去除和塑性流动去除方式下形成的表面微观形貌几何轮廓特征及其亚表面损伤形成机理，结合压痕断裂力学理论，建立了工件旋转法磨削硅片的亚表面损伤深度预测模型，推导出磨削硅片亚表面损伤深度与硅片材料特性、砂轮磨粒粒径、磨削表面塑性去除区域的占比和硅片表面粗糙度等参数之间的数学关系。通过系统的工件旋转法磨削硅片试验分析了砂轮磨粒粒径、砂轮进给速度和硅片表面径向位置对磨削硅片表面粗糙度和亚表面损伤深度的影响规律，对比了不同表面粗糙度磨削硅片的亚表面损伤深度预测值与实测值。试验结果表明，随着砂轮磨粒粒径、砂轮进给速度和硅片表面径向距离的增大，磨削硅片的表面粗糙度和亚表面损伤深度不断增大，基于本文模型计算的硅片亚表面损伤深度预测值与实测值的误差小于10%，证明该模型能够为硅片高效低损伤磨削工艺优化提供理论指导。