直觉折线模糊数空间的完备可分性和逼近性

李丹，王贵君

(1.三亚学院 理工学院, 海南 三亚 572000; 2.天津师范大学 数学科学学院,天津 300387)

直觉折线模糊数空间的完备可分性和逼近性

李丹1，王贵君2

(1.三亚学院 理工学院, 海南 三亚 572000; 2.天津师范大学 数学科学学院,天津 300387)

折线模糊数可借助一组实数的有序表示确定模糊信息，不仅可以实现一般模糊数之间的近似线性运算，而且克服了基于Zadeh扩展原理的模糊数四则运算复杂问题。基于直觉模糊数和折线模糊数，提出了直觉折线模糊数的概念。通过引入距离公式，证明了直觉折线模糊数可构建完备可分的度量空间，给出了直觉折线模糊数的逼近定理。进一步用实例验证了直觉折线模糊数对直觉模糊数具有逼近性。

直觉模糊数；折线模糊数；直觉折线模糊数；逼近性

0 引言

事实上，在直觉模糊集中，除约束条件（两个函数之和≤1）外，隶属函数和非隶属函数是相对独立的，若将两函数n-折线化，便可实现直觉模糊数的近似线性运算。基于直觉模糊数和折线模糊数，提出直觉折线模糊数的概念，通过引入距离公式，证明了直觉折线模糊数可构建完备可分的度量空间，给出直觉折线模糊数的逼近定理，并进一步用实例验证直觉折线模糊数对直觉模糊数具有逼近性。

1 预备知识

一般模糊数不能简单地进行线性运算，只能依赖复杂的Zadeh扩展原理进行算术运算，阻碍了模糊数理论的发展。折线模糊数由一组有限个有序实数表示，其在处理模糊信息时具有明显优势。记R为实数集，为有理数集。首先，引入模糊数、直觉模糊数和折线模糊数的概念。

定义1设是R中的模糊集，若满足：

1994年，DIAMOND等［11］提出模糊距离的定义，即在模糊数空间中，对任意的，界定，证明了二元映射仅满足距离公理的对称性和三点不等式，称为模糊距离，并证明了为一个完备的度量空间。

定义2设为给定非空集合，若模糊集和，且满足，，则称为中的直觉模糊集，其中和分别表示的隶属函数和非隶属函数。

定义3设为直觉模糊集，若和均为模糊数，则称为直觉模糊数，简记为，其中模糊数的隶属函数定义为

定义4设模糊数，给定，现将纵轴上闭区间等分为个小区间，分点为，。若存在一组个有序实数：，且满足，使得隶属函数在区间和均取直线段。对于任意的，定义的隶属函数为

图1 -折线模糊数的隶属函数图像Fig.1 Function image of -polygonal fuzzy number A

图2 模糊数与对应的隶属函数图像Fig.2 Function image of fuzzy number and -polygonal fuzzy number

引理1给定，若，，则

引理2给定，则是完备可分的度量空间。

引理3设一般模糊数，给定，且，，则

直觉模糊数和折线模糊数虽然各具特色，但均存在一定缺陷，例如，直觉模糊数需2个有界函数刻画，折线模糊数随着的增大变得越来越复杂。为此，将二者结合，提出直觉折线模糊数概念，在直觉折线模糊数空间上讨论完备性、可分性和逼近性，扩大了直觉模糊集的应用范围。

定义5设直觉模糊数，给定，若和均为-折线模糊数，且满足，则称为直觉折线模糊数，记为，其中模糊数的隶属函数定义为

定理1设，，为如引理1（1）所示的距离，令

则

证明由空间中距离的性质，（1）和（2）显然成立。

分别将两式完全平方，可得

将两式相加，由式（1）可得

两边同时开方，有

故（3）得证。

定理2对任意的，是完备可分的度量空间。

实际上，式（2）等价于

因此必有：

由引理1，可写为

则有

或写为

证毕。

实际上，直觉折线模糊数的隶属函数和非隶属函数形状规则，均可由若干个小梯形叠加而成，且直觉折线模糊数空间关于度量可构建完备可分的度量空间。该结论为进一步研究直觉折线模糊数奠定了基础。

3 逼近定理

定理3设，，为确定的-折线模糊数，对任意的，令，且左函数和右函数在上连续可导，则

证明 令

解得

经配方及整理，得

（5）

类似地，有

令

由式（7），式（5）可改写为

进一步可得

类似地，由式（6）和式（7），可得

结合式（8）和式（9），可得

定理4设一般模糊数，给定，令为由确定的-直觉折线模糊数，其中，，，。若左函数，和右函数，在上均连续可导，则在空间中距离满足。

4 实例分析

例1设直觉模糊数，隶属函数和非隶属函数分别定义为：

图3 的直觉折线模糊数函数图Fig.3 Function image of intuitionistic polygonal fuzzy number A

显然，非隶属函数部分可表示为

根据n的取值，令

且

因此，有

表1 随机选取的5个误差对应的剖分数的估计值Table 1 The estimations of corresponding to 5 random error values

表1 随机选取的5个误差对应的剖分数的估计值Table 1 The estimations of corresponding to 5 random error values

的估计值0.730.540.1200.05100.001200

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Complete separability and approximation of the intuitionistic polygonal fuzzy number space

（1.School of Science and Technology，University of Sanya，Sanya572000，Hainan Province，China；2. School of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin300387，China）

The polygonal fuzzy number can determine fuzzy information by means of the ordered representation of a group of real numbers. It can not only approximately realize the linear operations among general fuzzy numbers, but also get rid of the complexity of the arithmetic operations of fuzzy numbers based on Zadehapos;s extension principle. In this paper, the concept of the intuitionistic polygonal fuzzy number is first proposed based on the characteristics of the intuitionistic fuzzy number and polygonal fuzzy number, and its distance formula is introduced. Secondly, it is proved that intuitionistic polygonal fuzzy numbers constitute a complete separable metric space through the distance formula, and the approximation theorem is obtained. Finally, we verify by an example that the intuitionistic polygonal fuzzy number can approximate to an intuitionistic fuzzy number.

intuitionistic fuzzy number; polygonal fuzzy number; intuitionistic polygonal fuzzy number; approximation

O 159

A

1008⁃9497（2022）05⁃532⁃08

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.003

2021⁃10⁃08.

国家自然科学基金资助项目（61374009）.

李丹（1985—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-9903-4408，女，硕士，讲师，主要从事模糊神经网络和模糊信息处理研究，E-mail：422629487@qq.com.