基于可行性矩阵遍历的重叠多目标角轨迹关联算法

盛卫东 黄 源 马 超

（国防科技大学电子科学学院，湖南长沙 410073）

1 引言

在天基光学监视系统中，利用光学传感器对目标进行探测，仅能获取目标的到达角信息而无距离信息，属于不完备的观测［1］，需要两个或两个以上的观测平台角轨迹融合才能得到目标的三维轨迹。角轨迹融合的前提是确定角轨迹的同源性，错误的角轨迹关联会生成虚假目标，导致“幻影”目标问题。因此，角轨迹关联性能直接决定了天基光学监视系统的目标跟踪性能，需要研究关联性能良好、鲁棒性强的角轨迹关联算法，轨迹关联也是后续数据融合跟踪的重要前提［2］。

在现行的轨迹关联算法中，以三维轨迹关联算法较多，例如有基于假设检验的轨迹关联算法［3］，基于神经网络的轨迹关联算法［4］，基于DS 证据理论［5-6］和模糊理论［7-8］的轨迹关联算法等，在雷达领域具有广泛应用［9-10］。然而，天基光学监视系统的轨迹关联是二维角轨迹的关联，目前主要采用几何约束的方法，例如最小距离偏差法、二维倾角差法等。文献［11］针对双平台情况，以二面倾角差为检验统计量，提出一种基于倾角差假设检验的轨迹关联算法，当目标较为密集时容易将邻近目标的角轨迹关联在一起，造成关联模糊。文献［12］将角轨迹关联问题转换为二维分配问题，用全局最近邻（Global Nearest Neighbor，GNN）等手段来解决关联模糊。文献［13］通过引入不同于倾角差统计量的目标运动特征，克服了倾角差算法在目标和平台共面条件下失效的问题。文献［14］将轨迹关联问题转换为轨迹参数匹配问题，用于解决采样异步和鬼影目标。文献［15］提出了基于最大似然的残差估计配准法和基于新目标密度的序贯最佳航迹关联算法。文献［16］将可行性矩阵分析引入到轨迹关联中，但其仅仅通过对可行性矩阵元素进行分析以减少候选关联个数，最终仍通过二维分配法进行关联轨迹。综上，上述算法均基于一个目标有且只能产生一条角轨迹的先验假设，一条角轨迹至多与另外一条角轨迹关联，称为“一对一”假设。文献［14］假设目标直线运动，以运动方向和速度为轨迹特征，最终用二维分配法求解，其对目标运动模式先验假设较强，与天基光学监视系统的应用场景不太相符。文献［17］提出了联合空间时间约束法（Joint temporal and spatial constraints，JTSC），基于三维轨迹进行轨迹关联，但其要求观测平台至少3个以上。

在实际应用中，受光学传感器分辨率限制、光学系统固有的点扩散效应、多目标受观测视角而相互遮挡等因素的影响，在光学传感器像平面存在重叠多目标情况，未分辨的一条角轨迹可能需要与另外已分辨的多条角轨迹进行关联，即“一对多”的关联。若仍然在“一对一”的假设下来完成角轨迹关联，其关联性能必然不理想，需要研究新的关联算法。本文以二面倾角差作为基本统计量，针对“一对多”情况设计了目标视线复用的关联思路，并借鉴联合概率数据互联滤波器（Joint Probabilistic Data Associa⁃tion Filter，JPDA）中可行性矩阵的概念，考虑所有可能的轨迹分配情况，在贝叶斯框架下计算每一个轨迹之间的联合互联概率，最后基于联合互联概率矩阵来得到最终的角轨迹关联结果。在此种框架下，一方面能够处理“一对多”的复杂情况，另一方面能够兼容“一对一”假设条件下的角轨迹关联算法。

本文内容安排如下：第2 节介绍倾角差定义；第3节推导基于可行性矩阵计算的重叠多角轨迹关联算法；第4 节进行Monte Carlo 仿真验证；第5 节是结束语。

2 重叠多目标角轨迹关联问题描述

天基光学传感器只能获取目标相对于观测平台的到达角信息，在特定的观测几何条件下，目标与目标之间可能会存在相互遮挡的情况，即多个目标的观测视线相同。为方便本文问题建模，考虑如下两个观测平台的重叠双目标情况。

图1中，目标1和目标2相对于观测平台S1位于同一个方位，即在观测平台S1的观测角度下，目标1与目标2视线是相同的，两个目标相互遮挡；而在观测平台S2的观测角度下，能对目标1 和目标2 进行分辨，其观测视线不同。

在此种情况下违背了一个观测平台的角轨迹至多与另外一个观测平台一条角轨迹关联的假设，故文献［11-16］中轨迹关联算法不再适用，需要研究针对重叠多目标角轨迹的关联算法。

3 基于可行性矩阵计算的重叠多角轨迹关联算法

3.1 倾角差定义

二面倾角差本质是一种几何约束的方法，图2给出了某一时刻两个观测平台的观测示意图。

3.2 基于倾角差统计量的关联可行性矩阵建模

考虑两个观测平台的情况，第一个观测平台的第i条轨迹记为trk1，i，第二个观测平台的第j条轨迹记为trk2，j，为了计算每一个时刻的倾角差，需要将不同观测平台的轨迹插值到同一个时间序列，在后续的推导中均假设已经完成了插值，然后基于文献［13］中方法可计算trk1，i与trk2，j的单帧倾角差统计量和多帧的倾角差统计量，其中N为累积帧数，进而可以得到具体的关联事件，步骤如下：

Step1假设两个观测平台观测角轨迹条数分别为M1和M2，则可以构建一个M1×M2的矩阵Ω。给定置信度α，则得到假设检验门限Th=，若

Step2Ω矩阵类似JPDA 算法中的可行性矩阵，依据门限进行初步的关联判断，从该矩阵中基本可以拆解得到所有的可能的关联情况，通过扫描矩阵Ω可以得到所有可能的关联事件矩阵。以图1的场景为例，根据场景描述可以得到Ω如下：

通过扫描Ω，可以得到如下的关联事件矩阵：

至此得到了所有的关联事件矩阵，通过上述的扫描方式得到的关联事件矩阵不再局限于一条轨迹至多与一条轨迹相关联的假设，涵盖了所有可能的关联情况。每一个关联事件矩阵均对应一个关联事件，该关联事件记为θ(k)，θ(k)包含了各个轨迹关联情况θij，其中θij表示第一个观测平台的第i条轨迹与第二个观测平台的第j条轨迹关联在一起，k表示时间戳。

为方便后续推导描述，定义一个杂波轨迹指示符，定义如下：

则杂波轨迹数量定义为：

其中τ1(θ)表示观测平台1 中的杂波轨迹数量，τ2(θ)表示观测平台2中的杂波轨迹数量。

下面利用贝叶斯准则来计算每一个关联事件θ(k)的概率：

公式（6）中需要计算似然概率密度和先验概率，下面分别进行讨论。假设目标与目标之间相互独立，观测平台与观测平台相互独立，则有

根据卡方分布的定义，则有：

不失一般性，假设杂波轨迹在视场内均匀分布，则有：

其中V表示杂波轨迹出现的概率，杂波轨迹出现的概率与具体的轨迹形成算法有关。

给定θ(k)，则明确了各个轨迹的关联关系，也可以用公式（4）和公式（5）计算得到每一个观测平台观测到的杂波轨迹数，则有

对于每一个观测平台观测到的轨迹，给定杂波轨迹数量，P{θ(k)|τ(θ(k))}本质上是一个排列组合的概率，有

对于杂波轨迹数量的概率分布，根据具体场景和传感器特性进行选择：

备选的概率分布有泊松分布、常值分布等。

将公式（11）～公式（13）、公式（10）代入公式（6），可得

通过遍历所有的关联事件，即可得到如下边缘概率

至此则得到了两个观测平台之间任意两条轨迹之间的关联概率。

如果想得到轨迹关联的结果，可以设定概率门限ξ，若P{θij(k)|e(k)}大于门限ξ，则关联事件θij(k)成立。由于算法得到的是任意两条轨迹关联的概率，门限ξ需要基于实际应用所需置信度要求进行选择。

如果结合目标状态估计，则有

为了处理目标与目标之间的遮挡，本文算法需要遍历所有的可能，面临组合爆炸问题，当轨迹数目很多时计算量会呈指数增长，为了减少算法的计算量，可以事先对目标数目进行简单估计，只需要遍历目标数目与估计的目标数目接近的关联矩阵，这也会大大减少无用的遍历。假设两个观测平台观测角轨迹条数分别为M1和M2，则真实的目标数会比较接近M1和M2，这是由于前端目标检测模块已经基于背景信息、多帧运动学信息基本剔除了虚假轨迹，因此将可行性矩阵目标数的遍历范围定义如下：

下面举一个简单的例子，假设M1=4，M2=4，c1=0.8，c2=1.2，则可取3，4，5。则可行性矩阵的个数为=6748，如果遍历所有的关联矩阵，则总共需要完成的遍历数为216=65536，将近降低了90%的计算量。

4 仿真分析

为验证本文算法的有效性，设置多目标场景如下：共有两个观测平台，三个运动目标，其中目标1 和目标2 初始距离较远，其间距随着时间的推移逐渐缩短，两个目标交汇的时刻为第50 s，目标3与其他两个目标距离较远；光学传感器探测周期取1 s，传感器角分辨为300 urad，视线确定误差100 urad；角轨迹累计帧数N=5，置信度取0.99，蒙特卡洛次数为100 次，在遍历其中某一个参数时，其他参数取默认值。选用文献［12］和文献［17］算法进行性能对比，文献［12］同样采用倾角差统计量作为关联依据，并采用GNN 来解决关联模糊，获得了良好的多目标关联性能。由于文献［17］要求至少三个观测平台，因此仿真场景中设置了三个观测平台，在关联计算中本文算法和二维分配法仅用平台1 和平台2 数据进行关联。运行环境为：Matlab2013，双路4 核CPU，主频2.6G，内存4G。

下面针对上述场景进行仿真分析。根据观测坐标系转换［18］，给出了目标在两个观测平台的像平面轨迹，如图4所示。

从图4可知，观测平台2始终只能观测到2条角轨迹，其中目标1 和目标2 被融合成一条角轨迹，目标3因距离较远而形成另一条独立的角轨迹。在观测平台1 和3 上，初始阶段可以观测到3 条角轨迹，直至目标1 和目标2 交汇后两条轨迹很接近而无法分辨。

图5给出了传感器角分辨为100 urad和300 urad的关联结果。

当传感器角分辨为100 urad 时，由于传感器分辨率足够高，两个观测平台都能将目标1 和目标2在像平面上分开，都能观测到3 条轨迹，则变成了“一对一”目标关联的问题，三种关联算法均能有效的处理此类情况，从图5（a）可以看出在350 s 后二维分配法和JTSC算法性能有所下降，是因为目标间距逐渐减小使得目标难以分辨，变成了“一对多”的关联问题。当传感器角分辨为300 urad 时，目标1和目标2 轨迹交汇后距离逐渐继续缩小，在观测平台2 的像平面上目标1 和目标2 的轨迹小于融合门限，其被融合成了一条轨迹，因此在观测平台2的像平面上只能观测到2 条轨迹，两个目标共用其融合轨迹，从图5（b）可以看出当目标未分辨时，本文算法依然能正确关联，而二维分配法和JTSC算法遵循“一对一”的假设，当两个目标共用一条视线时，则会漏掉一个目标，关联正确率大大降低。在该场景下JTSC 算法相对于二维分配法性能略低，是因为JTSC 需要生成三维轨迹，在定位过程中不可避免的引入了定位误差，导致了性能退化，基于三维轨迹的好处在于其不受特殊观测几何的影响。

图6 仿真分析了视线确定误差对关联性能的影响。

从图6可以看出，对于本文算法，视线确定误差的增加会降低其关联性能，因为视线确定误差增加会使得倾角差统计量增加，使得不同目标的界限更加模糊，增加了关联难度，当视线确定误差从50 urad 增加到150 urad 时，关联性能发生了明显退化。

由于本文算法需要对所有可能的关联情况进行遍历，其需要更多的计算量，下面给出了在当前场景下本文算法与二维分配法的计算耗时分析。

从图7 可知，本文算法的计算耗时要远远高于二维分配法和JTSC算法，这是因为本文算法考虑了所有的关联可能，需要计算每一种关联可能的关联概率，且其计算耗时会随着目标数目的增加进一步增加。

从上述结果来看，本文算法能有效处理目标遮挡、目标未分辨等导致的“一对多”的关联问题即一条角轨迹与多条角轨迹相对应，“一对多”场景下其性能要明显优于传统的二维分配法，同时在“一对一”场景下也能保持与二维分配法相当的性能，表明本文算法具有更好的场景适应性。但由于本文算法需要遍历所有可能的关联情况，其需要更多的计算资源。

5 结论

本文借鉴JPDA 中可行性矩阵的概念来遍历所有可能的关联情况，以倾角差为统计量，在贝叶斯框架下计算轨迹之间的联合互联概率，基于联合互联概率矩阵来得到最终的轨迹关联结果，打破了一条角轨迹至多关联一条角轨迹的假设，可以较好的解决由于目标相互遮挡、目标未分辨等导致的一条轨迹与多条轨迹关联的问题。从仿真结果来看，在“一对多”场景下，本文算法关联性能优于二维分配法，在“一对一”场景下，本文算法关联性能与二维分配法相当，表明本文具有更强的场景适应性，但由于需要遍历所有可能的关联情况，本文算法面临着组合爆炸的问题，后续将对提高算法计算时效性展开研究。