机器人柔性关节前馈力/位混合控制策略研究

尹旷，王红斌，钟连宏，张铁，叶建斌，喇元

(1.广东电网有限责任公司广州供电局电力试验研究院，南方电网中低压电气设备质量检验测试重点实验室，广东广州 510410；2.华南理工大学机械与汽车工程学院，广东广州510641)

0 前言

在自动化生产线上，要求机器人末端执行器能够快速定位。工业机器人中柔性部件(例如谐波减速器)广泛存在，虽然能提高传动效率，提供更大的传动比，减少刚性冲击与噪声，但会引起关节的柔性变形，影响轨迹跟踪精度。同时，末端执行器残余振动现象的出现会使得机器人定位精度和速度下降，从而对机器人的可靠性和稳定度产生一定影响。

目前，对于机器人关节柔性的控制，一般可分为开环控制策略与闭环控制策略。闭环控制策略有基于奇异摄动模型的积分流形方法、PID控制、反馈线性化、自适应控制等。与开环控制策略相比，闭环控制策略对系统参数的时变特性及外界干扰表现出了更强的鲁棒性，但是在实际工业应用中，采用闭环控制策略往往要求引入更多的传感器进行测量，使得整个控制系统变得更为复杂和昂贵。因此，结合工业机器人本体反馈控制器的开环控制策略在实际应用中更加常见。其中，一种应用广泛的开环控制策略为基于动力学模型的前馈力矩补偿方法。TOMEI在传统的PD控制器基础上增加了基于期望参考位置的固定重力补偿项。ZOLLO等通过引入“重力修正”电机位置变量，提出了添加在线重力补偿项的PD控制策略。上述前馈力矩的引入，可以大幅减小PD控制器的位置增益，防止出现振荡现象，避免驱动器饱和，而前馈力矩项的计算需要获取系统的动力学模型，但精确的动力学模型通常难以得到。

另一种常见的前馈控制方法是输入整形算法。在能准确获取柔性系统参数的情况下，输入整形器可以完全消除因关节柔性引起的残余振动现象。但是，工业机器人所表现出的柔性系统的非线性、时变性与强耦合性，使得确定机器人柔性系统参数有一定困难。依靠不变的柔性系统参数所设计出的传统输入整形器已经无法有效抑制机器人在执行不同工作任务时出现的残余振动现象。为减小确定柔性系统参数时的不确定性，常见的做法是提高输入整形器的鲁棒性，以在一定程度上降低系统参数不确定性对抑振效果的影响。然而，脉冲个数的增加会延长系统响应的时滞时间，为解决延时问题引入的负脉冲又会激发未建模模态的振动，且对于多杆机构，系统参数随构型变化较大，单纯提高输入整形器的鲁棒性也未能取得理想的抑振效果。对此，研究人员提出了自适应输入整形器，它可以随系统参数变化。根据是否需要对系统参数进行辨识，自适应输入整形器可分为直接自适应输入整形器和间接自适应输入整形器。直接自适应输入整形器利用机器人末端执行器附加的外设(例如加速度传感器、压电片)测得的残余振动信号直接对输入整形器参数进行调节，跳过系统参数辨识这一环节。RHIM、COLE等分别基于最优任意时滞滤波器(OATF)和有限脉冲响应滤波器(FIR)提出了直接自适应策略，降低了环境噪声对输入整形器参数调节的影响。间接自适应输入整形器则需要先对系统参数进行辨识，然后根据辨识结果得到输入整形器。设计间接自适应输入整形器的关键在于实现对柔性系统参数的准确辨识，辨识方法可分为频域辨识和时域辨识两大类。TZES、KHORRAMI等在频域上利用时变传递函数估计法(TTFE)和经验传递函数估计法(ETFE)对系统固有频率进行辨识，在线调整输入整形器参数。该方法需要对大量的采样样本进行快速傅里叶变换(FFT)，计算量庞大，收敛速度较慢，因此催生了更为快速便捷的时域辨识方法。PEREIRA、TRAPERO等利用代数非渐进辨识法对单连杆柔性机械臂进行系统参数辨识，避免了初始条件不确定性问题。PARK和CHANG针对某些工业机器人重复性作业任务这一应用背景提出一种简便的迭代学习策略，利用机器人末端附加外设采集到的残余振动信号对输入整形器参数进行迭代更新，最终抑制了残余振动。

本文作者在机器人关节位置PD反馈控制律的基础上，提出一种前馈力/位混合控制策略。该控制策略基于柔体动力学模型的前馈力矩控制算法和后置多模态自适应输入整形算法。考虑到多自由度机器人系统参数的时变特性，采用后置多模态自适应输入整形器对参考轨迹进行整形，以抑制末端执行器的残余振动。结合传统工业机器人关节仅有电机配置编码器的特点，建立六自由度工业机器人柔体动力学简化模型，并将它改写为成仅包含电机转角变量的动力学参数辨识方程。采用加权最小二乘法对它进行参数辨识，该辨识方法不需要附加关节编码器与其他测量设备。将动力学模型改写为力矩计算方程，根据自适应整形后的轨迹计算得到前馈力矩并加入关节位置PD控制律中进行柔性补偿，提高轨迹跟踪精度。

1 柔体动力学建模与辨识

文中的研究对象为基于具有6个旋转关节的六自由度工业机器人，如图1所示。

图1 六自由度工业机器人

引起机器人末端残余振动的主要因素是关节柔性，故必须在动力学建模时考虑关节的柔性。本文作者采用SPONG提出的柔性关节模型，如图2所示。该模型将柔性关节等价为弹簧质量系统，关节柔性通过线性弹簧来描述，其弹性系数即为关节刚度。与刚体动力学仅在连杆上建立坐标系不同，基于SPONG柔性关节模型建立相应的柔体动力学方程前需要在每个连杆与电机上都建立坐标系。因此，每个关节都包含电机转角与连杆转角2个关节变量。

图2 SPONG柔性关节模型[18]

利用拉格朗日能量法建立标准的柔体动力学模型：

(1)

在配置关节编码器或采用激光跟踪仪等外部精密测量仪器的情况下，可以同时测得电机转角和连杆转角两个变量，实现对系统参数的准确辨识。但是，在工业机器人上配置关节编码器或使用激光跟踪仪等外部精密测量仪器会大幅增加生产成本。对此，结合工业机器人仅配置电机编码器的特点，对标准动力学方程进行简化，并将它改写为仅包含电机转角变量的动力学参数辨识方程，然后采用加权最小二乘法对它进行辨识。

利用PHAM等对柔体动力学模型的简化方法，在进行动力学辨识时，每次使用激励轨迹驱动一个轴运动，同时锁住其他轴不动。将六轴工业机器人标准柔体动力学简化为

l，2l，2=0

(2)

(3)

式中：

====0

(4)

=sin()

(5)

=cos()

(6)

=sin(+)

(7)

=cos(+)

(8)

=sin()cos(+)

(9)

=cos()cos(+)

(10)

=cos()sin(+)-

cos()sin()cos(+)

(11)

=sin()sin(+)+

cos()cos()cos(+)

(12)

式中：表示连杆的转动惯量；m表示电机的转动惯量;表示关节的刚度;表示连杆的转动角度;r表示电机的转动角度;vj表示连杆的黏性摩擦力因数;vm表示电机的黏性摩擦力因数；sm表示电机的库仑摩擦力因数；l，1和l，2为连杆的重力项系数；表示关节的减速比。

与标准柔体动力学方程相比，在省略了科氏力和向心力项、惯性力的耦合项、连杆的库仑摩擦力项以及第六轴的重力项后，动力学模型的复杂程度和计算量大幅下降，为消除连杆转角这一动力学辨识过程中的不可测变量奠定了基础。与文献[6-7]仅对柔性关节机器人的重力项和关节刚度建模相比，文中所建立的简化模型还考虑了连杆与电机的惯性力与摩擦力，但忽略的科氏力与向心力等动力学项可以以下一小节中提出的通过各个关节位置控制的PD反馈控制律补偿。

对式(3)进行变换，可以将不可测变量(连杆转角)用包含可测变量(电机转角r)的表达式表示：

(13)

对式(13)求导可得：

(14)

(15)

将式(13)—(15)代入式(2)，得到线性辨识方程为

=

(16)

式中：

(17)

=[,,,,,,,,]

(18)

(19)

其中：为第个关节辨识方程的观测矩阵;为第个关节待辨识动力学参数组成的向量。由简化动力学模型所推导出的辨识方程可知，第二、三、四、五轴每个关节有9个待辨识的基础动力学参数(,,…,)，第一、六轴因没有重力项，每个关节有7个待辨识的基础动力学参数(,,…,)，共计50个基础动力学参数。

动力学参数的辨识一般是在离线条件下进行，采用事先规划好的激励轨迹驱动机器人，根据机器人本体配置的传感器采回的轨迹点及对应的力矩值，利用最小二乘法可以对待辨识动力学参数向量进行估计。考虑模型误差及采样时存在的噪声问题会影响辨识结果的精度，引入误差向量，设采集到的轨迹点样本为个，将式(16)改写为

=+

(20)

式中:为×1的第关节的电机实测力矩向量；为×的观测矩阵，为关节待辨识基础动力学参数的个数；为×1的误差向量。激励轨迹采用有限傅里叶级能有效提高参数辨识的收敛速度和抗噪能力。采集到的轨迹点和力矩需利用巴特沃兹滤波器和中心差分法进行数据处理，辨识算法采用加权最小二乘法以提高辨识精度。

2 基于柔体动力学模型的前馈力矩补偿控制算法

第1节建立了六自由度工业机器人柔体动力学简化模型，并给出了柔体动力学参数的辨识方法。结合已规划好的期望运动轨迹，根据已完成辨识的柔体动力学简化模型可以得到驱动各个关节运行期望轨迹所需的关节计算力矩。将关节计算力矩作为前馈补偿控制项，与反馈力矩结合，共同作用于伺服电机底层的电流环，即将机器人控制系统分为基于动力学模型的前馈控制部分和基于伺服误差的反馈控制部分，控制框图如图3所示。

图3 附加前馈补偿控制项的控制框图

附加前馈补偿控制项的优点在于，在期望轨迹已知的情况下，可以预先通过动力学模型离线计算出机器人动力学特性中已建模部分的驱动力矩，而基于伺服误差的反馈控制部分则仅需提供用于补偿系统外部未知扰动或未建模部分等非确定因素引起的力矩。与传统的独立关节PD控制系统相比，附加前馈补偿控制项可以减少PD反馈控制增益，避免过高反馈增益带来的驱动器饱和问题，减少机器人轨迹跟踪误差。而文中所采用的基于柔体动力学简化模型的前馈力矩补偿控制方法，与文献[6-7]中的重力项补偿方法相比，前馈计算力矩不仅包括运行期望轨迹所需的重力项，还包括惯性力项、连杆与电机的摩擦力项，可以进一步减少PD反馈增益，提高机器人的动力学性能。第1节中建模时所忽略的科氏力等动力学项，可由基于伺服误差的反馈控制环节进行补偿。

一般来说，规划好的期望轨迹仅为关于连杆转角的函数，故需对第1节所建立的柔体动力学简化模型进行修改，消去中间变量电机转角。在不考虑重力项的情况下，式(2)可以写为如下形式：

(21)

对式(21)求导可得：

(22)

(23)

将式(21)—(23)代入式(3)，再考虑重力项的影响，可得基于柔体动力学简化模型的前馈力矩计算公式：

(24)

式(24)仅与待辨识的动力学参数和规划好的期望轨迹及其导数有关。机器人关节位置控制律最终可以表示为

(25)

另外，与传统的运动学控制方法不同(直接发送给电机规划好的连杆转角期望轨迹)，在得到规划好的连杆转角期望轨迹后，利用式(21)—(23)重新计算考虑了关节柔性变形的电机转角期望轨迹，再将它发送给各个关节的伺服电机，从而降低机器人的轨迹跟踪误差。而关节柔性引起的残余振动，则在下一节中通过对规划好的连杆转角期望轨迹进行输入整形来解决。

3 后置多模态直接自适应输入整形

机器人柔性关节带来的最明显问题是机器人末端执行器在运动停止后的残余振动。考虑工业机器人系统的时变性与非线性特征，采用后置多模态直接自适应输入整形前馈位置控制算法抑制残余振动，其控制结构框图如图4所示。该算法跳过了系统参数辨识环节，直接利用机器人末端采集到的残余振动信号计算输入整形器的参数值。输入整形器参数的调整一般包含3个部分：脉冲个数、脉冲幅值、脉冲发生时间，每个部分的调整都是一个复杂的非线性问题。对此，RHIM等选用了最优任意时滞滤波器，其最大优点是仅需要调整脉冲幅值，而脉冲个数和脉冲发生时间均可预先确定。为引入线性算法对输入整形器参数进行优化处理，RHIM等基于线性假定置换了参数调整环节和系统的位置，采用后置输入整形器对系统实际输出()进行整形，得到整形输出()。整形输出()与期望输出()之间存在一预测误差()，在将参数调整环节后置处理后可以引入递归最小二乘法使预测误差()最小化，同时解出后置输入整形器的最优参数解，最后将后置输入整形器的最优参数解传递给前置输入整形器，最终抑制残余振动。

图4 后置直接自适应输入整形控制结构框图

对于整形输出()，在任一时刻有：

()=()()

(26)

式中:()=[(),(),…,()]，表示后置参数调整环节中最优任意时滞滤波器在离散时刻时的脉冲幅值，而最优任意时滞滤波器的脉冲个数与系统的振动模态阶数有关。由文献[13]可知，当脉冲个数≥2+1时，才能完全消除柔性系统的个振动模态()=[(),(-)…[-(-1)]]，表示计算整形输出()所需要的系统实际输出()的采样点。

对于期望输出()，在任一时刻有：

()=()()()

(27)

式中：()表示前置输入整形器传递函数；()表示柔性系统传递函数;()表示参考输出。在无法准确获知柔性系统传递函数的情况下不能完全确定理论输出()。但是由最优任意时滞滤波器的特性可知，期望输出()在运动停止(-1)时间后必须为0。利用期望输出()的这一部分信息，便可对预测误差()进行最小化。文中采用递归最小二乘法进行求解，为保证整形前后系统输出的稳态值不变，需对标准递归最小二乘法进行修改，添加归一化条件，即：

()=1

(28)

式中:=[1,1，…,1]，添加归一化条件约束后可得到后置输入整形器在离散时刻时的脉冲幅值向量()表达式为

(29)

迭代初始值为

(30)

给定一个时滞时间，从初始值出发开始迭代，选取迭代的收敛值为后置输入整形器的最优参数解，再将它传输给前置输入整形器。在求解输入整形器的最优参数解时所用的系统实际输出()可以为任何能反映系统振动的信号，机器人末端的残余振动加速度通过加速度传感器采集。文中所提出的力/位前馈混合控制策略控制框图如图5所示。

图5 力/位混合前馈控制框图

由轨迹发生器产生连杆转角期望轨迹，利用式(21)计算出电机转角期望轨迹，驱动机器人进行预实验。采集机器人末端的残余振动信号后利用后置多模态自适应输入整形器进行求解，得到前置输入整形器的最优参数解。对连杆转角期望轨迹进行整形，得到连杆转角期望整形轨迹。根据式(24)计算出各个关节的前馈力矩值，与电机转角期望整形轨迹一起发送至伺服电机，对目标机器人实现力/位混合前馈控制。

4 实验验证及结果分析

基于广州某公司RB03A1型六自由度工业机器人进行实验。实验平台如图6所示，机器人最大负载30 N，机器人末端残余振动信号的检测采用Type 8395A三向加速度传感器。

图6 实验平台

4.1 柔体动力学模型参数辨识实验

进行柔体动力学参数辨识时，每次只给一个关节发送激励轨迹，其余关节锁定在原位，逐一对每个关节的动力学参数进行辨识。在采用激励轨迹进行动力学辨识实验获得动力学模型后，须设计一条验证轨迹以验证结果的准确性。将验证轨迹代入辨识得到的动力学模型，计算得到对应于验证轨迹的预测力矩，再用验证轨迹驱动机器人得到对应的实际力矩，通过观察预测力矩与实际力矩曲线的重合度判断动力学模型是否准确。激励轨迹和验证轨迹的计算公式均采用有限傅里叶级数，轨迹如图7所示。动力学参数辨识实验得到的关节电机编码器值和力矩值需采用巴特沃兹滤波器进行数据处理，采用中心差分法对数据进行求导,辨识算法采用加权最小二乘法，以提高辨识精度。

图7 激励轨迹与验证轨迹

各个关节柔体动力学参数辨识结果如表1所示。根据动力学模型计算出的各个关节的预测力矩和实际力矩及两者误差如图8所示。可知：预测力矩与实际力矩基本重合。根据图8计算各关节力矩曲线最大相对误差如表2所示，可知最大相对误差为第一轴的25%，其余各轴均在20%以内，说明该柔体动力学模型能准确反映机器人本体的动力学特性。

表1 柔体动力学参数辨识结果

图8 柔体动力学模型验证效果

表2 力矩曲线最大相对误差

4.2 前馈力位混合控制算法效果验证实验

文中从关节轨迹跟踪误差和机器人末端执行器残余振动抑制效果两方面检验所提出的前馈力/位混合控制算法实际应用效果。考虑RB03A1工业机器人的特点，基于柔体动力学简化模型的前馈力矩补偿算法仅用于配置谐波减速器的第4、6关节，而后置多模态直接自适应输入整形算法则用于所有关节,以保证各个关节运行轨迹时间长度相等。验证实验采用的连杆转角期望轨迹为笛卡尔空间中的一条时间最优直线轨迹，因是在关节空间进行输入整形，故需将它用逆运动学理论将笛卡尔空间直线转换至各个轴的关节空间进行描述，如图9所示。

图9 关节空间中各个关节的期望轨迹

在所提出的力/位混合前馈控制策略中，后置多模态直接自适应输入整形器预先确定的参数分别为=5、=15 ms，根据预先规划好的时间最优连杆转角期望轨迹，利用式(21)计算出的电机转角期望轨迹驱动机器人进行预实验。采集末端执行器的残余振动信号，选取主振方向的残余振动加速度进行迭代计算，整形器参数计算过程如图10所示。取最后收敛值为最优解，则整形器最后的参数如式(31)所示。

图10 输入整形器脉冲幅值计算过程

(31)

选用ZV输入整形器进行对比实验。通过后置自适应输入整形器获得整形期望轨迹后，代入公式(24)求解出关节4、6的前馈力矩，将它们同电机转角期望轨迹一同发送至各个关节。为便于描述实验结果，定义残余振动加速度信号的最大峰值点为残余振动最大振幅，残余振动抑制效果如图11所示。可知：方向为残余振动主振方向，力/位混合前馈控制能将、、3个方向的最大振幅减少至未整形前的10.8%、10.1%、14.5%，而ZV输入整形器则能将、、3个方向的最大振幅分别减少至未整形前的26.6%、19.3%、45.1%。另外，考虑到环境噪声及加速度传感器的灵敏度问题，认为当3个方向的残余振动加速度均衰减至1 m/s时，振动已经稳定下来。以调整时间最长方向所用时间作为该输入整形器的调整时间，则实验所采用的各种输入整形器调整时间如表3所示。可知：与未整形的轨迹相比，ZV整形器和力/位混合前馈控制算法的稳定时间分别减少至未整形前的28.7%、15.0%，表明这2种方法均能使残余振动快速衰减。

表3 输入整形器调整时间

图11 不同控制策略残余振动抑制效果

图12所示为关节4、6的轨迹跟踪误差。可知：在未附加前馈力矩补偿控制项时，关节4仅靠关节位置PD反馈控制的轨迹跟踪误差均方根为0.628 6 rad，而在附加前馈力矩补偿项后，轨迹跟踪误差均方根为0.589 3 rad，减少了6.25%；轨迹跟踪最大误差绝对值在附加前馈力矩补偿项前后分别为1.136 1、1.039 8 rad，减少了8.47%；而对于关节6，在附加前馈力矩补偿项前后，轨迹跟踪误差均方根分别为0.440 6、0.423 5 rad，减少了3.87%，轨迹跟踪最大误差绝对值分别为0.693 6、0.661 5 rad，减少了4.63%。结果表明：所提出的前馈力/位混合策略能在关节位置PD反馈控制的基础上，有效抑制残余振动现象，进一步提高轨迹跟踪精度。

图12 关节4、6的轨迹跟踪误差

5 结论

针对控制工业机器人柔性关节时存在的轨迹跟踪误差问题和残余振动问题，进行了研究。

建立了柔体动力学简化模型，并针对工业机器人仅配置电机编码器的特点，将它改写成仅包含电机转角变量的动力学参数辨识方程，然后采用加权最小二乘法对其进行参数辨识，激励轨迹与验证轨迹均基于有限傅里叶级数进行构建。结果表明：利用所辨识得到的动力学模型计算出的预测力矩与实际力矩最大相对误差为25%，该模型所反映的机器人本体动力学特性能满足机器人动力学控制的需求。

在工业机器人独立关节PD位置反馈控制的基础上，提出一种基于柔体动力学简化模型的前馈力矩补偿控制算法和后置多模态直接自适应输入整形算法的前馈力/位混合前馈控制策略。结果表明：在减少轨迹跟踪误差方面，所提出的力/位混合前馈控制策略能将配置谐波减速器第4、6关节轨迹跟踪误差均方根分别减少6.25%、3.87%，轨迹跟踪最大误差绝对值减少8.47%、4.63%；在抑制末端残余振动方面，力/位混合控制策略能将、、3个方向的最大振幅减少至未整形前的10.8%、10.1%、14.5%，明显优于传统的输入整形器。所提出的前馈力/位混合控制策略，可以在仅有电机配置编码器的情况下，有效提高轨迹跟踪精度，抑制末端执行器的残余振动现象。