小物和小理的物理对话录(98)——图像问题分析

黄碧涵 何 龙 孟卫东(正高级教师)

(清华大学附属中学永丰学校)

前言:小物和小理是2名普通的高中生,他们酷爱物理,在学习物理的过程中,小物经常向小理提出许多刁钻而有趣的物理问题,了解他们的故事也能让你的物理达到新的高度.

1 对话录

小物:小理,可算找到你了!

小理:怎么了? 什么事儿这么着急?

小物:小理,最近我们学到运动学部分内容,常常涉及图像,我总是分析得不对.

小理:我觉得图像题并不难呀! 厘清各物理量间的关系和图像斜率、截距等代表的物理意义就能顺利解题了.

小物:解答物理问题难道还要画图,求斜率,求截距?

小理:那我得批评一下你的态度了,我们学习的目的就是解释我们看到的现象,在研究问题时,不同的学科知识都要利用起来.

小物:你说得对……

小理:高中物理应该用逻辑思维去分析问题,我们刚刚学完运动学的基本概念,可以基于这些基本的物理概念来分析问题.高中物理中的速度、加速度、位移等都具有矢量性,都涉及方向.我们就刚学习的匀变速直线运动的相关知识点,从图像的角度一起来讨论一下吧!

2 小理的解释

2.1 速度与加速度矢量分析

针对图1的匀变速直线运动图像,我们建立一维的物理模型.

图1 匀变速直线运动图像

汽车从静止开始启动,设向右为正方向,从图像可以看出,在0～2s时间内,速度始终为正,也就是说这段时间速度的方向始终与规定的正方向相同.

而2～4s时间内速度始终为负,说明速度方向与规定的正方向相反,方向向左.

我们再来看汽车在0～1s时间内的加速度特点,根据图线趋势,结合数学中的一元一次方程y＝kx＋b,可知k＞0,b＝0;而我们知道速度—时间图像的斜率表示加速度,因而加速度a＝k＞0,为正值,方向向右.同样地,在1～2s时间内,根据图线趋势,结合数学中的一元一次方程y＝kx＋b,知k＜0;说明这段时间加速度a＝k＜0,为负值,方向向左.同理可分析出,2～3s时间内的加速度a＜0,方向向左;3～4s时间内的加速度a＞0,方向向右.通过图像可进一步求出加速度的大小始终为

图2 数学中的一元一次方程图像

当加速度方向与速度方向相同时,汽车做加速运动;当加速度方向与速度方向相反时,汽车做减速运动.因而汽车在0～2s时间内的运动规律为:从静止开始,在0～1s时间内做向右的匀加速直线运动,加速度大小为2m·s－2,1s的末速度为2 m·s－1;汽车在1～2s时间内做向右的匀减速直线运动,加速度大小为2m·s－2,速度最终减为0.汽车在2～4s时间内的运动规律为:汽车从初速度为0开始,在2～3s时间内做向左的匀加速直线运动,加速度大小为2 m·s－2,3s的末速度为2m·s－1;汽车在3～4s时间内做向左的匀减速直线运动,加速度大小为2m·s－2,速度最终减为0.速度和加速度的方向如表1所示.

表1 速度和加速度的方向

汽车的运动方向,也就是速度方向发生改变的时刻是在2s末.从图像上看,随着时间的变化,对于0～2s和2～4s两段时间,物体的运动过程具有对称性,速度和加速度的变化规律是一致的.因而,在运动学问题中,我们可用速度—时间二维图像来描述物体一维运动的矢量性运动特征,正负号就表示矢量的特征.对于物体的二维及三维运动,我们也可以用图像进行描述.

2.2 “降维”分析复杂运动

物体的直线运动是在一维层面上,而物体的曲线运动要从二维层面,即在平面直角坐标系中进行研究.我们知道物体做曲线运动的条件是合力(加速度)与速度方向不在同一条直线上,比如平抛运动.研究平抛运动时,常利用化曲为直的思想,把复杂的二维运动转化为一维运动,即把平抛运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速直线运动.根据上文对物体一维运动的图像分析思路,这里可将图3合成后的二维曲线运动分解为物体在水平方向上的初速度为0、加速度大小为1 m·s－2的匀加速直线运动,以及竖直方向上的速度为2 m·s－1的匀速直线运动.

图3

同样,曲线运动中的圆周运动也是二维运动.研究匀速圆周运动时通常是将其分解成沿半径方向和沿切线方向的两个一维运动:沿切线方向为匀速运动,而沿半径方向存在加速度大小不变的且始终指向圆心的运动;对于变速圆周运动可以分解为:沿切线方向的加速或减速运动,沿半径方向为指向圆心的加速运动.电学中,沿垂直电场方向射入且初速度为v0的带电粒子(重力不计)在电场中做类平抛运动,可分解为垂直电场方向的匀速直线运动(vx＝v0)和沿电场方向的匀加速直线运动.上述二维运动的一维分运动均可用速度—时间图像来表示.

更进一步,对于空间中的三维运动,如图4所示,垂直于Oxz平面且轨迹像螺纹一样匀速旋转前进的物体,可将其运动分解为沿z轴方向的一维直线运动及沿Oxy面的二维平面圆周运动,如带电粒子在复合场中,在洛伦兹力的作用下粒子做匀速圆周运动,而在电场中粒子可做v0＝0的匀加速直线运动.

图4

因此,在描述物体的运动过程时,物体的速度、加速度、位移等物理量都是矢量,和力一样,都可以进行矢量分解,遵循平行四边形定则.在处理较为复杂的运动学问题时,都可以利用“降维”的物理方法去分析,实现化复杂为简单的目标.

3 小物的感悟

听你讲完,我发现原来运动学中的图像问题并不难,即使是研究较为复杂的二维或三维运动问题时,图像也可以起到化繁为简的作用.在以后的物理学习中我会多总结物理思想和方法,深入思考物理知识背后的物理规律,相信在未来的物理学习中一定会取得更大的进步.

(完)