基于翻转课堂模式的三重积分教学研究

王艳华 潘志刚

1.成都锦城学院 四川成都 611731；2.西南交通大学数学学院 四川成都 611756

一、翻转课堂教学模式的内涵及其实施的必要性

生活在流量时代的当代大学生，在层出不穷的QQ、微信等APP的出现中潜移默化地改变着他们的思维方式和学习习惯。绝大多数的学生大部分时间会利用这些智能终端浏览网页获取信息，完成知识的内化。因此，互联网作为资源共享与信息交互的载体使得传统的大学教育教学体制受到严重挑战。整合教学资源，推行翻转课堂教学模式符合当代大学生的学习习惯，有助于激发学生学习兴趣，提高教学效率，以强化学生的核心专业素养，进而实现新时期人才的培养目标。

翻转课堂，一般被称为“翻转课堂式教学模式”，翻译于英文“Flipped Class Model”。传统的教学模式，即老师在课堂上讲课，布置家庭作业，让学生回家练习。在“翻转课堂式教学模式”下，教学与传统的课堂教学模式开始变得不同，学生在家完成知识的学习，而课堂则变成了老师与学生之间、学生与学生之间互动的场所，包括答疑解惑、探讨知识的来源及运用等，从而达到更好的教育效果。互联网的普及和计算机技术在教育领域的应用，使“翻转课堂式教学模式”变得可行和现实。课堂上同伴间的互助教学能促进知识的内化吸收，使得学习正确率增加一倍。而翻转课堂正是顺应了这一趋势。简单地讲，翻转课堂是帮助学生完成知识内化的一种新兴教学模式。它将具体的知识点作为独立的课程内容，组织课前准备，课中学习与课后反馈等一系列教学活动，旨在将主要的知识传递于课堂之外，使得学生在课堂之内主动进行探究、交流、反思等翻转学习活动。相较传统的教学活动而言，翻转课堂教学模式下的教育教学赋予了每一位学生自我表达的权利，课堂活动不再是简单单一的理论传授，更多的是学生思维的启发，整个课堂呈现的是一种活跃思维碰撞的热闹场面，从而强化学生的核心素养。

翻转课堂教学模式已经在国内外部分高校使用，并取得良好的教学效果。将翻转课堂融入高等数学的教学，学生的学习成绩、学习环境、创新意识及学习积极性都有不同程度的提升；另外翻转课堂所实施的资源共享，更使得各地域的学生都可以享受到同等的教学资源。

二、翻转课堂教学模式应用案例分析

“高等数学”包括极限、微积分、空间解析几何、向量代数、级数、常微分方程等主要内容。相对于初等数学而言，数学的对象及方法都较为繁杂。“高等数学”教学不同于其他学科，它是一门要求学生多动脑思考，多分析推理，多动笔计算的逻辑性极强的一门学科。三重积分作为大学本科课程“高等数学(下)”的一个教学内容，是定积分思想和理论在多元函数情形下的推广。三重积分的计算需要将其化成累次积分，虽然教材中给出了计算公式，但要具体实现公式的计算，需要学生具有较强的几何直观能力，又需要灵活的选择计算公式和方法，这就要求学生在此知识内容的学习过程中非常主动投入。而很多学生学习“高等数学”时感觉晦涩难懂，定积分和二重积分的计算已经让他们感觉焦头烂额，再加上学生经历严峻高考过后，相当一部分同学一下子松懈了下来，学习积极性变差，目的不明确，教师再考虑到教学内容多，课时安排少，学生数学基础参差不齐等原因，在教学三重积分过程中往往无法讲授透彻，甚至对此部分教学内容进行舍弃。这些实际问题都使得学生在学习三重积分时困难重重，备感艰难。席卷全球成为教育界关注热点的翻转课堂模式为大学生提供了一种自主合作的学习形式，更好地解决了学生积极性不高、参与程度低等问题。因此，本文将基于翻转课堂模式，对三重积分的教学内容进行探讨，以期提高学生学习三重积分的效率，培养学生分析和解决问题的能力。翻转课堂是一种新的教与学的模式，对于老师和学生都是一种挑战！如何设计三重积分的教学内容以实施翻转课堂的教学方法？以下将结合平日教学特点设计如下具体教学内容，以期将翻转课堂功能发挥至最大。

(一)课前准备，设置引导性问题

在学习三重积分之前，学生已有定积分、二重积分教学内容基础：定积分概念的引入可以讲到日耳曼著名天文学家Kepler的三大行星定律，其中第二大定律就是太阳到行星的向径在相同时间内所扫过的面积相等，当时就是利用“分割近似求和”的思想，这正是定积分思想早期的萌芽，接着为解决曲边梯形面积问题以及做变速直线运动的物体在某一时段[，]内所运动的路程问题；二重积分概念的引入为解决曲顶柱体体积问题，二者在解决问题时均采用了同一思想：分割、近似、求和、取极限。那么为了激发学生学习三重积分的热情，这里可抛出引导性疑问：三重积分是为了解决什么实际问题？在解决实际问题时又采用了怎样的思想？通过定积分概念的背景导入，既让学生了解了这个背景，又增添了课堂趣味，大大激发了学生学习的兴趣。要通过翻转课堂引导学生从不同的实例中分析数学思想上的共性，然后得出抽象的数学概念，而这正是学习数学尤其是基础数学的关键所在；同学们思考三重积分的引入是否和定积分、二重积分一致呢？它们有什么共同特征？

提问：设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的物质，密度函数为(，，)，求分布在Ω内的物质质量。

分割：将空间有限闭区域Ω分割成个小闭区域，，…。

近似：第小块不均匀闭区域近似看成均匀物质，则其质量计算为=(，，)。

至此，学生通过自主学习已知道三重积分的概念是因何引入，反复提到的“分割、近似、求和、取极限”思想让学生清楚地认识到定积分、二重积分、三重积分三者之间的一脉相承，通过对比分析，学生更有信心进入下一个教学环节的学习中去。

(二)课前视频学习，注重分析重点问题

共享教学资源是教学工作开展的基础。翻转课堂打破传统课堂在教学资源的单一性，通过教学视频平台和信息技术支持，把分散的教学资源聚合在一起，为教学主体提供最优质服务。翻转课堂教学模式的关键在于制作微视频。视频一定要做到短而精，既要通俗易懂又要主题鲜明，这样既符合了当代大学生学习认知的规律，又保证了学生随时随地进行学习的灵活性，有效地达到了见微知著的效果。

“三重积分的概念与计算”作为三重积分的第一堂课，可制作两个教学微视频，即三重积分的概念和三重积分在直角坐标系下的计算。为保证学生对视频讲解内容产生兴趣、主动吸收消化其中的知识点，教师制作微视频时务必要使其具备美感，录制使用的语言尽量生动活泼。在上课之前，教师将已做好的微视频发布到教学平台，学生可根据自身情况进行重复观看。

学生是否观看了微视频，是否理解了微视频中的教学内容，这些都是翻转课堂是否顺利开展的重要依据。因此教师有必要检测学生在课堂前的学习情况。可通过如下练习进行测试：

直角坐标下计算三重积分的方法有两种：投影法和截面法。此练习向学生明确了本堂课的教学内容，有助于加深三重积分计算方法及其运用的理解。在此测试中，要求学生将自己不明白的、计算过不去的地方作上标记，以便后期课堂中进行重点讨论。

(三)课堂探究，深化理论认知

此堂课的重中之重为三重积分在直角坐标系下的计算。结合学生的实际情况可提出具有探究意义的问题在课堂进行分析讨论以巩固学习目标：(1)三重积分在直角坐标系下的计算方法有哪些？(2)每种计算方法的解题步骤是哪几步？

学生根据提问，以6人为单位的小组进行讨论，分工合作给出回答，这既促进了学生严谨的数学语言表达能力，也在无形中提高了学生主动学习、主动应对问题以及面对问题时的解决分析总结能力，这对学生以后无论是面对生活还是面对工作都大有裨益。

以投影法为例，投影法实则先一后二法，即将三重积分转化为先一重积分后二重积分形式：

可是其中，(，)，(，)该如何确定呢？这至关重要。投影法顾名思义就是要先找到给定几何体的投影，具体思路如何？此时教师可一步一步地引导学生思考，学生结合自身微视频的学习在小组讨论中积极发表自己的想法，从而在探讨中总结得出相应的结论。

截面法则是先二后一法，即将三重积分转化为先二重积分后一重积分形式：

在计算一些实际三重积分问题时，有时候用投影法会计算量很大，甚至可能积分困难计算不出来，此时如果采用截面法则会极大地简化计算过程。此时教师可提问：什么时候使用截面法？什么时候使用投影法？通过提问引导学生进行深入思考：如果三重积分中被积函数与,无关，用平行于坐标面的平面去截空间闭区域，所得截面面积比较容易计算，此时可以优先采用截面法。而在其他情况，即被积函数与有关，则通常选用投影法进行计算。

课堂的后半段，教师应该对表现不错的小组给予肯定表扬，对三重积分的计算及解题步骤进行梳理、总结和提升，最大化师生面对面的教学效率。反复提及阐述本课堂的教学目标，有助于本堂课知识的内化，也让学生意识到做好课前必需充分的准备，才能在翻转课堂中达到预期的教学效果，促使学生在下堂课前进行充分的学前研究。

(四)课后总结及巩固练习

有限的课堂时间没法保证所有学生学习透彻，因此课后总结及巩固练习也是非常关键的。此时微视频作为移动学习工具，能辅助学生在课堂探究之余再次学习，结合小组讨论及教师梳理，相信一定能做到知识内化。同时还需布置相应练习题，强化学生的理论应用与实践能力，检验学生的学习效果。因此本堂三重积分教学下来需布置如下习题供学生进行巩固练习：利用合适的坐标计算下列三重积分。

结语

综上所述，以上设计环节符合翻转课堂的教学特点，在教学实践中效果不错，学生反应良好，既实现了学生的高效自主学习，又引领学生进入了一个全新的课堂境界。翻转课堂设计真正做到了“以人为本，以生为本”，做到了学生自己掌控学习节奏，实现跨空间跨时间的自主学习。但该教学模式自身存在的缺陷也是不容忽视的：(1)需要建立在学生具有较强的自学能力以及较好的自律性，而这正是大多数学生所缺乏的；(2)需要教师具有较好的计算机操作能力，这对于某些教师或者某些地区的硬件资源是严重的考验；(3)需要教师搜集更多的教学资源，势必会占用更多的工作时间，而且务必保证教学资源的准确性，否则无法及时传递。

因此，将翻转课堂模式引入三重积分乃至整个高等数学内容，作为传统模式教学的一个有益补充，将有助于提高学生的运算能力、总结分析能力及逻辑思维能力，以期完善学生的专业素养，达到新时期人才的培养要求。