基于位移置换法的梁变形计算机仿真研究

刘灿昌，李银山，李欣业，王新筑

（1.山东理工大学交通与车辆工程学院，山东淄博 255000；2.河北工业大学机械工程学院，天津 300401；3.重庆大学航空航天学院，重庆 400044）

0 引言

梁变形计算常用到能量法和力矩—面积法，这两种方法能较快计算梁特定点的变形，对于复杂载荷作用工况，存在计算工作量大的问题［1-4］，限制了其在复杂载荷环境下的工程应用。改进的积分变形计算法能减少积分常数的数量，简化变形计算过程［3-5］，提高计算效率。喻晓今［6］推导出梁的挠度和转角的置换法位移方程，利用置换法求解一端外伸梁变形，提出一种基于叠加无需积分的变形计算方法。邢誉峰等［7］求解一端固支均匀拉压杆、欧拉梁和铁木辛柯梁在任意次多项式形式分布载荷作用下的精确解。吴晓等［8］考虑几何变形协调关系，求出桁架节点位移的解析解。麻凯等［9］提出一种基于Epsilon 算法和改进的纽曼级数结构静态位移的一阶和二阶灵敏度近似计算方法。彭如海［10］研究了梁上特殊点的位移置换函数，提出一种求解梁特定点的变形位移置换方法。

计算机代数系统在计算机辅助教学等领域得到广泛应用［11-18］。高云峰［19］、李银山等［20-21］利用位移置换函数，发展了一种计算机辅助计算方法。Matlab 辅助教学系统有利于提高教学效率，加强学生对基本概念和原理的理解，可以拓宽学生的知识面，增强学生解决工程问题的能力［22-23］。

1 位移置换法

1.1 悬臂梁的位移置换法

位移置换法利用单位力作用下互等位移与载荷叠加计算梁任意一点变形的一种计算方法。如图1 所示。以求解悬臂梁自由端的挠度为例来引进位移置换法。设O端固定，A为自由端，长为l，抗弯刚度为EI的悬臂梁上受到任意分布载荷q(x) 作用，求A端挠度vA。

图1 任意分布载荷作用的悬臂梁

如图2 所示，由位移互等定理知道，若分别在A处和x处作用单位力F0＝1，则在A处单位力引起x处的位移δq(x，l)［见图2（a）］与在x处的单位力引起A处的位移δq(l，x)［见图2（b）］应相等：

图2 位移互等定理

由叠加原理可知同样，为求如图1 所示梁A端的转角θA，对位移采用类似的置换方法可得：

式中，δm(x，l)为在A处的单位力偶矩Me0＝1 引起x处的挠度。

如图3 所示，把上述方法推广到分布弯矩m(x)，集中力Fi，集中力偶矩Mei情况。处理集中载荷时应用狄拉克δ函数的定义和性质，于是有：

图3 任意载荷作用的悬臂梁

定理1设悬臂梁（长为l，抗弯刚度EI）上承受分布力q(x)，分布弯矩m(x) 以及在ai处（集中力）的Fi，在bi处的集中力偶矩Mei的共同作用。则端点A的挠度和转角分别为：

1.2 位移置换法的应用

定理1 的梁变形计算方法方法可推广到其他边界条件，在任意载荷作用下位移求解问题。如图4 所示。

图4 任意边界条件的指定点位移

结构在C处的挠度v(ξ) 和转角θ(ξ) 的计算步骤为：步骤1边界条件不变，在x＝ξ 处只作用一单位力F0＝1［见图5（a）］。

图5 单位载荷作用下的位移

1.3 静定梁位移置换函数

图6 位移置换函数

位移置换函数可以查材料力学手册，或者采用连续分段独立一体化积分法得到。

2 计算机仿真算例

算例1如图7 所示，已知：L＝15 m，q＝3 kN／m，受复杂载荷悬臂梁，试求B点的挠度。已知梁各段弯曲刚度EI为常数。

图7 复杂载荷作用下的悬臂梁

悬臂梁的挠度如图8 所示。

图8 算例1悬臂梁挠度图

算例2如图9 所示，受复杂载荷的外伸梁，试求C点的挠度和转角。已知梁各段弯曲刚度EI为常数。

图9 复杂载荷作用下的外伸梁

已知：L＝10 m，q＝8 kN／m，F＝

解：位移置换法。

求C点的挠度和转角

外伸梁的挠度如图10 所示。

图10 算例2外伸梁挠度图

3 用连续分段独立一体化积分法求位移置换函数

3.1 连续分段独立一体化积分法

以悬臂梁为例，介绍连续分段独立一体化积分法求位移置换函数的步骤如下：

步骤1建立挠度的（载荷集度型）四阶导数微分方程，悬臂梁分为两段，各段的挠曲线近似微分方程为

步骤2积分1 次得剪力方程的通解。

步骤3积分2 次得弯矩方程的通解。

步骤4积分3 次得转角方程的通解。

步骤5积分4 次得挠度方程的通解。

步骤6根据边界条件和连续光滑条件确定积分常数：

3.2 Maple软件仿真计算过程

计算步骤：

步骤1加载绘图库。

步骤2建立载荷分布函数。

步骤3求解载荷集度型四阶导数微分方程积分4 次得挠度通解。

步骤4建立边界条件和连续光滑条件方程确定积分常数。

步骤5建立边界条件和连续光滑条件方程确定积分常数。

步骤6求解单位力作用下的挠度函数。

步骤7计算单位力的值。

步骤8绘图整理。

4 结语

本文将位移置换法由求解梁特定点变形计算推广到一般点的变形计算，发展了一种梁变形计算简化方法。研究了位移置换函数确定方法，给出了多边界梁在复杂载荷作用下位移置换函数，利用位移置换法给出梁变形解析解。利用Maple程序计算任意节点位移数值，得到梁变形计算表达式。