双剪及古典强度理论应用于火炮身管的强度及振动研究

2022-09-01葛书强刘明敏谢锋

火炮发射与控制学报 2022年4期

葛书强，刘明敏，谢锋

(中国船舶集团有限公司第七一三研究所，河南郑州 450015)

现代火炮发展方向为高初速、高射频、高射击精度和高机动性，用户对火炮射击时的稳定性、安全性以及对高低、方位的快速响应提出了更高的要求[1]。火炮发射时，火药气体压力急剧增大，在炮膛内产生极其复杂的物理化学反应，具有时间短、压力大、温度高的特点，同时弹丸在膛内高速运动，对于线膛炮，弹丸还绕身管轴线高速旋转，再加上转管炮身管组高速旋转，炮尾炮闩的撞击，火炮不可避免的面临着刚强度和振动问题的挑战，身管炮膛部位强度不足会引起膛炸事故，身管刚度不足、振动过大会引起炮口不稳，导致立靶密集度散布较大，对高精度射击不利。身管过重还会使得火炮快速反应能力下降，需要的动力源功率增大，总体尺寸和质量加大，进而挤压火炮载具(如装甲车、舰船等)其他设备的空间和质量，造成总体布局失调，影响装备的总体性能。因此需要设计出有合理强度和振动特性的身管[2-3]。

以往提高火炮发射稳定性优先考虑火炮的静态特性，通常采用加厚身管壁、加重火炮底座(如托架、上架、旋回架等)以及提高缓冲器的阻尼系数来加强静力学下的刚强度，过厚的身管壁以及过重的火炮底座会造成材料浪费、制造成本变高，不利于火炮的轻量化设计。火炮设计在考虑静态特性时，也要考虑其总体动态特性[4]。需要合适的理论来支撑身管的设计，满足火炮使命任务的需要，通过对比分析不同强度理论设计的身管，寻找合适的强度理论及匹配的安全系数，然后分析身管的动态特性，确保身管在射击过程中不会发生共振现象。

我国及俄罗斯的身管设计均习惯沿用最大线应变理论作为设计依据，同时兼顾身管质量特性，通过设置相应的安全系数，设计出符合工程实际的身管。但是材料力学相关理论及相关研究均表明，最大线应变理论适用于脆性材料的破坏。我国火炮上的单筒身管，大多以炮钢作为首选制造材料，通过在炮钢中添加Mo、V等元素，使得炮钢不但具有较高的强度，而且有良好的塑性和韧性，其实际上具有典型的塑性材料特征。此时最大线应变理论是否仍然适用于指导身管设计，笔者对此问题存疑。

国内外对于金属身管强度的研究多基于材料力学古典强度理论，如杜中华[5]基于第二强度理论对单筒、筒紧、衬管和自紧4种类型身管的应力分布和强度机理进行了比较；杜中华等[6]又基于第三和第四强度理论研究了适合我国使用的单筒身管设计方法及匹配的安全系数，并进行了数值仿真验证。张芳添等[7]根据筒紧身管的相关理论设计了用于某火炮的筒紧身管外形尺寸并按第三强度理论进行了校核。

笔者将依据厚壁圆筒理论，把双剪强度理论引入身管设计中，并分别根据最大线应变理论、Tresca强度理论、Mises强度理论以及双剪强度理论对火炮身管进行强度分析和安全系数计算，将不同强度理论结果进行对比，选择合适的强度理论用于指导身管结构设计，对设计的身管进行振动响应分析并给出相应的结论。

1 火炮身管强度理论和振动理论

1.1 三大系列强度理论

基于大量的理论研究和实验验证，目前已提出了上百个强度模型或准则，按照剪应力可以将强度理论划分为单剪强度理论(SSS理论，Single-Shear Strength Theory)、双剪强度理论(TSS理论，Twin-Shear Strength Theory)和八面体剪应力强度理论(OSS理论，Octahedral-Shear Strength Theory)三大系列强度理论[8]。其中，Tresca强度准则是SSS理论的单参数准则，Mises强度准则是OSS理论的单参数准则，双剪强度准则是TSS理论的单参数准则[9]。3种强度理论极限面的关系如图1(a)所示。作为3大系列强度理论的单参数准则，在π平面上，Tresca(内接、外切)六边形、Mises圆和外切最大偏应力屈服条件的关系如图1(b)所示。

大量实验数据表明静水压力对火炮自动机用炮钢的影响可以忽略不计[10]，由此，法国H. Tresca和德国R. Von Mises先后提出了相应强度准则的一般表达式，推导过程及公式详见参考文献[11]。Tresca强度准则一般应力表达式是非正则的，由六个线性函数构成，几何上为不光滑曲面，数学处理不方便。Mises强度准则用圆柱面代替Tresca正六边棱柱面，数学上更易于处理。R.Schmidt最早提出了最大偏应力屈服准则，后由俞茂宏用双剪应力的概念对该强度准则进行了说明，称为双剪强度准则，其一般应力表达式详见参考文献[11]。

最大线应变理论在材料力学中称为第二强度理论，虽然其考虑了3个主应力的影响，但理论计算与实验结果却相差较大，且按照该理论，双向受拉比单向受拉更安全，但这与实际并不相符。Tresca强度理论在材料力学中称为第三强度理论，其只考虑了最大主应力σ1和最小主应力σ3的作用，未考虑中间主应力σ2的作用，大量理论和实验研究表明，中间主应力对材料屈服确实存在一定的影响，其对材料失效破坏的影响在很多应力状态下是不能忽略的[12]。由Tresca屈服条件得到的强度条件偏保守，设计的结构质量偏大，较为笨重，经济性偏低，不适合应用于质量要求较高的结构设计。Mises强度理论认为引起材料屈服的主要因素是畸变能，在材料力学中称为第四强度理论，其等效应力考虑了3个主应力的综合影响，也更符合大量实验验证的结果。对于塑性材料，其强度校核结果相对于Tresca屈服条件更为精确。但Mises屈服条件并不能够对高三轴应力状态下材料易于脆断的现象予以解释[13]。双剪强度理论认为当作用于单元体上的两个较大主剪应力之和达到某一极限值时，材料开始发生屈服，俞茂宏将其表述为

(1)

此准则与最大应力偏量准则等价，其表达式为

(2)

这里的si(i=1,2,3)为3个主应力偏量分量，且σ1、σ2和σ3不按大小排列，有

(3)

如图1(b)所示，双剪强度理论(或最大偏应力屈服条件)比Tresca强度理论多考虑了中间主剪应力的影响，在不同应力状态下二者相差最大为33.33%。在某些应力状态下双剪应力强度理论与实验结果吻合良好，文献[14]展示了实验结果和理论预测的对比，结果显示软钢、铝合金材料实验结果与理论预测吻合良好。

1.2 身管强度理论及分析

身管设计压力曲线是身管各截面在任何射击条件下所承受的火药燃气最大压力曲线，是身管强度设计的基本依据。基于厚壁圆筒理论得到的某身管外形示意如图2所示。厚壁圆筒的基本假设为：形状是理想的圆筒形；材料是均质和各向同性的；圆筒承受的压力垂直作用于圆筒壁表面且均匀分布；圆筒受力变形后仍保持其圆筒形，任一横截面变形后仍为平面；压力是静载荷，圆筒各质点均处于静力平衡状态。

对单筒身管，除了厚壁圆筒基本假设外，为便于对比分析又作如下假设[2]：

1)单筒身管的任一横截面是一个内半径为r1、外半径为r2的厚壁圆筒。

2)身管外表面压力为0，由于外部大气压远小于火炮膛压，一般取身管外表面压力为0。

3)忽略身管轴向力，一般轴向力较小，对强度影响极微，取σz=0。

考虑轴向力时，身管弹性强度极限比忽略轴向力的要大，因而采用忽略轴向力的身管弹性强度极限公式设计出的身管，其实际能承受的压力要比设计的大一些，设计的身管偏安全[2]。

笔者将分析不同强度理论下单筒身管理论弹性强度极限，求解所用应力分量基于厚壁圆筒理论。

1.2.1 采用第二强度理论求解

强度条件为身管壁最大应变εmax≤εe，求得身管弹性强度极限PⅡ为

(4)

式中：σe为材料弹性极限；ρ为身管外径内径之比，ρ=r2/r1。

1.2.2 采用第三强度理论求解

强度条件为σ1-σ3≤σe，求得身管弹性强度极限PⅢ为

(5)

1.2.3 采用第四强度理论求解

身管强度条件详见参考文献[2]，求得身管弹性强度极限PⅣ为

(6)

1.2.4 采用双剪强度理论求解

将双剪强度理论应用于身管设计，其强度条件为两个不等式，根据不同应力状态采用不同的方程，其判断条件为

(7)

(8)

该屈服条件应用时，不仅要求知道主应力的方向，而且要求判断σ1-σ2和σ2-σ3之间的大小。

对于受内压的长厚壁圆筒，其弹性力学解为

(9)

式中：p为内压；b为外半径；a为内半径；υ为泊松比；E为弹性模量；Fz为轴向力；ε0为截面的轴向应变；ρ为身管外径和内径之比。

为保证σ1-σ2≥σ2-σ3，即τ12≥τ23，需σ2≤(σ1+σ3)/2，即有

(10)

整理，得

Fz≤πa2p.

(11)

根据厚壁圆筒端部条件的不同，可分条件讨论：

1)厚壁圆筒两端自由时，Fz=0；

2)厚壁圆筒两端封闭状态下，Fz=πa2p。

以上两种极端情况均满足式(11)，故对所有端部条件，均有σθ-σz≥σz-σr成立。此时最大主偏应力屈服条件可表示为

2σθ-σz-σr=2σe.

(12)

代入各应力分量表达式，整理得

(13)

由式(13)可知，在内壁r=a处，材料首先达到弹性极限状态，随着内压的不断增大，圆筒自内壁面开始，逐渐进入弹塑性阶段，塑性变形区域扩展为一个圆环形区域，若弹塑性交界面半径记为c，则a

将身管弹性强度极限记为Psj，可有下列结果：

1)当两端自由时，Fz=0，有

(14)

2)当两端封闭时，Fz=πa2p，有

(15)

3)当两端固定时，Fz=2υπa2p，有

(16)

由以上分析可知，身管弹性强度极限的结果与所用的屈服条件有关。如前文所述，为了方便对比分析，忽略了身管轴向力，由参考文献[2,15]知，轴向力对身管强度的影响极小，忽略其影响会使得设计的身管偏于安全，因而根据双剪强度理论求解身管强度极限时需采用第1种情况的讨论结果，即式(14)所代表的两端自由情况的结果。

1.2.5 4种强度理论的对比分析

一般说来，要提高火炮的威力，就需要提高身管弹性强度极限，由上述分析可知，对于选定的某强度理论，身管弹性强度极限的大小与身管材料和壁厚有关。4种强度理论对应的弹性强度极限随外径内径比的变化如图3所示。

可以看出，相同材料、相同外形尺寸的身管，其弹性强度极限间的关系表示为

PⅡ≥Psj≥PⅣ≥PⅢ.

(17)

参考文献[2]指出，身管质量随ρ的增大而急剧增加，对于单筒身管而言，ρ一般不会超过2.0，不同ρ值下的实验值和理论计算结果如图4所示，实验值数据部分引自参考文献[2]，实验值以及强度理论计算值如表1所示。由前文叙述，表中列出的双剪强度理论计算值根据第1种情况讨论的式(14)求得。

表1 实验值和4种强度理论计算结果比较 MPa

可以看出，各强度理论曲线分布在实验值的两侧，第四强度理论与实验值吻合的最好，位于实验值的上方。其次是双剪强度理论曲线，位于实验值的上方，距离实验值比第四强度理论曲线略远。第二强度理论和第三强度理论曲线分别位于实验值的上下两侧，均距离实验值较远。

对于身管武器来说，使用安全是最重要的，因此在设计时需要选取适当的安全系数。第二强度理论曲线处于身管强度曲线的上界，相同材料的身管，材料比例极限相同，此时身管相应安全系数取的最大。第三强度理论曲线处于身管强度曲线的下界，相同材料，比例极限相同，此时身管相应安全系数取的最小。第四强度理论曲线和双剪强度理论曲线居中，身管相应安全系数也居中，随身管强度比例确定。

假定某均质炮钢制作的厚壁圆筒身管，其内径为a，外径为b，根据不同的强度理论，可以得到不同的身管外径，第二、第三、第四强度理论和双剪强度理论对应的身管外径内径比记为ρⅡ、ρⅢ、ρⅣ和ρsj，可分别由式(4)～(6)及式(14)求得，身管外径内径比ρ随p/σe的变化如表2所示。

表2 4种强度理论下的内径外径比

当身管膛压p较高(不小于0.45σe)时，假设身管材料比例极限取为885 MPa，则膛压p≥398.25 MPa，第三强度理论和第四强度理论求得的外径内径比分别为3.162 3和2.158 6，均大于2.0，身管壁厚过厚，此时第三和第四强度理论不适合直接应用于较高膛压火炮设计。

相同内径、同一材料的身管，其单位长度质量可表示为

m=πa2ρpg(ρ2-1).

(18)

根据式(18)和表2进行数据处理，可得无量纲单位长度身管质量随p/σe的变化，如图5所示。

由图5(b)可以看出，对于相同材料的身管，第二、双剪、第四以及第三强度理论设计的身管质量增加量依次增大，第三强度理论设计的身管质量增加最多，第四强度理论设计的身管质量增加居中，双剪强度理论设计的身管质量增加最少。当p/σe为0.45，第三强度理论结果相对第二强度理论计算结果增加300%，第三强度理论结果相对第二强度理论计算结果增加63%时，由双剪切强度理论计算结果相对第二强度理论计算结果增加量只有23%，相对而言质量增加量最小。

1.3 安全系数的确定

一般在设计身管时，依据内弹道曲线、膛压及材料比例极限等参数设计身管外形，如果采用同一套安全系数，则依据不同强度理论设计的身管具有相同的弹性强度极限，按第二强度理论、双剪强度理论、第四强度理论、第三强度理论设计的身管质量增加量依次增大，双剪强度理论设计的身管质量增加量最少，且与按第二强度理论设计的身管相比，结构更加安全。因此，不同的强度理论需要匹配相应的安全系数，得到不同的弹性强度极限，最终基于不同强度理论设计的身管外形应基本一致。

由经典内弹道理论得出p-l曲线，进而可求出平均压力曲线p-L。考虑计算最大压力点的误差以及装填条件的变化会引起最大压力点Lmax位置的变化，通常将最大压力值向炮口方向延长(2～3)d，以保证身管工作时安全可靠，此火炮身管平均压力曲线如图6所示。

为了弥补各强度理论与实际的差别，在采用不同强度理论设计身管时，都要选用相应的安全系数，使设计尽可能地同实际情况接近。

一般将身管分为4个不同区域：药室部、膛线起始部、膛线中段和炮口部，各部分在设计阶段的安全系数不同。由文献[2]知，我国在设计身管时基于第二强度理论，药室部安全系数取为1.2，膛线部安全系数取为1.35，炮口部安全系数取为2.0～2.5，中间连接部位按线性变化，如图7(a)所示。根据身管安全系数，可求得身管能承受的最大内压，即身管的理论强度曲线，其结果如图6所示。

根据前文所述各强度理论间的关系，笔者在综合分析了23 mm航炮，30、37、57和130 mm舰炮，85 mm加农炮，100 mm坦克炮等小、中、大口径火炮身管的外径内径比，通过取其外包络，得到了与不同强度理论匹配的药室部、膛线部以及炮口部的安全系数，中间部位按线性变化曲线连接，计算结果曲线如图7所示。

1.4 模态分析理论概述

结构的动力学通用运动方程为

(19)

模态分析以各阶主振型所对应的模态坐标来代替物理坐标，从而使微分方程解耦。火炮身管的振动属于微幅振动，身管结构阻尼对固有频率影响很小，可不考虑外载荷和外阻尼，方程简化为

(20)

其特征方程为

(K-ω2M)φ=0，

(21)

可求出特征值和对应特征向量，即为身管的固有频率和模态振型。

身管安装在炮塔上，可近似看作是悬臂梁结构，主要产生横向、纵向和径向振动。影响火炮稳定射击精度的主要是横向振动，来源于撞击、动力作用和身管弯曲。径向和纵向振动对火炮的射击稳定性并无太大影响。其振动的固有频率与身管的材料、刚度以及质量分布有关，振幅与初始条件、固有频率相关。整个横向振动由基阶振动和几个高阶振动组合而成，基阶振动的频率低、振幅大，对火炮的射击精度影响较大，高阶振动频率高、振幅小，对身管射击性能影响较小。根据有限元方法求解身管前若干阶固有频率和对应的振型，可以分析炮口振动形式，校核身管设计的振动特性。

2 火炮身管有限元模型

根据前述分析，设计了某火炮身管的基本外形，再根据身管与炮尾等零件的连接装配关系、火炮对质量及重心的总体要求、后坐复进的导向要求以及加工工艺性的要求，对身管毛坯模型进行拉伸切除及旋转切割等加工措施后得最终身管外形。忽略身管内壁膛线处局部几何特征，将身管内壁视为光滑壁面，在此光滑内壁上加载内弹道平均压力，基于大型通用有限元程序ANSYS Workbench进行仿真分析，有限元模型加载情况示例如图8所示，划分后的身管有限元模型含184 568个网格，756 737个节点。约束身管与炮尾抓钩的接触面、身管中部贴合面，身管内壁面载荷按照平均压力曲线逐段加载。

身管所用材料为某型炮钢，有限元仿真分析所用材料属性参数如表3所示。

表3 材料属性参数

3 有限元分析结果

3.1 有限元强度分析

提取身管有限元计算结果，用一个经过身管轴线且经过最大应力点的平面剖切身管，得到身管内壁面上经过最大应力点的4条路径，然后将路径上的等效应力映射到选取的路径上并计算相应的安全系数。选取的身管内壁面处的路径上双剪强度理论的等效应力分布情况如图9所示，4种强度理论沿过身管轴线剖面的有限元分析应力分布情况如图10所示，提取4种强度理论结果的等效应力分布数据并计算安全系数，整理出的强度分析结果曲线如图11所示。

4种强度理论对比分析结果表明，第二强度理论校核结果等效应力最小，对应的安全系数最大；第三强度理论校核结果等效应力最大，对应的安全系数最小；第四强度理论和双剪强度理论校核结果等效应力居中，且依次减小，对应的安全系数也居中，且依次增加，与前述理论分析结果一致。

结合前述实验结果与理论计算的对比，考虑到身管毛坯材料达不到理想均匀特性，会存在细小缺陷，再加上加工误差的存在，导致按第二强度理论设计的身管强度余量降低，虽然其质量最小，但身管的安全余量也下降，因此可以用来指导身管设计的是双剪强度理论和第四强度理论，两种强度理论都考虑了中间主应力的影响，结构强度安全余量均有所提高，但据前文计算结果及分析(图5)，第四强度理论与双剪强度理论相比，其身管质量增加更多，结构转动惯量增大，强度余量过大，结构更保守，经济性下降，因此双剪强度理论更适合用于指导身管结构设计。

3.2 有限元振动分析

理想情况下，希望得到一个身管结构完整的模态集，但实际应用中既不可能也没必要。并非所有的模态对响应的贡献都是相同的。低阶模态对振动系统的影响较大，阶数越低，影响越大，阶数越高，误差越大。对实际结构而言，提取前几阶或十几阶模态足够，更高的模态常常被舍弃。这种处理方法称为模态截断[16]。因此舍弃身管的高阶模态，提取身管前8阶模态的固有频率，结果如表4所示，各阶振动的参与系数如表5所示，参与系数对应的身管坐标系配置如图8所示，身管前8阶模态振型如图12所示。

表4 身管前8阶模态频率和振动周期

由表5展示的模态振型参与系数以及图12所示的模态振型图可知，前8阶模态振动位移最大处均在炮口，以炮口横向振动以及高低和方位方向的扭转振动为主，这种振动将严重影响弹丸射出炮口的初射角，影响火炮的射击精度。

为此在炮口典型位置沿高低方向施加500 N的扫频集中力，频率变化范围0～850 Hz，在该力的作用下，炮口振动的频率响应结果如图13所示。可以看出，各阶模态固有频率的模态参与因子由低频至高频依次减小，前3阶归一化的幅值比值近似为32∶2∶1，第3阶以上振型幅值可忽略不计。

振动力学理论指明，当外界激励频率等于固有频率时，系统会发生共振。但由于共振带的存在，当外界激励频率接近固有频率时，系统同样会发生共振。一般计算时，共振带取为固有频率的40%[17]。假设自动机射频为4 000～4 500 发/min，发射频率为67～75 Hz，为了设计火炮安全起见，取40%的最大共振带，得到相应的共振带频率范围为40.2～105 Hz。

表5 前8阶模态振型参与系数

身管的第1阶和第2阶模态固有频率在33 Hz附近，比引起身管共振的最小频率40.2 Hz低7.2 Hz，身管产生低阶共振的可能性很小；身管的第3阶和第4阶模态固有频率在120 Hz附近，比引起身管共振的最高频率105 Hz高15 Hz，此时身管也不会产生3阶和4阶共振；由于第4阶以上的固有频率已经远高于身管的最高共振频率，因此更高阶的共振也不会发生，身管不会产生共振现象，炮口振动位移小，其射击稳定性良好，说明身管的结构设计较为合理。