2022年全国甲卷导数题的多解、变式与溯源

张 君 李武学

(四川省温江中学 611130)

1 试题呈现

(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；

(2)若f(x)有两个零点x1,x2，求证：x1x2<1.

2 试题分析

这道题综合考查利用导数研究函数的最值，再利用单调性与极值求给定条件下参数的取值范围，在此基础上研究两个零点之间的关系，是典型的极值点偏移问题.试题起点较低，绝大多数学生都可以拿分，但落点很高，第二问难度大，需要考生熟练掌握函数的有关性质，以及研究有关性质的基本方法和工具，并达到灵活运用的程度.对数学思想方法的考查也占很大成份，特别是对分类计论思想和转化思想的要求很高，只会死记硬背、按套路做题不会变通的考生是做不下去的.

极值点偏移问题的解题大方向主要有两个：构造对称函数和减少变量转化为一元函数问题.

3 解法探究

故a的取值范围为(-∞,e+1].

(2)由(1)知f(x)有两个零点的条件是a>e+1，且在(0,1)和(1,+∞)内各有一个零点,不妨设0

所以h(x)在(1,+∞)内单调递减.

则h(x)

所以g′(x)<0.

则g(x)在(1,+∞)内单调递减.

所以x1x2<1.

下面证明：当x>1时，ex>ex.

设s(x)=ex-ex,x>1,则s′(x)=ex-e>0.

所以s(x)在(1,+∞)内单调递增.

故s(x)>s(1)=0，ex>ex得证.

所以g′(x)<0.

则g(x)在(1,+∞)内单调递减.

以下同解法1.

方法3(利用同构化简,再构造函数)

设k(x)=x-lnx，则k(x1)=k(x2).

所以m(x)在(1,+∞)内单调递减.

故m(x)

所以x1x2<1.

方法4(减元法)由方法3,得

x1-lnx1=x2-lnx2.

所以g(t)在(1,+∞)内单调递减.

则g(t)

所以x1x2<1.

方法5(利用同构化简,再利用对数平均不等式转化为一元函数问题)f(x)有两个零点x1,x2，则e+1-a<0，得a>e+1.不妨设0

即ex1-lnx1+x1-lnx1=ex2-lnx2+x2-lnx2.

由于函数y=et+t在[1,+∞)上单调递增，

所以x1-lnx1=x2-lnx2.

即x2-x1=lnx2-lnx1.

下面证明：(对数平均不等式)

所以f(t)在(1,+∞)上单调递减.

故f(t)

所以x1x2<1.

4 变式

问题等价于证明：

所以h(t)在(1,+∞)上单调递增.

所以h(t)>h(1)=0，问题得证.

5 考题溯源

溯源1(2021年新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x(1-lnx).

(1)讨论f(x)的单调性；

分析(1)f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,+∞).

由blna-alnb=a-b，得

则问题等价于证明：2

通过构造函数g(x)=f(2-x)-f(x)(0

本题属于典型的极值点偏移问题，构造函数即可证明.

(1)讨论f(x)的单调性；

不妨设x1x1-x2.