一道解析几何模考试题探究与推广

唐 洵

(福建省福清第三中学 350000)

1 试题呈现

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点P(4,0)作斜率不为0的直线l与双曲线C交于M,N两点，直线x=4分别交直线AM,AN于点E,F.试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由.

2 解法探究

2.1 第(1)问解析

解析依题意，a=2.

2.2 第(2)问解析

(3-4k2)x2+32k2x-64k2-12=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2)，则

故以EF为直径的圆的方程为

由对称性可知，以EF为直径的圆过定点，则该点一定在x轴上.

将(*)式代入上式，得

解得x=1或x=7.

所以以EF为直径的圆经过点(1，0)和(7，0).

(2)当直线l的斜率不存在时，点E(4,3),F(4,-3)，以EF为直径的圆的方程为(x-4)(x-4)+(y-3)(y+3)=0，该圆经过(7,0)和(1,0).

综上所述，以EF为直径的圆经过定点(1,0)和(7,0)

解法2设直线l的方程为x=ty+4，

(3t2-4)y2+24ty+36=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2)，则

由直线AM的方程为

由对称性可知，若以EF为直径的圆过定点，则该定点一定在x轴上，设该定点坐标为T(t,0)，则

=(4-t)2-9=0.

解得t=1或t=7，

所以以EF为直径的圆经过定点(1,0)和(7,0).

3 结论延伸

细品解题过程，笔者感觉第(2)问的解答耐人寻味，似乎隐藏一个定点的结论，于是笔者思考，对于一般形式的双曲线，上述问题该如何表示？本例中的定点P、以EF为直径的圆所过的定点、以及a,b之间是否存在着内在联系？如果背景的圆锥曲线换成椭圆、抛物线，是否又有类似的结论呢？基于上述思考，笔者得到如下结论：

证明设直线l1:x=my+λ，

整理,得

(b2m2-a2)y2+2mλb2y+b2(λ2-a2)=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2)，则

由对称性可知，若以EF为直径的圆过定点，则该定点一定在x轴上，设该定点坐标为T(t,0)，则

=(λ-t)2+

=(λ-t)2+

=(λ-t)2+

=(λ-t)2+

证明椭圆结论的证明过程与双曲线类似，这里不再给出.

整理,得y2-2pmy-2pλ=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2)，则

y1+y2=2pm，y1y2=-2pλ.

由对称性可知，若以EF为直径的圆过定点，则该定点一定在x轴上，设该定点坐标为T(t,0)，则

=(λ-t)2-2pλ=0.

整理,得y2-2pmy-2pλ=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2)，则

y1+y2=2pm，y1y2=-2pλ.

由对称性可知，若以EG为直径的圆过定点，则该定点一定在x轴上，设该定点坐标为T(t,0)，则

圆锥曲线中的定点定值问题，可谓一花一世界，一树一菩提，在解题后，若能够静心思考，潜心研究，必能有所收获.