从“充分与必要”视角辨析一题解法的是与非

兰诗全

(福建省古田县第一中学 352200)

“问题是数学的心脏”，找到答案只是数学解题的前一半，更重要的是解题后的反思.“不思故无惑，不惑故无问，不问故无得.”为什么是正确的，为什么是错误的，错在哪里呢？对这些“为什么”的追问一定可以大大提升学生的分析问题、解决问题的能力.反思才能悟出其中的方法、思想；反思才能悟出问题的真本质、真规律、真道理.

以下从充分与必要视角对一道题目的多种解法进行正误辨析，以示解题中要对充分与必要条件加以高度重视，理清思路，认识到位，理解深刻，要发现规律、揭示本质，才能真正掌握知识，提高解题能力，提升数学素养.

题目在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,若b2=ac，求cosB的取值范围.

解法2 由b2=ac，得b不是最长边也不是最小边，不妨设a≤b≤c，则A≤B≤C.

又由△ABC为锐角三角形，A+B+C=π，得2B+C≥π.

所以2B≥π-C.

辨析很多人认为以上解法是正确的，但事实上是错误的.这又是为什么？细想b2=ac这个条件用到位了吗？没有用到位，没有用充分！由b2=ac可知b不是最长边也不是最小边，不妨设a≤b≤c，则A≤B≤C.但A≤B≤C推不出b2=ac啊，b2=ac内在的本质关系未充分利用，原来也是条件不等价变形造成的错误！利用已知条件的必要条件A≤B≤C来解答就得出问题的解，这与解法1类似，往往会扩大所求的取值范围.

解法3 由b2=ac，得b不是最长边也不是最小边，不妨设a≤b≤c，则A≤B≤C.

由△ABC为锐角三角形且b2=ac

⟺C为锐角且b2=ac

⟺0

解法4 由b2=ac，得b不是最长边也不是最小边，不妨设a≤b≤c，则A≤B≤C.

由△ABC为锐角三角形且b2=ac且a≤b≤c

⟺C为锐角且b2=ac且a≤b≤c

辨析以上解法4正确吗？“水本无华，相荡乃成涟漪；石本无火，相击而发灵光.”经过广泛讨论，积极思考后又有人认为不对，理由是因为首先要构成三角形，从而应在解法4的条件基础上还应满足条件a+b>c，故有以下解法5.

解法5 在解法4的基础上还应满足a+b>c，

再由解法4得

这样往后可解得与解法4一样的最后答案.

辨析解法4与解法5的最后答案是一样的，这是偶然？这是必然？要想找出内在本质规律，要想打破砂锅问到底，此问题还应从以下命题说起.

证明因为0

因为a>0,b>0,c>0,

所以a+b>c.

所以不难有结论:若三边满足余弦定理,则这三边一定能构成一个三角形.

本题中，因为C为锐角，

所以a2+b2-c2>0.

所以(a+b)2>c2+2ab>c2.

所以a+b>c.

故解法5中考虑a+b>c是多余的，从而解法4的解答为最佳.

经常这样进行数学问题辨析，错中求正，败中求胜，数学问题将越辨越清，认识将越来越深刻.数学学习若不能揭示问题的本质，则对知识方法的认识依然“云里雾里”，不能从错误的阴影中真正走出来，不能从正确中掌握规律，这是数学学习的大忌.以上辨析说明，对充要条件是否准确应用直接关系到解题的成败，许多时候解题都是因为充要关系没用对而致错，对充要条件的应用要特别注意，已知条件的相互转化要注意充要性，一定要利用已知条件或与已知等价的条件来解题，这是本质，也是关键.