践行“三会”理念 学会思维方法——小学生数学元认知能力养成策略的探究

李晓飞

(睢宁县古邳镇中心小学， 江苏 徐州 221241)

“三会”即“会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界”[1]。史宁中教授认为“三会”的本质是核心素养，以数学抽象、逻辑推理、数学模型为本质特征[2]。作为新课标的指导思想，“三会”体现数学塑造和提升学生抽象、推理、模型等核心素养的学科价值，从教的层面指出以培养学生的数学关键能力为教学目标，从学的角度提出让学生自主习得数学核心素养的关键能力。通过教与学，学生学会思维方法，能够自觉、自主地选择与支配数学思想方法应用于实际，优化问题解决的方法，形成良好的数学意识，积淀理性精神，实现学科育人功能。

数学元认知是对数学认知活动的认知。数学认知以数学材料为认知对象进行识别、加工和理解，数学元认知是以这一认知过程为认知对象，以监控和调节认知进程为目标的认知活动[3]。就是在探寻数学知识本质内涵的过程中，学习主体将下意识中的心智活动调动到意识层面上来，内驱个体自我管控以保持专注力，自主发现和提出问题，能动选择观察比较、分析思考、抽象概括、质疑辨析、推理证明、合理表达、反思总结等思维方式，整合加工数学信息解决问题，促使对事物的认知程度向更高阶段发展的思维品质与能力。它全程动态监控正在发生的数学认知活动，是整个认知活动的“监察者”“调控者”和“引领者”[4]。小学生数学元认知能力养成策略的探究，是对“三会”理念“会”字的解读与实践，也是对如何让学生学会思维方法的理解与把握。

一、研究价值与认知偏差

(一)研究价值——提升思维品质

“三会”视域下数学元认知能力的培养，实质是数学思维品质的训练与提升。以学生的认知规律为前提，通过对数学认知、自我体验和自我监控的训练，养成数学元认知能力，让学生学会思维方法，提升数学思维品质。

1.加深知识理解，提升应用技能

对数学认知过程的再认知，是对新知的回顾、整理和反思。“反刍”的实质是对新知内涵的细化、加工和吸收，加深学生对知识本质属性的认知与理解，提升判断分析和实际应用相关知识的能力，潜移默化使之彼此勾连形成体系，让学生自主调整和完善原有的知识结构。这一过程，促使学生深刻感悟抽象、推理、模型思想在新知构建中既是数学思想，也是数学方法，是“学会思维方法”必要前提。

2.积淀活动体验，落实核心素养

对数学认知过程的再认知，是对数学体验的积淀和核心素养的落实。知识“反刍”促使学生在意识层面重新经历数学活动，将观察比较、分析综合、抽象概括、归纳总结等思维活动经验，再次“咀嚼”、接纳与“回味”，使初始的数学活动经验得以淬炼，加深学生对“抽象、推理、模型”等数学基本思想的体验与感悟，催生积极情感，加强个体意识对数学活动的控制与调节，提升数学认知的主动性和自觉性，是“学会思维方法”必经之路。

3.关注一般规律，养成思维习惯

对数学认知过程的再认知，是对个体在学习过程中使用的探究方法方式与自我监管水平的反观和内省。数学学习活动中，如何快捷打通节点驱使思维向更深处进阶，如何操作更符合数学规范等，通过自我反思，促使个体透过脑海中再现经历过的学习表象，努力寻求支撑这些表象更上位意识中的思维能力及品质，归纳富有个性且具有一般性的思维方式或规律，改变自身行为，形成良好的自我管控能力和数学学习习惯，是“学会思维方法”必要条件。

(二)认知偏差——教学现象及成因分析

元认知是由20世纪70年代美国心理学家J.H.弗拉维尔提出的概念，他认为元认知是学生“学会思维”的理论基础。国内1989年董奇老师在《心理发展与教育》上首次引入元认知概念，指出：元认知实质是人对认知活动的自我意识和自我调节。

对认知过程的再认知，具体体现为学生清楚自己正在做什么，为什么而做，这么做是否合适，还可以怎样选择等，作为上位意识监控正在进行的认知活动，不断指引、调整接下来的认知活动。有些教师将学生的数学学习直接视为对数学材料的识别、加工和理解，分析和培养小学生数学学习能力，侧重从具体的数学感知、记忆、理解、概括、应用入手，对学生的学习多以教师监控管理为主要方式。导致某些教师要求严厉，任教班级的试题量化成绩整体有提高，但学生的数学思维水平滞后甚至每况愈下，根本原因是师生都习惯于依赖教师的指导开展学习，学生因没有掌握思维方法致使后劲不足，即数学元认知能力的培养未得到足够重视。

让学生学会思维方法，对自己的数学探究行为作出理性的判断、选择和调整，“会”用抽象、推理、模型等基本数学思想，来观察、思考和表达现实世界，全面发展数学核心素养，小学生数学元认知能力养成策略的探究势在必行。

二、小学生数学元认知能力养成策略的实践内核

践行“三会”理念，推动数学元认知能力拔节生长。小学生年龄越小越趋于模仿学习，习惯依赖教师的指导和帮助，自我监控能力薄弱。要学会思维方法，教师须有意识地引领和指导学生，对自己的数学认知过程进行再认知。

(一)多元并举为实践探究的前提

尊重认知差异，允许多元方式并存，是培养数学元认知能力的前提。数学元认知从属意识层面，具有鲜明的个性特征。“因材施教”“以生为本”“学为中心”，都强调立足学情，让不同认知水平的学生，以富有个性特色的数学观察、思考与表达，关照现实世界的“数量关系、空间形式和变化规律”[5]，实现认知规律的一般化。如计算“小数加减法”，可运用人民币进率转化成元角分计算；可通过计数器拨珠计数原理计算；可借助计数单位进行计算……方法在抽象水平上有差异，但论证和表达都指向小数加减法运算定律：小数点对齐就是相同数位对齐，使相同计数单位的数相加减。多元并举实现算法与算理相融，让学生在各自水平上完整经历抽象、推理和模型全过程，为养成数学元认知能力奠定坚实的认知经验基础。

(二)方案恰适为实践探究做保障

优质的学习路径是养成小学生数学元认知能力的保障。所谓优质路径，就是在恰适的方案指导下开展恰适的数学探究活动。“恰适”之意：一是教学设计得当。教学目标和重难点定位准确，版块设计依循学生认知规律，符合知识结构的逻辑顺序；创设问题背景，依据教学目标、重难点，针对各版块的知识核心设计问题，驱动学生自主发现和提出问题，并能尝试应用抽象、推理、模型思想自主分析和解决问题。二是活动开展高效。教师角色转换自如，机智处理预设与生成，教学用时与重难点的突破相契合；数学交流遵循认知规律，及时将浅层对话引向深度交流，指导学生反思获得的知识、能力与情感体验，客观评价自我探究过程。恰适方案为数学元认知能力的攀升搭好支架，是小学生数学元认知能力养成的有力保障。

(三)思维方法指导是实践探究目标

数学元认知的结构包括数学元认知知识(主体的知识储备)、数学元认知体验(认知体验或情感体验)和数学元认知监控(自我监管和调节)三方面[6]。培养数学元认知能力，要让学生习得具体可行的数学学习方法和思维路径，将无形的数学思想和思维形式以有形的操作方式加以实现和表征，使数学元认知养成策略具体化。

1.落脚数学核心素养，强化元认知知识路径

(1)“数学的眼光”方法指导

数学的眼光是指数学抽象，小学则是符号意识、数感、量感、空间意识、几何直观。数学抽象的基本特征是数学的一般性，其养成策略也具有可操作推广的特性。以《角的初步认识》为例。学生建立角的概念须经历观察临摹—想象比画—形成表象—感知特征—生成概念的过程。用静态实物激活“拐角”这一生活经验，初步感知“数学角”的样子，动态呈现钟面指针形成的夹角，体会角的形态多样、位置可变。学生在观察、比画、想象、操作、体会中，将“尖尖的”“平平的”直观感受和角的顶点与边的特征对接，促使“感性”直观进阶几何直观。再操作活动角感受“量性”和“质性”特征——角的大小与两条边开合程度有关，渗透其二维特点，完整建构角的概念。这一抽象过程的具体操作包括：从细部到整体的有序观察，多元、多样的比画操作，有明确对象的展开想象，有目的有具体方法的实践，主次分明谈体会等。指导学生掌握注意事项，切实提升数学抽象这一核心素养。

(2)“数学的思维”方法指导

数学的思维主要是逻辑推理，小学则是推理意识和运算能力。从学科关键能力的含义来看，“运算能力”涵盖抽象、推理、建模等基本数学思想。曹才翰教授在《中国中学教学百科全书·数学卷》中指出：运算能力不是一种单一的数学能力，而是运算能力和逻辑思维等综合能力。学生用竖式计算0.8×3和2.75×3，可根据人民币进率转化成整数乘法运算，再换算成用元做单位的小数结果；可根据积的变化规律将小数乘法转化成整数乘法，再运用小数点位移还原；可用8个0.1或275个0.01分别乘3算出积，再用“一”做计数单位表示计算结果。借助生活经验逐步走向直观化数学方法，切准数学本质内涵，一一求证计算的过程，逻辑推理意识潜滋暗长。可见小学段推理求证最基本的方法是：培养学生联系生活经验和相关知识展开想象、寻求依据与求证之间的关联的思维习惯，能选择合适的数学语言表征求证过程，以保障前因后果符合逻辑。另外提醒学生，自己的求证依据可举例验证。

(3)“数学的表达”方法指导

数学的表达指的是建立数学模型，小学则是建立模型意识和数据意识。数学最终必须要舍去背景，得到一般的东西。从实例出发，不断舍去背景，最终留下的就是模型。学习“5以内加法”，具体情境指向要将3和2合并，在此基础上介绍加法运算，沟通现实情境与加法运算之间的联系，初步形成加法运算直观模型；再在应用中体会“合并”就需加法计算，形成稳定的加法运算模型。数据意识是指感悟数据的意义，知道运用数据可以解释和分析实际问题。如学生发现将单式统计表合并更便于数据分析，能给予各小组演出服和乐器的颜色、款式、数量合理化建议，凸显数据意识在复式统计表建模中的重要作用。培养学生的模型意识和数据意识，需要强化数学表达的方法：一是数学语言的选择，可用肢体动作配合图表说明或语言描述，逐渐丰富数学符号的积累；二是养成数学交流表达的良好习惯，能自主观察比较数学信息，寻求内在关联和规律，有条理、有次序、有逻辑的简洁表达。

抽象、推理、模型在认知过程中不是割裂的，以上事例只是试图从最能凸显其特点的地方加以分析说明寻求对应的方法指导。新知教学一般都要经历从具体情境抽象成数学问题再建立数学模型。

2.结构化中再感悟，促生元认知体验

数学元认知体验是对数学认知过程的再认知，包括认知体验和情感体验。回顾探究过程，让知识形成结构，深化数学认知体验，融入积极情感体验，促使理性思维良性发展。形成“复式统计表”模型后，让学生完整有序地回顾建模过程，复盘多个单式表合并成复式表的原貌，感受单复式统计表结构不同，且复式表的数据集中更便于比较的特征，强化单复式统计表的各自价值。鼓励学生用简洁方式呈现对数学认知过程的再认知，促使数学知识结构化(如图1)。指导学生根据结构图，回顾动手操作、观察比较、分析思考、归纳总结、抽象概括在问题情境中的具体应用，“反刍”抽象、推理、模型数学思想在思维进阶中的作用。学生自我感知个体的思维拔节过程，提高主动应用数学逻辑思维的意识和能力，逐步形成数学元认知体验的养成策略。

图1 “复式统计表”模型

3.内省反思促成长，提高元认知监控

数学元认知监控体现学生高度的自我约束力，包括自我监管和自我调节。就是学生清楚在学习过程中自己正在经历什么，以及在这一过程中如何选择合适的方法开展学习活动，不断地自我提示将注意力集中在活动目标上。养成学生内省反思的习惯，是培养数学元认知监控的主要策略。实践活动“大树有多高”，元认知监控时刻提醒学生：不能偏离活动主题与方向，要分别测量不等长竹竿的长度及其影长，通过计算发现两者之间的正比例关系，再根据大树影长求出实际高度；在实践中不断尝试、改进、寻求更精确的测量方法，主动对比各组测量数据寻求规律以解决问题；自主内省探究活动中的成败原因总结经验等。因此，要培养学生的专注力，让他们能长时间地观察比较和分析思考，寻求解决问题的途径；要培养自主选择方法勇于尝试的习惯，明白所有的捷径都是经历多次试错的成果；要养成良好的与人交流和自我对话的习惯，正确认识自身不足，采长补短自我完善。

(四)“学会思维方法”为实践探究成效

践行“三会”理念，培养学生数学元认知能力，体现在学会思维方法并能自主应用上。掌握数学探究活动的操作流程和思维程序，会表征和交流数学思维成果，能有效地自我反思，是小学生数学核心素养水平的直观展现，也是数学元认知能力的具体外化。

1.掌握探究活动的一般步骤

学会、实践和应用数学探究活动的一般操作步骤，是“学会思维方法”外显的具体样态，也是践行“三会”理念的基本技能。以《认识面积单位》为例。学生认识1 cm2的大小，既要培养“量感”，也要指导学习方法。让学生回顾1 cm2的认识过程，重温剪一剪、摸一摸、想一想、比一比、找一找的探究步骤，再次经历从直观感受到空间想象构建1个面积单位表象的过程，在生活应用中逐步符号化，完成面积单位几何直观的全过程。知识内涵和学习方法得到双重精准建构，后继其他面积计量单位，将会呈现自然生长的状态。学生会用同样方法自主建构1 dm2和1 m2的大小，“学会思维方法并能主动应用”真正发生，学生的数学元认知能力已然拔节生长。

2.思维发展呈现依序进阶样态

会思考是“学会思维方法”最有力的证明，是践行“三会”理念的最高标准，也是数学元认知能力的内核。以策略教学《一一列举》为例。通过理解、分析题意，知道求“周长22 m且长和宽为整米数的最大面积”，需要呈现和比较所有可能，初步认识列举；对比不同的列举方式，发现有序列举更方便查漏去重解决问题，体验策略价值；应用中归纳操作步骤——定标准、找起点、依序呈现、查漏去重，发现适用列举策略解决的问题特征。从“是什么、为什么、怎么用”的角度关照学习全过程，学生的探究目标、思考方向和研究范围更确切明晰，每个问题解决都经历观察表象—比较寻联—关联推想—分析甄别—归纳整理的思考过程，每个答案都有准确依据。唯有思维路径清晰、方法明确、依据充分，并在实践中不断尝试、调整和完善，才能真正把握思维方法的要领，让思维进阶更顺畅。

3.会表征和交流数学思维成果

数学表征是数学交流的工具。数学交流，是对数学知识、方法和思想交互共享的双边或多边的连续性行为，以图像、文字、符号或图形等多种表征为载体[7]。学习“假设策略”，呈现问题情境，学生收集“大杯和小杯果汁共720 mL、小杯容量是大杯的三分之一、求大杯和小杯的容量”等信息；根据大、小杯容量间的倍比关系尝试替换假设，出现画图、列方程不同表征方式；分析数量关系确定思路列出算式。交流共享时，学生于倾听中对获得信息再思考分析做出回应，推动交流活动进阶。这一过程，学生主动协作听、说、读、写、看多种方式收集有效信息，通过观察、比较、猜测、联想、实验等，将数学直觉加工为基础逻辑思维转译出新的数学信息，再用恰适的数学语言表征，力求言简意赅有条理，先后有序符合逻辑，充分彰显“学会思维方法”在数学交流活动中的价值。

4.有清晰的自我反思路径

会自我反思是元认知的典型特征，也是“学会思维方法”践行“三会”理念的主要路径。自我反思包括知识梳理、探究方法和情感体验。以《认识一个整体的几分之一》为例。学生沿着认知先后顺序展开自我反思。知识层面，从认识“一个整体”到认识“一个整体的二分之一及几分之一”，重新刻画“把一些物体看作一个整体平均分”“平均分成几份分母就是几，其中的一份无论是多少都是这个整体的几分之一”，加深分数概念的理解。方法层面，从动手操作找一盘桃的二分之一，通过观察比较、分析思考，在“变与不变”中归纳概括“一个整体”和“一个整体的二分之一”，到再次应用动手操作、观察对比、分析思考、归纳总结，抽象概括“一个整体的几分之一”，凸显探究方法是“学会思维方法”的重要途径。情感体验层面，回顾学习过程中的情绪变化，探寻背后的原因，侧重面临困难时如何重塑自信，偏离主题时如何保持专注力，根据学习实效如何客观评价自我等，培养自我监管习惯，提升学习品质。

三、小学生数学元认知能力养成策略的整体建设

培养小学生数学元认知能力，践行“三会”理念，发展学生的数学核心素养，不仅从学科素养和教学方法层面思考，还应具备顶层设计意识，做好整体外围建设工作。

(一)培养学科积极情感

学生喜欢数学，才会喜欢学习数学，数学元认知才会有更大的发展空间。亲其师信其道，教师热爱教学喜欢孩子，言行举止自然流露童心童趣，孩子回馈的必然是更浓烈的情感；教学设计以孩子喜闻乐见的故事、游戏等形式开展，才能符合儿童认知规律获得成效；尊重学生差异、允许多元理解，教学评价以欣赏、鼓励为主，就会在教学中逐渐生发和积累学科的积极情感。

(二)将“学会思维方法”作为长期目标

将“学会思维方法”植入教学理念，数学元认知能力养成策略的探究才会发生。2022版小学数学课程标准，详细解读“三会”理念，界定数学核心素养各要素。教师要领会“三会”内涵和课程目标，学习元认知理论，打破以往从高段才培养学生数学元认知能力的传统，从低年级开始渗透，对学生的学习兴趣、学习常规、学科情感和反思习惯进行针对性培养训练，并作为整个小学段教育教学长期目标，为学生终身发展打造良好的思维品质。

(三)夯实“种子课”提升“综合与实践”的效益

“种子课”与“综合与实践”是养成数学元认知能力的典型课例。所谓种子课，通常是在知识起点或节点处，为后继“生长课”提供迁移的力量[8]。种子课要深耕细作，给予精细的学法指导。学生在“种子课”上获得学习方法，“生长课”就会自主拔节。小学段的“综合与实践”都是主题活动。学生面对现实背景，从数学的角度发现并提出问题，综合运用数学和其他学科的知识与方法，分析并解决问题，形成和发展核心素养[9]。综合与实践为学生创设阔大的生长空间，是养成学生数学元认知能力、践行“三会”理念最有效的方式。

(四)精心设计课后作业

作业设计为养成学生的数学元认知能力开辟更广阔的空间。课后作业不拘泥于知识点内涵的考察，而是让学生在实际生活中，通过实践操作进一步验证个人对知识的理解，加深对知识本质的认知；能够灵活地运用知识解决实际问题，培养自我的应用意识和创新意识。因此，课后作业设计应以有意义的操作性活动或开放型题目为导向，为发展学生的核心素养服务。▲