拓展楞次定律的应用规则——增平减垂

广东 彭 戈

对楞次定律的理解与应用既是重点也是难点，更是学生学科素养的综合体现。凭借多年教学经验的积累，物理教师总结了一些应用规则帮助学生解决问题，如利用“增反减同”判断感应电流的方向，利用“来拒去留”、“增缩减扩”判断线圈的相对运动趋势等。然而，学生对规则的滥用、误用也是普遍存在的问题，一方面是由于学生对规则本质的理解不深刻：另一方面，是因为规则本身不够完善。因此，笔者尝试在一些易错的情境中寻找第三种相对运动的趋势，并总结出应用规则，以期展现更全面、更立体的电磁感应的动力学与功能原理。

一、原有规则只是部分适用

【例1】如图1所示，粗糙水平桌面上有一质量为m的铜质矩形线圈。当一竖直放置的条形磁铁从线圈中线AB正上方水平快速经过时，若线圈始终不动，重力加速度为g，则关于线圈受到的支持力FN及在水平方向运动趋势的正确判断是

图1

( )

A.FN先小于mg后大于mg，运动趋势向左

B.FN先大于mg后小于mg，运动趋势向左

C.FN先小于mg后大于mg，运动趋势向右

D.FN先大于mg后小于mg，运动趋势向右

【解析】当条形磁铁向右水平运动靠近线圈时，线圈中的磁通量增大，为了阻碍磁通量变大，根据楞次定律的应用规则——“来拒去留”，线圈在安培力作用下，有向下与向右远离的运动趋势，此时线圈受到的支持力FN大于mg；同理，当条形磁铁向右水平运动远离线圈时，线圈中的磁通量减小，为了阻碍磁通量变小，线圈在安培力作用下，有向上与向右靠近的运动趋势，此时线圈受到的支持力FN小于mg。所以，运用“来拒去留”的规则可以快速解题，正确选项为D。

【答案】D

然而，我们从安培力的角度详细分析一下，结果并非完全如此。自上而下看，由楞次定律可知，当条形磁铁进入线圈时，线圈产生逆时针方向的感应电流；当条形磁铁离开线圈时，线圈产生顺时针方向的感应电流。当条形磁铁进入线圈前，线圈左边受到右上方向的安培力F1，如图2甲所示；条形磁铁进入线圈后，线圈左边受到右下方向的安培力F2，如图2乙所示。当条形磁铁离开线圈前，线圈右边受到右上方向的安培力F3，如图2丙所示；当条形磁铁离开线圈后，线圈右边受到右下方向的安培力F4，如图2丁所示。显然，只有当条形磁铁在线圈正上方区域时(进入后与离开前)才符合“来拒去留”规则，而条形磁铁进入线圈前与离开线圈后并不符合。

二、第三种相对运动趋势——旋转

为何上述情境在条形磁体进入线圈前与离开线圈后不符合“来拒去留”，难道在这两个过程中线圈不“想”阻碍原磁场的变化，反而“想”进一步促进磁场的变化？答案必然是否定的，因为楞次定律的实质是能量守恒定律。

问题的关键是在楞次定律的相关教学中，我们忽略了一个因素。楞次定律的本质是阻碍原磁场的变化，也就是有减缓线圈中磁通量变化的趋势。磁通量Φ=BSsinθ，其中θ为磁感应强度B与线圈平面S的夹角。“来拒去留”是指磁体与线圈通过靠近和远离，即通过趋向或躲避磁感应强度B更大的区域，来阻碍磁通量Φ的变化，这是通过改变磁感应强度B大小的方式来实现阻碍。“增缩减扩”是通过改变线圈面积大小S的方式来实现阻碍。同理，应该存在第三种运动趋势的方式来阻碍磁通量的变化，那就是磁感应强度B与线圈平面S夹角θ的变化。当B与S垂直时，夹角θ=90°，此时磁通量Φ最大；当B与S平行时，夹角θ=0°，此时磁通量Φ为零。

是否真的存在第三种运动趋势？如果存在，又是如何实现阻碍磁通量的变化？在例1情境中，对线圈另外一边进行受力分析，如图3所示。

甲

结合两边的受力情况进行对比分析，如表1所示。从纸面方向上看，由表1可知，条形磁铁进入线圈前与离开线圈后，线圈在两边安培力作用下不仅有向右运动的趋势，还有顺时针旋转的趋势。条形磁铁进入线圈前，B与S的夹角θ增大，线圈顺时针旋转可阻碍夹角增大；条形磁铁离开线圈后，B与S的夹角θ减小，线圈顺时针旋转可阻碍夹角减小。显然，存在着第三种运动趋势，即通过旋转的方式改变夹角θ，从而实现阻碍磁通量的变化。

表1

旋转方向只有顺时针与逆时针两种，旋转的目的是阻碍磁感应强度B与线圈平面S夹角θ的变化。当夹角θ增大时，为了阻碍其增大，线圈向与磁感应强度B平行的方向旋转；当θ减小时，为了阻碍其减小，线圈向与磁感应强度B垂直的方向旋转。为了方便记忆，确定规则为“增平减垂”。为了加深对这种新规则的理解，将其与原有的两种相对运动趋势规则进行对比，见表2。

表2

三、“增平减垂”的应用

1.解题实例

【例2】如图4所示，一水平放置的矩形闭合线圈abcd，在细长磁铁的N极附近竖直下落，保持bc边在纸外，ad边在纸内，从图4中的位置Ⅰ经过位置Ⅱ到达位置Ⅲ，位置Ⅰ和Ⅲ都很靠近Ⅱ。在这个过程中，线圈中感应电流

图4

( )

A.沿abcd流动

B.沿dcba流动

C.由Ⅰ到Ⅱ是沿abcd流动，由Ⅱ到Ⅲ是沿dcba流动

D.由Ⅰ到Ⅱ是沿dcba流动，由Ⅱ到Ⅲ是沿abcd流动

【解析】当线圈由位置Ⅰ到位置Ⅱ过程中，磁感应强度B与线圈平面S的夹角θ逐渐减小至零，由“增平减垂”可知，线圈有顺时针旋转(使线圈与磁感应强度垂直)的运动趋势。本题只要求确定感应电流的方向，因此可由线圈的运动趋势确定其受力情况，然后利用通电线圈等效为条形磁铁的方法进一步确定感应电流的方向。为了使线圈顺时针旋转，线圈上方应等效为条形磁铁N极，受排斥力作用；线圈下方应等效为条形磁铁S极，受吸引力作用。根据安培定则，此时感应电流的方向为abcd。在线圈由位置Ⅱ下落到位置Ⅲ的过程中，磁感应强度B与线圈平面S的夹角θ由零逐渐增大，由“增平减垂”可知，线圈有顺时针旋转(使线圈与磁感应强度平行)的运动趋势。同理，为了使线圈顺时针旋转，线圈上方应等效为条形磁铁N极，受排斥力作用；线圈下方应等效为条形磁铁S极，受吸引力作用。根据安培定则，此时感应电流的方向也为abcd。故正确答案是A。

【答案】A

这是一道考查楞次定律的经典试题，为了验证其正确性，我们对这两个过程的安培力进行分析，如图5所示。可见，两个过程中的线圈都有顺时针旋转的趋势，并非像有的老师认为的那样，“最优选择是线圈向左靠近N极”，也避免学生分析类似情境时误用“来拒去留”。

图5

【例3】如图6所示，在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中，有一质量为m、阻值为R的闭合矩形金属线框abcd用绝缘轻质细杆悬挂在O点，并可绕O点摆动。金属线框从右侧某一位置静止开始释放，在摆动到左侧最高点的过程中，细杆和金属线框平面始终处于同一平面，且垂直纸面。则线框中感应电流的方向是

图6

( )

A.a→b→c→d→a

B.d→c→b→a→d

C.先是d→c→b→a→d，后是a→b→c→d→a

D.先是a→b→c→d→a，后是d→c→b→a→d

【解析】当线框由右侧释放摆至最低点时，线框平面与磁感应强度的夹角θ逐渐减小至零，由“增平减垂”可知，线框有逆时针旋转(使线圈与磁感应强度垂直)的运动趋势。线框右侧区域应等效为条形磁铁N极；左侧区域应等效为条形磁铁S极。根据安培定则，此时感应电流方向为d→c→b→a→d。同理可判断出，当线框由最低点摆至左侧时，感应电流方向也为d→c→b→a→d。正确答案是B。

【答案】B

由以上两例可知，通过“增平减垂”可迅速准确判断线圈的运动趋势，由受力情况、等效磁极的方法及结合安培定则可进一步确定感应电流的方向。

2.题型改编

【例4】如图7所示，匀强磁场中一圆形铜线圈用绝缘细杆悬于P点，开始时处于水平位置。现释放圆形铜线圈，运动过程中线圈平面始终与纸面垂直，当线圈第一次先后通过位置Ⅰ和Ⅱ时，顺着磁场方向向右看去，线圈

图7

( )

A.过位置Ⅰ，感应电流顺时针方向，有扩张趋势

B.过位置Ⅰ，感应电流逆时针方向，有收缩趋势

C.过位置Ⅱ，感应电流顺时针方向，有收缩趋势

D.过位置Ⅱ，感应电流逆时针方向，有扩张趋势

【解析】当线圈由静止释放到第一次通过位置Ⅰ时，线圈中的磁通量变大，根据楞次定律，顺着磁场方向向右看，线圈产生逆时针方向的感应电流，为了阻碍磁通量变大，由“增缩减扩”可知，线圈有收缩的趋势。当线圈第一次通过位置Ⅱ时，线圈中的磁通量变小，根据楞次定律，顺着磁场方向向右看，线圈产生顺时针方向的感应电流，为了阻碍磁通量变小，由“增缩减扩”可知，线圈有扩张的趋势。正确答案是B。

【答案】B

然而，线圈经过位置Ⅰ与位置Ⅱ时，所受安培力的大小与方向比较复杂，绝大部分学生很难进行准确判断。由于学生对该情境仅有“增缩减扩”的认识，他们“愿意”相信线圈所受安培力只是指向圆心(位置Ⅰ)与背离圆心(位置Ⅱ)。一些学生在对这一过程进行功能关系分析时，则会产生矛盾与困惑。如果安培力指向圆心或背离圆心，那么全程安培力不做功。如果不做功，感应电流的电能从哪来？然而，根据功能原理，安培力必然做负功。

我们试从“增平减垂”的角度进行分析。经过位置 Ⅰ时，线圈平面与磁感应强度的夹角θ增大，为阻碍夹角θ增大，从纸面方向上看，线圈有顺时针旋转(使线圈与磁感应强度平行)的趋势；经过位置Ⅱ时，线圈平面与磁感应强度的夹角θ减小，为阻碍夹角θ减小，从纸面方向上看，线圈有顺时针旋转(使线圈与磁感应强度垂直)的趋势。为了理解这一过程，把这个圆形线圈简化为方形线框，如图8所示。

图8

从纸面方向上看，在F1与F2作用下，位置Ⅰ处的线框有顺时针旋转的趋势；在F3与F4作用下，位置Ⅱ处的线框也有顺时针旋转的趋势。由安培力F=BIL可知，F1=F2，F3=F4。但是F1和F4距离固定点P较远，摆动过程中，F1对线框做的负功大于F2做的正功，F4做的负功大于F3做的正功，则全过程中安培力对线框做负功，克服安培力做功的能量转化为产生感应电流的电能，符合功能原理。

事实上，因为旋转这种阻碍原磁场变化的相对运动趋势没被提及和应用，楞次定律应用的题型设计大部分聚焦在线圈正对磁场的情况，少部分则是片面的展示物理过程，所以建议以应用“增平减垂”为基础，设计更多存在旋转趋势的应用题型，丰富相关功能原理的问题设计，向学生展现更全面、更立体的电磁感应的动力学与功能原理过程。如例4，可增加对安培力做功情况的判断等。应用楞次定律的规则解题时还须注意一点，“来拒去留”“增缩减扩”“增平减垂”这三种相对运动趋势可以尽可能地同时进行。