模型观念与应用意识：开展初中数学“综合与实践”的关键——以七年级教学为例

范连众，刘雪莲，邢媛媛，高 婷

（大连市甘井子区教师进修学校，大连市汇文中学，大连市第十四中学）

人类社会从农业社会发展到工业社会，一直到当今的信息社会，人们对数学、对数学教育的认识、理解和要求都在不断地发生变化。在信息社会，数学已不仅仅是思维、还是语言、更是文化，已经渗透到社会生活的方方面面，特别是它与计算机、工程技术等现代技术学科的结合，正为现实世界带来巨大的变化。同时，信息技术的发展使数学学科从研究内容到研究手段，从研究思想到研究成果等方面都得到了新的发展机遇。《中国学生发展核心素养》要求发展学生的“关键能力”，这种“关键能力”可以比较集中地概括为用新技术获取和处理信息的能力、主动探究能力、分析和解决问题的能力、合作交流能力、终身学习的能力等。

我国在2000 年颁布的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）》中首次引入“探究性活动、实习作业”；2002年开始实施的《义务教育数学课程标准（实验稿）》将“综合与实践”和“数与代数”“图形与几何”“概率与统计”一起，构成中学数学课程的四大学习主题，成为我国义务阶段数学教育走向现代化数学教育的标志；2011年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》则强调数学课程要特别注重发展学生的应用意识，指出“在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体”；《义务教育数学课程标准（2022年版）》将“综合与实践”赋予了更艰巨的任务，强调以项目式学习的方式，表现出跨学科学习的特点，这都表现出“综合与实践”发展的时代特征。

一、明确课程标准和教材中“综合与实践”的内容，正确理解课程内涵

在进行“综合与实践”的教学之前，教师先要洞察课程标准中“综合与实践”的内容要求演变。表1从概念界定、常见形式、内容要求三个维度对三版课程标准中的“综合与实践”进行比较，从中可以看出其演变过程。

表1 三版课程标准中“综合与实践”内容与要求演变过程

在此基础上，教师要明确“综合与实践”的学习内容、课程目标、教学特征及现有教材中相关内容特点。

（一）明确“综合与实践”的学习内容

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中对初中学段的“综合与实践”提出了更明确的要求，就是在社会生活和科学技术的真实情境中，结合方程与不等式等具体的数学知识内容，经历现实情境数学化，探索数学关系、性质与规律的过程；就是要用数学的思维方法，运用数学与其他相关学科的知识，综合地、有逻辑地分析问题，经历分工合作、试验调查、建立模型、计算反思、解决问题的过程；就是要用数学的语言将现实问题转化为数学问题，经历用数学方法解决问题的过程。

由此可见，初中阶段的“综合与实践”学习内容不是具体的数学知识点，而是表现出以真实的问题为载体，以解决问题为重点，以经历过程为标志，以数学知识的应用为关键，以获得活动经验，发展创新意识和实践能力为目标的思想方法特征。

（二）明确“综合与实践”的课程目标

初中阶段“综合与实践”的课程目标，不是简单地解决传统意义的应用题，而是通过发现、提出、分析和解决问题的过程，使学生感悟数学知识之间、数学与其他学科知识之间、数学与科学技术和社会生活之间的联系，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，发展应用意识、创新意识和实践能力，进而逐步形成“会用数学的眼光观察现实世界”“会用数学的思维思考现实世界”“会用数学的语言表达现实世界”的核心素养。作为四个课程领域之一，“综合与实践”课程目标应既服务于数学课程的总目标，同时又承担着特有的使命。它包括帮助学生积累与条理化自身的数学活动经验，特别是综合运用数学知识、技能和方法分析问题、解决问题等方面的经验；发展学生发现问题和提出问题的能力；帮助学生获得分析问题、解决问题的基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识；发展学生与他人合作、交流的意识和能力；以及让学生在活动过程中体验获得成功的乐趣、锻炼克服困难的意志、建立自信，体会数学的应用价值。

（三）明确“综合与实践”的教学特征

基于“综合与实践”的内容特点和课程目标，其课堂教学表现出更鲜明的教学特征，即经历数学学习、探究的过程；在与他人合作交流、解决问题的过程中，严谨、准确地交流，表达自己的观点，形成批判性思维和创新意识。

1.注重问题特征

“综合与实践”的开展都是围绕问题解决来进行，应表现出更强的探究性。无论是真实的实际问题，还是纯数学问题，基本素材都应基于学生的现实，包括生活现实、数学现实、其他学科现实。问题应具有综合性、开放性，有助于表现出学生思维的开放性、层级性。特别是要注意挖掘数学与其他学科的联系，表现出跨学科解决问题的时代特点。

2.注重教学特征

“综合与实践”的一个显著教学特征是重过程而非结果，包括使学生经历独立思考与合作交流的过程，经历分析问题与解决问题的过程，经历发现问题与提出问题的过程。另一个显著教学特征是重个性化思考、方法，而非标准化程序、“最优化”解法。课堂上，教师更希望听到学生这样回答问题：我对问题的理解是……我的解决方法设计是……我还能想到……还有一个显著教学特征是重方法而非知识。开展“综合实践”并非新知识学习，而是注重引导学生在建立数学建模的过程中发现数学关系，在从事数学探究过程中领悟探究的策略和方法的学习。

3.注重活动特征

“综合与实践”的主体是学生，其具备活动特征。教学中，应充分体现出学生活动的自主性。一般而言，活动过程主要包含：确定研究课题—设计解决方案—实施研究活动—撰写研究报告—交流等。学生只有亲身经历发现与提出问题、分析与解决问题、反思与调整、概括与总结的全过程，才能积累数学活动经验，提升数学素养。

4.注重评价特征

由于“综合与实践”的教学具有目标多元、过程内涵丰富、结果非标准等特点，对于学生从事“综合与实践”学习的行为评价绝非是简单地打分所能完成的。通常，针对不同的活动形式（个人、团队），评价的指标重心不尽相同。总体上应呈现指标多元化、行为描述化、结果等级化等基本特征。目的是激励学生，使他们感受数学应用的广泛性。

（四）明确现有教材中相关内容特点

现有的各版本教材中，已经设置了一些“综合与实践”的内容。如人教版、北师大版教材中的“数学活动”“课题学习”等栏目，内容上注意贴近学生生活和认识水平，可以让学生体会数学思想，加深对数学的理解，开阔学生的视野，引领学生用数学的思考方式细致地观察周围生活。在教学中，教师同时需要将这些内容与学生自身实际生活相结合，充分挖掘学生身边的相关内容，采用合理教学的方式，以更好地实现教学目标。

人教版七年级数学教材在各个章节的最后都安排了“数学活动”，为开展“综合与实践”提供了内容素材，其在各章节的常规教学中，也都注意所提问题来源于现实世界。如在七年级上册第二章“整式的加减”之后安排了数学活动：分别从探索规律，实际应用和日历表中的数字规律，引导学生综合运用整式的相关知识解决数学问题和实际问题，进一步发展学生的数感和符号意识。在第三章“一元一次方程”的内容设计中，从基本概念的学习到方程的解法，实际问题背景贯穿始终，在此基础上，教材还特意设计了“实际问题与一元一次方程”一节课，除了涉及传统意义上的配套类、工程类应用题之外，还以当今社会真实的打折购物、球赛积分、电话计费为背景，设计了探究性学习活动。这一设计思路，在七年级下册第八章“二元一次方程组”的学习中，得到了进一步地延续和发展，其第三节课设计的3 个实践与探索内容，进一步发展了学生的模型观念和应用意识。学生在社会生活和科学技术的真实情境以及数学知识的横向联系、纵向拓展中，结合方程（组）等具体的学习内容，经历了现实情境数学化的过程，感悟了如何从数学的角度发现问题和提出问题，逐步形成了“三会”的核心素养。

二、厘清模型观念与应用意识的内涵，畅通实施渠道

学生具备一定的模型观念和应用意识是开展“综合与实践”的基本保障。教师只有厘清模型观念与应用意识的内涵，通过扎扎实实的日常教学，才能畅通实施“综合与实践”的渠道。

（一）厘清模型观念的内涵，合理建模

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出，在小学阶段学生形成模型意识的基础之上，学生在初中学段要形成模型观念。教师对运用数学模型解决实际问题要有清晰的认识，要知道数学建模是数学与现实联系的基本途径；要使学生初步感知数学建模的基本过程，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。模型观念有助于学生开展跨学科主题学习，感悟数学应用的普遍性。

在七年级的数学学习中，方程、方程组、不等式、不等式组的学习都需要学生经历用数学符号提炼现实生活中的等价关系和不等价关系的过程，方程就是用等号将相互等价的两件事情联系起来。方程只是阐述了一个事实本身，是一个没有经过任何加工的事实本身，只是在说明两件事情是等价的。方程模型观念的核心在于建模、化归。解一元一次方程就是最终将方程化归为x=a的形式，即将含有未知数的项放到方程的一边，将不含未知数的项放到方程的另一边，就可以解出未知数的值，解的具体过程要用到四则运算。学生用自然语言阐述数学的事实，然后抽象成数学表达，最后用数学符号建立方程，解决问题，这正是建模的过程。

（二）厘清应用意识的内涵，解决问题

应用意识主要是指有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题。教师要使学生能够感悟现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，可以用数学的方法予以解决；初步了解数学作为一种通用的科学语言在其他学科中的应用，通过跨学科主题学习建立不同学科之间的联系。应用意识有助于学生用学过的知识和方法解决简单的实际问题，养成理论联系实际的习惯，发展实践能力。

例如，七年级学生学会抽象——将关系抽象为数学符号，要经历两个过程，一个是抽象过程，一个是运算过程。这两个过程都含有逻辑问题，每一步都不能出错。列方程解实际问题需要学生具体问题具体分析，要在错综复杂的事实中，将最本质的东西抽象出来，同时在运算中遵循最佳的途径，将复杂的问题简单化，这种优化思想对于人的思维习惯的影响是深远的。日常教学中，教师只有将这些工作做实，使学生具备一定的探究能力、模型观念和应用意识，才能为开展“综合与实践”提供保证。

三、探索“综合与实践”的教学策略，助力课程实施落地

课堂上，设计恰当的问题情境和问题串引导学生学习是发展学生模型思想和应用意识的基本策略。好的问题情境能够充分调动起学生原有的生活经验和数学经验，更能促使学生由情境引起数学意义上的思考。好的问题串在一般观念的引领下，连贯系统，自然而然，可助力学生的数学学习。

人教版数学教材在七年级下册第八章“二元一次方程组”中有这样的安排：在学习完方程组的解法之后有一节探究活动，3 个探究问题既各具特色，又指向同一目标，使学生在经历建模过程中感悟二元一次方程组的模型价值；经历估算与精确计算的比较，体悟数学模型的应用价值。

（一）创设生活化的问题情境，帮助学生理解数学术语

借助生活场景来构建问题情境，既能够使学生主动融入到熟悉的环境中，感受到数学知识与生活的联系，强化对生活问题的探究动机，又能够以生活问题为导向，使学生结合自身的生活经验与认知，不断感受蕴含在问题中的数学原理，建立数学世界与现实世界的联结。学生运用已有经验，化解对生涩的数学术语的理解，为探究活动的开展扫清障碍。以“探究活动二：面积划分问题”为例，教师设计了下面的问题情境。

1.把一个长为200 m，宽为100 m 的长方形土地分成面积比为1∶3 的两个长方形部分，可以怎么分？你能画出示意图吗？

这一情境的设计意图是从学生熟悉的学习经验出发，在解决简单数学问题的过程中使学生体会“怎么分”的数学表述，同时一题多解，减轻学生的心理压力，助力教学难点的突破。

2.在一片面积为200 m2的土地上种植甲种农作物，已知该农作物的单位面积产量为10 kg/m2，则该土地的农作物总产量为________；

在一片面积为200 m2的土地上种植甲、乙两种农作物，且种植面积相等，已知甲、乙两种农作物的单位面积产量分别为10 kg/m2和30 kg/m2，则该土地的两种农作物总产量为________。

这一情境的设计意图是引导学生根据生活经验，在解决简单实际问题的过程中认识、分析陌生的实际问题背景，并能应用于实际问题，为探究活动提供方法经验。

与此类似，在学习“探究活动三：方案决策问题”时，学生需要理解复杂的单位，为此教师设计了下面的情境。

某快递公司发快递的费用细则如下：每千米0.2元，每千克0.2元（kg·km）。

（1）1 kg 的货物运送2 km，需要付________元的运费；

（2）2 kg 的货物运送2 km，需要付________元的运费；

（3）已知A 市到B 市距离为30 km。若从A 市运送20 kg 的货物到B 市，选择该公司需付费用为__________元。

（二）注重思维发展规律，逐步唤醒学生已有的模型意识

经过小学阶段和初中七年级上半学期的学习，学生已有了初步的模型意识。因此，热身问题的设计需要能够唤醒学生已有的模型意识，这就要求热身题目必须起到“搭台阶”的作用，要既简单、不挤占课堂时间，又为后续问题做准备。同时，热身题要切中要害，直指问题本质，要启发学生的模型意识。在“探究活动一：大牛小牛问题”中，教师创设了这样的情境：

一种商品有大小瓶两种包装，3 大瓶、4 小瓶共装 108 千克产品，2 大瓶、3 小瓶共装 76 千克，那么 4大瓶、2小瓶能装多少千克？

本题简单易做，能有效地引发学生运用已有模型意识设未知数、找等量关系、列方程组，对接下来的探究活动产生了潜移默化地影响。美国课程理论家施瓦布指出，课程死气沉沉，是由于课程研究者脱离了他们所研究的对象——实际教育情境。合适的问题情境能启发学生的模型意识，聚焦研究问题的本质。情境的设计与使用是树立模型观念与发展应用意识的“起跑线”，是教学设计必须考虑的基本问题。

（三）围绕核心问题设计阶梯型问题串，引导学生感悟数学模型的应用价值

学生只有自己经历建模的过程才能感悟数学模型的应用价值，这就要求与例题相关的问题串设计要有阶梯性、条理性和启发性，能促进学生自己找到等量关系、建立数学模型、厘清解题思路。同时，教师也要通过问题串强化学生的模型意识，进而转化成模型观念。对于“大牛小牛问题”，教师在出示例题之后，可以提出以下问题串并引导学生思考。

1.（紧跟热身问题，针对例题再次提出）“包含哪些相等关系？”“你都能直接求出哪些量？”（引导学生找到建模依据，建立数学模型）

2.“怎样检验李大叔的估计呢？”（体会运用模型观念解决问题）

对于“面积划分问题”，教师将产量比的关系改为相等关系，重在引导学生体会用方程组模型描述相等关系，之后再给出单位产量之比和总产量之比，更合适学生现有的知识水平。

据统计资料，甲种作物的单位面积产量是10 kg/m2，乙种作物的单位面积产量是30 kg/m2，现要把一块长200 m，宽100 m 的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物。怎样划分这块土地，能使甲、乙两种作物的产量相等？

在“方案决策问题中”，教师设计了下面的问题串，引导学生学会分析问题。

1.从题目叙述中你直接获取了哪些信息？请有条理地表述出来。

2.怎样理解“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道哪些量？

3.你能先列表梳理已知量，进而计算出运输费用，再列出方程组吗？

阶梯型的问题串设计，可引导学生逐步认识到问题的本质，使其学会分析问题的一般方法，为问题解决创造条件。

（四）设计引发学生深入思考的课后讨论题，促使学生应用数学模型

现实生活中的问题复杂多变，在很多实际问题中，我们无法进行精确统计，但可以忽略掉无关或不关键因素，抽象出数量和关系，并运用数学模型这种语言进行表达、计算、分析和预估，这对学生来说是非常重要的数学素养。所以，设计的问题要能促使学生树立模型观念，产生应用数学模型的愿望。因此，课后讨论问题的设计也充分体现了教师的教学格局和教育智慧。在“大牛小牛问题”的课后讨论中，教师提出这样的问题：“实际生活中，还有这样用估计进行计算的实例吗？”

这一问题的提出意在使学生了解生活中还有很多需要估计的实例，知道虽然无法具体精确统计数据，但考虑到测量误差和实际操作中的损失等因素，可以对总体情况进行比较准确地估计，如家里装修时提前估计所需材料及数量就可以少跑路，少花钱；食堂提前估计用餐人数就可以在既提供服务的同时又节约成本。这一问题还能促进学生理解模型的广泛应用，使他们利用数学模型进行初步预测和估计。此外，树立模型观念，产生应用数学模型的愿望，也能为学生未来形成模型思想做好铺垫。

在学习活动中，学生需要自己感悟数学模型的价值，这是难能可贵的数学学习经验。所以，教师必须做到不替代，只引领，可紧跟例题提出诸如“你还有其他的计算方法吗？”之类的问题，这样可启发学生选取不同的等量关系、不同的数学模型（一元一次方程、算术），甚至是不同的思维方向；意在使学生体悟到各种方法和模型之间的不同，感悟到二元一次方程组模型的价值。

课后思考问题“你能用李大叔估计的范围来推断大牛和小牛的饲料数值吗？”意在激发学生的逆向思维，引出控制变量法和反证法的思想，促进学生的深入思考，也能够拓宽学生的视野、发散学生的思维。当学生运用逆向思维，提出运用控制变量法的解决方法具有局限性之后，教师再总结当定量和不定量同时出现时，要从定量入手建立数学模型解决问题，更突显出模型运用的价值。

总之，开展“综合与实践”，需要教师在教学中注重教学方式的变化，积极寻找契机发展学生自主探索、合作交流与实践创新的数学学习方式；通过现实的、有趣的、富有挑战性的数学学习内容引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理、交流、反思等数学活动，发展学生的模型观念和应用意识。