强基计划中高斯函数性质及其应用

上海市行知中学 新青年数学教师工作室 范广哲 （邮编：201999）

2020年起部分重点高校率先开展强基计划，目标是选拔并培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的人才.本文对近两年部分重点高校强基和自招中的高斯函数试题进行剖析，希望能对教师和学生有所帮助和启迪.

若x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[x]称为取整函数或数论函数，称[x]为x的整数部分，称{x}=x-[x]为x的小数部分.德国著名数学家高斯首先使用此记号，因而取整函数又称高斯函数.

下面给出高斯函数的一些重要性质，不再证明.

性质1若x∈R，则x=[x]+{x}，且0 ≤{x}<1.

性质2若x∈R，则x-1<[x]≤x<[x]+1.

性质3若n∈Z,x∈R，则[n+x]=n+[x].

性质4若x、y∈R，则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.

性质5若x≥0,y≥0，则[xy]≥[x][y].

性质6若n∈N*,x∈R，有

性质7若x∈R，则

性质8若n∈N*,x∈R，则[nx]≥n[x].

性质9若x∈R+,n∈N*，则在不超过x的所有正实数中，是n的倍数的数共有个.

性质10若n∈N*，设pm≤n

类型一 分类讨论

例1（2021年清华大学自强计划）已知函数表示不超过x的最大整数），则f(x)的函数值可能为（ ）

分析首先，自变量x需满足2 ≠0.题目中x与具有对称性，故只需考虑|x|≥1 的情形.

（1）当x=1 时，代入可得

（2）当1

（3）当x≥2 时，设x=[x]+{x}，代入可得进一步可得f(x)的值域为

（4）当x<-1 时，

类似于（3）的方法可得f(x)的值域为

综上，函数f(x)的值域为故选C.

评析若求f(x)可能的函数值，需求出其值域.把握题目结构特点，利用高斯函数性质进行分类讨论.

例2（2021年复旦大学强基计划）若g(x)=，f(x)=log2x，解不等式0

分析g(x)=(x+[x]-[x+|x|]+1)，

先解不等式0

1.当x≤0 时，g(x)=(x+[x])+1.

（1）当x=0 时，g(x)=1，不等式无解；

（2）当-1≤x<0 时，0

（3）当-2≤x<-1时，0

（4）当x<-2 时，g(x)<(-2-2)+1=0，不等式无解；

2.当x>0 时，g(x)=(x+[x]-[2x])+1.

设x=[x]+{x}，则

因此，不等式0

评析求解复合函数不等式问题时，先把外居函数的解集求出.遇到高斯函数与绝对值等综合的题目，需要进行分类讨论从而达到去掉绝对值目的，简化求解过程.

类型二 借助同余

例3（2021年北京大学强基计划）已知S=，则S的个位数字是（ ）

A.4 B.5 C.7 D.以上答案都不对

分析由于23≡1(mod 7)，因而考虑2的次数按模3 分类.

由于8 的方幂的尾数以8，4，2，6 为一循环，

可得(8+4+2+6)×168+1+8-674 ≡5(mod 10).综上，S的个位数字为5.故选B.

评析高斯函数里为分式结构，需要借助同余进行分类讨论，从而去掉取整符号.

例4（2021年北京大学高水平招生）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[-π]=-4等，则

分析由于22≡1(mod3)，因而考虑2的次数按模2 分类.

评析本题思想方法去例3 类似，也需要借助同余去取整符号，然后运用等比数列求和方法求解.

类型三 运用性质

例5（2021年北京大学寒假学堂）已知f(x)=[x]+[2x]+[3x]，[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)的值域为______.

分析可得，f(x+1)=[x+1]+[2(x+1)]+[3(x+1)]=[x]+[2x]+[3x]+6=f(x)+6，可得f(x+1)=f(x)+6.因而考虑f(x)在[0,1) 上的值域即可.

由于[1，2，3]=6，故把区间[0,1)分为6 个部分考虑即可.

可得f(x)在[0,1)上的值域为{0,1,2,3 }.

因而f(x)的值域为

评析观察函数表达式特点，发现其隐含性质，进而把考虑范围缩小.

例6（2021年清华强基计划）已知[x]表示不超过x的最大整数，则方程x的解的个数为（ ）

A.15 B.30 C.60 D.无穷多个

分析由题知x∈Z.

由于[2,3,5=30]，由带余除法可设x=30a+b，其中a、b∈Z，0 ≤b≤29.

若b确定，则a确定，因而x唯一确定.又由于b取不同值时，x必不同.

综上，x的个数为30 个.故选B.

评析求解取整方程时，考虑把变量进行放缩，逐渐分析进而发现其内在关系.

例7（2021年南京大学强基计划）求M=

评析含根式的取整问题，需要借助取值范围，达到取整目的，进而求解.

例8（2020年北京大学暑期体验营）已知[x]为不超过x的最大整数，求方程[x]+[x2]=[x3]的解集.

分析根据高斯函数性质，可得

解得-2

（1）当[x]=-2 时，[x]+[x2]≥-2+1=-1>[x3]，无解；

（2）当[x]=-1 时，[x3]=-1，于是[x2]=0，因此-1

（3）当[x]=0 时，[x]+[x2]=0+0=0=[x3]，因此0≤x<1 符合；

（4）当[x]=1 时，按[x2]，[x3]的取值情况进行详细分类讨论，可得符合.

综上，该方程的解集为

评析观察取整方程左右两边的表达式，利用取整函数性质进行求解，在限定整数后再进行分类讨论.

总结数学试题是数学思想和方法的载体.强基和自招中的数学试题普遍具有难度高，知识广，题量大及综合性强的基本特点，更加注重考查学生的数学思维.教师要引导学生学会抓住知识间的联系，善于发现问题的本质.著名数学家和教育家波利亚曾说过：“掌握数学就是意味着善于解题”.学生解题的过程就是分析-思考-探索-解决问题的过程.教师和学生都应积累解题经验，发现解题规律，掌握解题策略.