2022年高考数学全国乙卷理科第11题的商榷与思考

安徽省肥西实验高级中学 毛启干 （邮编：231200）

1 原题及商榷

2022年高考数学全国卷乙卷第11题为：

双曲线C的两个焦点为F1、F2，以C的实轴为直径的圆记为圆D，过F1作D的切线与C交于M、N两点，且，则C的离心率为（ ）

经研究，该题有以下3 点商榷之处：（1）F1、F2哪个是左焦点，哪个是右焦点，没有区分；（2）M、N两个交点，哪个点在x轴上方，哪个在x轴下方，没有区分；（3）切线与曲线C交于两支还是交于一支，没有交代.所以说该题命制得比较粗糙，估计命题人没有用几何画板进行验证.如果本题要能给出图形，也就能回避2 个正确选项的问题.

2 试题解答

由于双曲线存在左右两支，因此在解决直线与双曲线相交的综合题时，时常要分类讨论，第一类：直线仅与双曲线的左支或右支相交；第二类：该直线与双曲线的左右两支都相交.这也正是处理“直线与双曲线综合题”与“直线与椭圆或抛物线综合题”的不同之处.

解（1）若切线仅与双曲线的左支相交，设交于为M、N两点（如图1），设切点为A，连接OA，由已知易得：OA⊥MN，在直角△F1AO中，因为|OF1|=c,|OA|=a，即=b.

过F2作切线MN的垂线，垂足为B（B在线段NM的延长线上），则F2B∥OA，因为O是F1F2的中点，所以A是F1B的中点，由平面几何性质得：|F2B|=2a,|F1B|=2b.

图1

（2）若切线与双曲线C的左、右两支分别交于M、N两点（如图2），设切点为A，连接OA，由已知可得OA⊥MN，在直角△F1AO中，因为|OF1|=c,|OA|=a，所以

过F2作切线MN的垂线，垂足为B（B在线段MN上），则F2B∥OA，因为O是F1F2的中点，所以A是F1B的中点，由平面几何性质，得|F2B|=2a,|F1B|=2b.

综合（1）（2）可得，本题选项A、C 都是正确的.

图2

3 一点思考

在解析几何中，直线与圆锥曲线的综合题是常见的题型，这类题型主要考查学生运用所学知识综合处理问题的能力，这里提到的“所学知识”，不仅仅是直线的方程及其五种形式、圆锥曲线的标准方程的几种形式，也不仅仅是将直线的方程与圆锥曲线的方程进行联立，再转化为一元二次方程的问题，而是指综合运用在初中所学的“平面几何”的相关知识及其它数学分支内的知识.如本题就涉及到：①直线与圆相切的相关性质定理；②直角三角形的勾股定理；③两直线平行的判定定理；④相似三角形的判定定理与性质定理；⑤解三角形的相关知识；⑥双曲线的定义；⑦分类讨论思想；⑧相关代数运算知识.与平面几何知识综合是全国卷的一大特色与亮点.

“直线与椭圆或抛物线相交”与“直线与双曲线相交”是有区别的，区别就在于后者又是要分这条直线是与双曲线的一支相交？还是与两支都相交？有时只有一种情况符合条件，有时两种情况都可以.这样恰好考查了我们思维的严谨性，也考查了“数学抽象”、“逻辑推理”等数学核心素养.

下面从近几年高考和各地模拟高考试卷中关于直线与圆锥曲线综合题（客观题）中略举几例，再看看它们的思考方向和思路探究.

题1(2021年新高考全国Ⅰ卷第5题)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为（ ）

A.13 B.12 C.9 D.6

分析本题主要是综合运用椭圆的定义与均值不等式求最值等相关知识.

题2(2021年高考全国甲卷理科第5题) 已知F1、F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）

分析本题主要是将双曲线的定义与解三角形中的余弦定理结合使用.

题3(2021年高考全国乙卷文科第11题)设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（ ）

分析本题主要是将圆锥曲线的范围与二次函数在指定区间上的最值综合在一起使用.

题4已知点A、B是双曲线1(a>0,b>0)的左、右顶点，过点B作倾斜角为的直线l交C于点P，点M是线段AP的中点.若|OM|=|OA|，则该双曲线的离心率为（ ）

分析先由平面几何知识，即中位线结合|OM|=|OA|求得|PB|=2a，进而求出P点坐标，代入双曲线C的方程，求得b2=a2，即可求出离心率.