适用于发电系统Well-being评估的改进交叉熵方法

陈 凡，王宇琦，刘海涛，赵美莲，陈刘明

（1.南京工程学院电力工程学院，南京 211167；2.江苏省配电网智能技术与装备协同创新中心，南京 211167）

按照获取系统可靠度的方法分类，电力系统可靠性准则分为确定性准则和概率性准则。确定性准则具有易于理解和简单易行的优点，但是却无法捕捉系统运行的随机性；而概率性准则尽管能方便计入各种随机因素的影响，但是存在分析方法复杂、难以被现场工作人员理解的缺点[1]。为此，Roy Billinton教授于1994年提出了Well-being模型[2]，架起了确定性准则和概率性准则的桥梁，对电力系统的规划设计和调度运行具有重要意义。

近年来，研究人员基于Well-being理论对风电、光伏、波浪能等新能源以及电动汽车接入后的系统运行可靠性开展了研究。文献[3]针对风力发电出力的波动性问题，基于蒙特卡洛法MCS（Monte Car⁃lo simulation）研究了需求响应技术对发电系统Well-being的影响；文献[4]提出了计及屋顶光伏对变压器老化速率影响的配电变压器可靠性模型，采用MCS方法研究了不同屋顶光伏渗透率水平下的配电系统Well-being指标；文献[5]基于MCS方法研究了波浪能接入对系统风险状态和临界状态的影响；文献[6]基于Well-being分析的理论研究了插入式混合电动汽车无序充放电对配电系统Well-being的影响，并提出了一种提高系统健康指标的电动汽车充放电管理方法。由此可见，针对新能源出力、电动汽车充放电等随机行为建模的复杂性，现有文献大多基于MCS进行系统的Well-being评估。MCS是模拟电力系统中不确定性行为的有效方法[7]，然而MCS方法在用于高可靠性系统时存在收敛速度过慢的问题[8]，为此研究人员提出了拉丁超立方抽样法[9-10]、状态空间分割法[11]，交叉熵法CEM（cross entropy method）[12-13]等MCS改进算法。CEM近年来备受关注，它通过构造最优抽样概率密度函数有效提高了系统可靠性评估效率。基于此，本文采用CEM代替MCS进行系统的Well-being评估，研究发现：CEM用于系统Well-being评估时可能出现临界指标收敛速度低于风险指标收敛速度且差距较大的现象，最终导致系统状态抽样效率低下的问题。

针对此问题，本文在对CEM原理分析的基础上提出了一种多目标交叉熵方法MCEM（multi-ob⁃jective cross entropy method），该方法以临界指标和风险指标的方差系数同时收敛作为收敛条件，首先分别计算针对风险指标和临界指标的随机变量最优分布参数，再引入权重系数进行修正计算得到随机变量的综合分布参数，最后在基于综合分布参数抽取系统状态。进一步针对含多状态随机变量的系统Well-being评估效率问题，本文提出了将多目标分布参数寻优和扩展交叉熵方法[14]相结合的扩展多目标交叉熵法EMCEM（extended multi-objec⁃tive cross entropy method）。以IEEE RTS79系统为例进行了算例分析，算例结果表明：所提出的MCEM和EMCEM克服了传统CEM用于系统Wellbeing评估时可能存在临界指标收敛速度拖累整体收敛速度的问题，实现了计算效率的进一步提升。

1 电力系统Well-being评估模型

Well-being模型通过N-1准则将系统状态划分为健康、临界和风险等3种状态，3种状态之间的相互转换关系如图1所示。基于MCS的Well-being指标的计算公式[2，15]分别为

图1 电力系统well-being模型Fig.1 Well-being model of power system

式中：PH、PM和PR分别为系统的健康概率、临界概率和风险概率，PH+PM+PR=1；k为第k次抽样，n为抽样次数；nR、nM和nH分别为风险状态、临界状态和健康状态出现的次数；LC(k)为第k次抽样状态的切负荷量；EENS（expected energy not supplied）为期望缺供电量，MW·h/a。EENS属于风险指标。

2 交叉熵法用于电力系统Well-being评估时存在的问题

2.1 交叉熵法的原理

2.2 交叉熵法的似然比及参数寻优方法

2.3 扩展交叉熵法的似然比及参数寻优方法

2.4 CEM和ECEM计算Well-being时的问题

本文将CEM和ECEM应用于电力系统Well-being评估时发现，使用交叉熵寻优技术之后可能出现临界指标收敛速度慢于风险指标且差距较大的问题。本部分以峰值负荷模型时基于传统CEM计算系统Well-being指标为例对问题进行阐述。图2给出了RTS79系统在峰值负荷下采用CEM计算得到的指标收敛曲线。由图2可见，临界指标PM收敛速度明显慢于风险指标PR和EENS。这种现象源于CEM进行参数寻优的指示函数是针对风险指标，因此尽管CEM求得的最优分布参数能够使风险状态出现的概率大幅增加，但也有可能导致出现临界指标收敛速度明显低于风险指标的收敛速度的现象，导致临界指标拖累整体收敛速度。

图2 基于CEM的不同指标收敛曲线Fig.2 Convergence curves of different indices based on CEM

3 适用于Well-being评估的多目标交叉熵法

3.1 多目标交叉熵法

针对CEM由于局限于针对风险指标进行分布参数寻优时无法兼顾临界指标分布参数优化的问题，本文从寻找有利于临界指标和风险指标同时收敛的综合分布参数的研究思路出发，提出了适用于两状态随机变量参数寻优的MCEM和适用于多状态随机变量参数寻优的EMCEM。MCEM和EM⁃CEM分别采用表示PM的指示函数HM(Xk)和表示PR的指示函数HR(Xk)替换原寻优指示函数H(Xk)，所以MCEM和EMCEM针对PM和PR的两状态随机变量最优分布参数vM和vR的计算公式分别为

式中：vM(iM,j)为PM参数寻优的第iM次迭代更新的第j个两状态变量最优分布参数；vR(iR,j)为PR参数寻优的第iR次迭代更新的第j个两状态变量最优分布参数。

另外，EMCEM需要对多状态随机变量进行参数寻优，其最优分布参数qM和qR计算公式为

式中：qM(iM,t,e)为PM参数寻优的第iM次迭代更新的第t个多状态随机变量的第e个离散状态参数；qR(iR,t,e)为PR参数寻优的第iR次迭代更新的第t个多状态随机变量的第e个离散状态参数。

引入权重系数α修正综合分布参数v和q，即

式中α∈[0,1]。CEM相当于MCEM在α=0的情形，ECEM相当于EMCEM在α=0的情形。

3.2 权重系数的确定方法

本文定义了方差系数均衡度Δβ%来衡量临界指标方差系数与风险指标（方差系数较小者）方差系数的差距，以此判断是否出现了临界指标收敛较慢且与风险指标收敛速度差距较大的现象。方差系数均衡度Δβ%的计算公式为

由式（24）～式（26）可见，当临界指标收敛速度慢于风险指标时，Δβ%大于0，且Δβ%越大时则希望权重系数α也越大。根据此思路，本文提出了一种权重系数α的实用计算方法，具体计算步骤如下。

3.3 EMCEM评估流程

基于EMCEM的电力系统Well-being评估流程如图3所示，具体步骤如下。

图3 基于EMCEM的电力系统Well-being评估流程Fig.3 Flow chart of Well-being evaluation on power system based on EMCEM

（1）迭代计算针对PR的最优分布参数vR和qR。

步骤1参数初始化。设置迭代预抽样次数npre，迭代次数上限I，分位数ρ（通常在0.01～0.10之间）[17]，系统两状态随机变量最优分布参数为vR=u，u为原始分布参数，多状态随机变量qR=p。

步骤2令迭代次数iR=0。

步骤3iR=iR+1。

步骤4根据vR与qR进行随机抽样，生成npre组系统状态样本{Xk;k=1,2,…,npre}，对Xk进行负荷削减分析，计算对应似然比W(Xk)。

步骤5计算各个系统状态对应的发电容量裕度序列G(Xk)，有

式中：PG(k)为系统状态Xk总发电容量；LD(k)为对应的总负荷；LC(k)为对应的总切负荷量。

对发电容量裕度序列G(Xk)按照从小到大排列得到M=[M[1],M[2],…,M[npre]]，若M[ρnpre]>0 ，则阈值参数δ=M[ρnpre]；若M[ρnpre]≤ 0 ，则δ=0 。

步骤6利用阈值参数δ对G(Xk)进行修正，修正值G'(Xk)=G(Xk)-δ，其指示函数HR(Xk)为

步骤7根据式（21）更新系统两状态随机变量最优分布参数vR，根据式（23）更新多状态随机变量最优分布参数qR。

步骤8如果阈值参数δ=0或iR=I，则预抽样过程结束，输出vR和qR；否则，返回步骤3。

（2）迭代计算针对PM的最优分布参数。步骤与第（1）步中类似，只需将寻优指示函数替换成HM(Xk)，根据式（20）和式（22）更新vM和qM即可。

（3）计算综合分布参数。根据式（27）计算权重初值并利用迭代搜索权重α，根据式（24）更新两状态变量的综合分布参数v，根据式（25）更新多状态变量综合分布参数q。

（4）基于综合分布参数v和q抽样并进行系统Well-being评估

步骤1参数初始化。输入综合分布参数v和q，设置收敛条件方差系数限βmax。

步骤2设置抽样次数n=0。

步骤3n=n+1。

步骤4根据v和q抽取系统状态样本Xn，并计算似然比W(Xn)。

步骤5状态评估并记录指标的指示函数H(Xn)。若Xn为风险状态，HR(Xn)=1，HM(Xn)=0，HEENS(Xn)=8 760LC(n)；若Xn为临界状态，则HR(Xn)=0，HM(Xn)=1，HEENS(Xn)=0；若Xn为健康状态，则HR(Xn)=0，HM(Xn)=0，HEENS(Xn)=0；HEENS(X)为EENS的指示函数。

步骤6计算指标，有

式中：k为抽样次数n索引(k=1,2,…,n)；h为与H(X)对应的指标，当H(X)为HR(X)时h表征PR，当H(X)为HM(X)时h表征PM，当H(X)为HEENS(X)时h表征EENS。在得到各指标数值后，判断方差系数是否小于βmax。若是，则停止迭代，输出Wellbeing指标；否则，返回步骤3。

4 算例分析

本文以IEEE RTS79系统[18]为例，分别采用峰值负荷和多级负荷模型进行发电系统Well-being评估，以此验证本文提出的MCEM和EMCEM有效性。算例分析在CPU为Intel core i7-10700、内存为16 GB的微机上利用Matlab 2018编程实现，仿真过程中以临界指标和风险指标同时满足规定方差系数(βmax=0.01)作为仿真收敛条件。

4.1 MCEM有效性分析

本文将峰值负荷水平下的IEEE RTS79系统称为MRTS1系统，以该系统为例验证MCEM的有效性。MCEM的参数设置为：npre=25 000，γ=5%，ε=0.025，通过迭代计算得到的α=0.665 4。

表1给出了分别采用MCS、CEM和MCEM计算MRTS1发电系统Well-being指标的结果，其中EENS单位为MW·h/a。如表1所示，3种方法的各项结果接近，但是抽样数目之间存在很大差异：①CEM抽样次数少于MCS，这是因为CEM采用风险指标指示函数进行两状态随机变量的分布参数进行寻优，从而提高了抽样效率；②MCEM的抽样次数最少，这是因为MCEM同时采用风险指标和临界指标的指示函数进行两状态随机变量的分布参数寻优，因而避免了CEM获取的分布参数不利于临界指标收敛的问题。

表1 MRTS1发电系统well-being评估方法的性能比较Tab.1 Comparison of performance among well-being evaluation methods for MRTS1 power generation system

图4给出了采用3种方法MCS、CEM和MCEM计算Well-being指标时方差系数的收敛曲线，图中每条曲线的方差系数是指各种方法中方差系数较大的指标的方差系数，即收敛速度较慢的指标的方差系数。由图4可见，MCEM具有收敛速度更快的优点。

图4 3种方法的方差系数收敛曲线Fig.4 Convergence curves of coefficient of variation of three methods

为了进一步阐明MCEM加快Well-being评估收敛速度的原理，图5给出了3种方法抽取到的风险状态和临界状态的统计分布。

图5 不同方法抽取的系统状态统计分布Fig.5 Statistical distribution of system states sampled by different methods

由图5可见，CEM与MCS相比，CEM提高了风险状态的出现概率，但同时使得临界状态的出现概率减小，这意味着采用CEM将导致临界指标收敛性能变差；MCEM与MCS相比，MCEM抽取到风险状态和临界状态的概率均大于MCS，这意味着采用MCEM能同时提高风险指标和临界指标的收敛速度；MCEM与CEM相比，MCEM抽取到风险状态和临界状态的概率差异更小，因此MCEM保证了风险指标和临界指标收敛的均衡性。

4.2 EMCEM有效性分析

本文进一步研究了多状态负荷水平下进行发电系统Well-being评估时的CEM改进算法，本文首先采用k-均值聚类算法建立14状态的负荷模型[19]，将14状态负荷水平下的IEEE RTS79系统称为MRTS2系统，以该系统为例验证EMCEM的有效性。其中EMCEM的参数设置为：npre=25 000，γ=5%，ε=0.025，通过迭代计算得到权重系数α=0.591 7。

表2给出了4种方法MCS、CEM、ECEM、EM⁃CEM计算MRTS2发电系统Well-being指标时的计算结果。其中CEM只针对两状态发电机故障参数寻优，对于多状态负荷仍然根据原始分布参数抽样；ECEM和EMCEM则在两状态发电机故障参数寻优的基础上，进一步对多状态负荷的分布参数寻优，并根据优化后的负荷状态分布参数抽取负荷状态。

表2 MRTS2发电系统Well-being评估方法的性能比较Tab.2 Comparison of performance among Well-being evaluation methods for MRTS2 power generation system

如表2所示，4种方法的计算结果十分接近，但是在抽样效率上存在较大差别：①ECEM和EM⁃CEM的抽样次数远小于CEM的抽样次数，这是由于ECEM和EMCEM通过对多状态负荷模型进行参数寻优，进一步提升了临界状态和风险状态的出现概率；②EMCEM小于MCEM的抽样次数，这验证了EMCEM针对多状态随机变量采用风险指标和临界指标指示函数进行综合参数寻优的有效性和优越性。

图6给出了4种方法的指标收敛曲线，图中每条曲线的方差系数取自各方法收敛最慢的指标的方差系数。由图6可见，ECEM和EMCEM大大提高了Well-being指标计算的收敛速度，与ECEM相比，EMCEM收敛速度更快。

图6 不同方法的收敛曲线Fig.6 Convergence curves of different methods

为了进一步阐明ECEM和EMCEM额外对多状态负荷参数扩展寻优带来的优势以及两者的区别，图7给出了MCS、ECEM和EMCEM抽样时所采用的负荷概率分布图，曲线上的点代表某一负荷水平及其出现概率。由图7可见，同MCS相比，ECEM和EMCEM所采用的负荷模型中的中高水平负荷出现概率较大，而负荷需求较大时更容易出现切负荷状态和临界状态，这正是交叉熵法提高指标收敛速度的原因；同ECEM相比，EMCEM所采用的负荷概率分布模型的高水平负荷出现概率值相对小一些，但是中等偏高水平负荷概率值相对较大一些，这正好解释了为什么EMCEM能在提高风险指标收敛速度的同时又保证了临界指标的收敛速度。

图7 不同方法采用的负荷概率分布Fig.7 Probatility distrubution of load used by different methods

基于图7所示的负荷分布模型，图8进一步给出了4种方法抽取到的系统临界状态和风险状态的统计分布。由图8（a）可见，同其他方法相比，MCS抽取到的系统风险状态极少且难以观察，为此S和CEM方法抽取到的风险状态统计分布的放大图如图8（b）所示。由图8（a）和（b）可见：MCS抽样难以保证临界指标和风险指标的收敛速度、抽样效率低下；ECEM和EMCEM的临界状态和风险状态出现的概率都明显高于MCS和CEM，这证明了针对多状态随机变量进行扩展交叉熵寻优的有效性。另一方面，和ECEM相比，EMCEM抽取到的临界状态和风险状态的抽样概率差值更小，从而保证了临界指标和风险指标收敛速度的均衡性，提高了系统的状态抽样效率。

图8 不同方法的系统状态统计分布Fig.8 Statistical distribution of system states sampled by different methods

5 结语

传统的交叉熵方法可以有效提高电力系统可靠性指标的收敛速度，然而在将交叉熵方法用于电力系统Well-being评估时可能会出现临界指标收敛速度低于风险指标收敛速度且差距较大，导致系统状态抽样效率低下的问题。针对此问题，本文从交叉熵算法和电力系统Well-being评估的原理出发分析了出现该问题的原因，提出了能兼顾风险指标和临界指标收敛速度的多目标交叉熵方法。该方法通过计算和引入权重系数获取随机变量的综合分布参数，再基于综合分布参数抽取系统状态；在此基础上，进一步提出了适用于含多状态随机变量的系统Well-being评估的扩展多目标交叉熵算法。最后，以IEEE RTS79系统为例进行了算例分析，算例结果证明了所提出的适用于发电系统Well-being评估的改进交叉熵方法的有效性。