基于勒洛三角形运动规律的数控铣削方孔加工程序设计

刘 玲

（江苏联合职业技术学院扬州分院，扬州 225000）

与圆孔相比，方孔具有更大的转矩和更优良的传动平稳性，因此带有方孔的设备零件在石油化工、汽车制造以及航空航天等领域得到了广泛应用。但是，受技术水平的制约，方孔加工精度控制一直以来都是困扰设备制造行业从业人员的重要问题。不仅方孔的加工精度难以把握，而且其表面平滑性较差，对刀具的磨损十分严重。为了解决上述问题，设计人员尝试在铣削方孔加工程序中引入勒洛三角形运动规律，利用勒洛三角形等宽正方形运动特点优化方孔加工技术，进而提升对方孔精度的有效控制。

1 勒洛三角形中心运动轨迹分析

在平面几何框架下，勒洛三角形能够沿着直线平稳滚动，将滚动一圈所形成的直线翻转4次，得到一个等宽正方形。该三角形会在正方形中持续运动。勒洛三角形运动时，几何中心处于动态变化状态，而中心运动路径是由4个椭圆形圆弧共同组成的曲线，如图1所示。

由图1可知，点P为三角形的中心点，α为直边13与1R的夹角。当中心点P从点A运动到点B时，三角形的顶点1由A´移动至B´，夹角α由60°变为30°。可以发现，当三角形在正方形中旋转一圈时，其质心点在相反方向上转动3圈，即该三角形的自转与公转比为1∶3，如图2所示[1]。

假设正方形边长s取值为1，则顶点1在平面上的坐标为（L，1/2），L=1R-1/2，夹角α随着转动由60°变为30°。此时，如果经过中心点做一条A´B´的垂线，设垂线与直线的交点为N，则∠ 31R=α，∠ 31P=30°，进一步得出∠R1P=30°+α，1R=cosα。利用上述参数，可以列出第三象限圆弧段的参数方程：

利用消元法，将式（1）中的常量α消除，可以得到普通公式：

式（2）可以表示一个椭圆，中心点坐标为（1/2，1/2），椭圆的长半轴距为短半轴距为焦点在直线y=x上，由此可以得出第一象限、第二象限以及第四象限的参数方程分别为：

当夹角α分别为30°、45°、60°时，可以得到中心点在每个象限对应的x、y坐标值。

2 设计数控加工程序

2.1 创建刀具与工件坐标

加工方孔过程中，方孔的中线与刀具中线并不重合。刀具通过自转、公转以及刀具沿着轴向进给，共同完成方孔加工工作。其中，刀具自转指刀具随着数控机床主轴旋转，而刀具公转则是指主轴围绕方孔中线进行的有规则移动。

刀具进给过程中，公转的移动轨迹近似于标准圆。因此，本次设计中，工作人员以螺旋铣孔技术为基础，优化方孔数控加工方法。假设刀具主轴转速为n，刀具给进螺旋线在平面的投影圆半径设定为R，每一刀的切削深度为ap，方孔的加工深度设定为h。由于刀具的自转与公转之比为1∶3，因此刀具公转速度为3n，则主轴公转角速度ωp为2πnp，进给速度fc为ωpR。编制加工程序时，在计算机中创建工件与刀具的平面坐标系。其中，工件的坐标为xyz，刀具的坐标为xcyczc，x、y数值固定不变，z轴为方孔中心线方向，点O为方孔中心线在平面上的投影点。随着刀具的运动，坐标系不断变化，刀具中心在平面上的投影点为Oc[2]。

2.2 编制铣削方孔程序

设计中，需要加工的方孔尺寸为40 mm×40 mm。当夹角α为30°或者60°时，刀具中心点与原点的距离为最小值；当夹角α为45°时，刀具中心点与原点的距离为最大值。由此可以得出，刀具进给轨迹上的点全部分布在圆环区域内。利用Origin软件得到刀具中心点的移动轨迹图，如图3所示。

要分析刀具行进轨迹对方孔加工精度的影响，可将图3的圆形区域分割为9个部分，保证每一个圆环由内到外的半径呈等差分布，进而得到刀具进给轨迹的半径通项公式：

获得式（6）和相关参数后，相关人员可以按照一定的流程编制方孔加工数控程序：①创建一个尺寸为300 mm×200 mm×40 mm的待加工工件模型；②创建方形加工程序；③定义几何体；④调整刀具进给参数；⑤设定非切削移动数据；⑥调整刀具进给速度；⑦生成刀具铣削加工轨迹；⑧导出并检查数据。具体流程如图4所示[3]。

3 数控加工方孔实验

3.1 搭建实验平台

为了对基于勒洛三角形运动规律的方孔加工程序设计进行验证，工作人员使用XD-40A立式数控机床进行实验。该机床的优势在于拥有高速直线滚动导轨，在机械制造领域有着广泛应用，如图5所示。

XD-40A立式数控机床的标准转速为8 000 r·min-1，主电机功率为1.47 kW，3个方向的轴进给均以直线滚动导轨作为支撑，其中z轴搭配平衡锤。

3.2 制作刀具

工作人员依据实验使用的方孔加工刀具确定加工工艺。本次实验采用将刀片与刀柄焊接在一起的刀具。考虑到实验工件的硬度有限，在选择刀片时使用304不锈钢刀具，通过切割得到厚度为5 mm的刀片。铣削方孔过程中，刀具处于高速转动状态。为了确保刀具在高速转动过程中保持稳定性，以高速钢作为制作刀柄的原材料，使用氩弧焊冷焊工艺将刀柄与刀片连接，最终得到完整的方孔铣削刀具。

3.3 铣削实验

刀具加装完毕后，工作人员将设计好的方孔铣削加工程序输入计算机数字控制机床（Computer Numerical Control，CNC）系统，将实验用腊模板固定在操作台上。启动数控机床，加工完毕后得到一个具有10个方孔的腊模板工件。

经过分析加工的腊模板可以发现，实际加工形成的方孔与设计方孔在外形上较为相似。但是，腊模板上的方孔尺寸略大于设计尺寸，即对方孔加工精度要求不高时，该程序可以满足40 mm×40 mm尺寸方孔加工需求。由此可以得出结论，基于勒洛三角形运动轨迹的方孔铣削加工程序能够高效完成方孔加工任务，具有极高的可行性[4]。

3.4 加工精度分析

通过实验可以发现，该加工方式在加工精度方面有待提高。工作人员判断刀具轨道半径R对方孔加工精度会产生直接影响，因此将x、y、z三轴刀具进给方向的最大边长误差和面积误差作为检验方孔加工精度的指标。使用二次元影像设备测量腊模板上10个方孔的边长与面积，得到测量结果后，使用Origin软件在计算机上生成刀具进给轨道半径与方孔误差值的关系折线图，如图6～图8所示。

从图6～图8可以发现，造成方孔铣削加工误差的主要原因如下。第一，制作刀具过程中，由于没有严格控制刀具加工精度，导致刀具相邻刀尖之间的距离存在细微差别，造成实际制作的刀具与刀具模型的尺寸存在偏差。第二，实验使用的XD-40A立式数控机床为三轴立式铣床。该机床配备的是开环伺服系统，因此CNC系统中的主轴转速与实际运行过程中的主轴转速存在一定差异。第三，加工方孔时，刀具受机械振动和铣削力的影响，导致进给轨迹略微偏离理论轨迹[5]。

由此可以得出结论，基于勒洛三角形运动轨迹的方孔铣削加工程序，实际使用与理论设计存在一定差距。通过分析腊模板10个方孔尺寸发现，x、y两个方向的方孔最大边长和最大面积误差值均与刀具进给轨道半径呈反比。刀具进给轨道半径越大，加工误差越小。通过反复实验和论证，工作人员发现当刀具半径为3.27 mm时，铣削加工的尺寸为40 mm×40 mm的方孔精度最高。将相关参数输入计算机进行模拟仿真，发现仿真结果与实验结果一致，进而得到了方孔加工最佳参数数据。

4 结语

在重要的设备零部件上，与常见的圆孔相比，方孔具有传动平稳、转矩大等优势，在工业生产领域具有不可替代的重要作用。但是，在实际加工方孔的过程中，传统的铣削加工方式无法提升方孔精度，且对刀具的消耗较快。针对这一问题，设计人员基于勒洛三角形运动轨迹设计了一套新的方孔铣削加工程序，并利用XD-40A立式数控机床进行实验。结果表明，该加工方式在40 mm×40 mm方孔加工任务中展现出良好的加工效果，具有广泛的应用前景。