多用户大规模FD-MIMO 下行系统中基于降维的仿射投影解码策略*

陈 靖，戴谭明，吴君钦

（江西理工大学，江西 赣州 341000）

0 引言

虽然有研究表明三维大规模多输入多输出（Full-Dimention Multiple Input Multiple Output，FD-MIMO）多用户系统能提升传输效率[1-2]，但实际上，由于用户间存在干扰，必然使得系统性能降低。如果基站侧和用户侧都获取到瞬时信道状态信息（Channel State Information，CSI），可通过脏纸编码技术达到其最大可实现的速率域[3]。然而，一方面，脏纸编码技术具有非常高的复杂度；另一方面，在基站侧获取瞬时CSI 难以实现。因此，利用脏纸编码技术提高传输效率存在较大的挑战性。紧接着，有限反馈预编码码本的设计被提出，如文献[4]提出了基于单用户FD-MIMO 下的窄带和宽带的量化策略。之后，文献[5]基于多用户的FD-MIMO下行系统采用了一种协同反馈方案，通过设备间相互通信的方式交换CSI，再计算预编码器，并将预编码器反馈给基站；然而该方案适用于用户相隔较近的场合，且因天线规模较大，导致反馈开销增加，同时在用户数较多的情况下，交换时延也会增加。接着，文献[6]基于有限反馈大规模MIMO 系统提出了内外层联合预编码策略。但在基站侧完全不知道CSI 的场景下，无论是脏纸编码技术，还是预编码技术，都难以达到最大可达速率域。

本文基于基站侧完全不知道CSI 的场景，针对大规模FD-MIMO 多用户系统，首先在基站侧采用降维矩阵[7-9]将大规模天线进行有效合并，其次在接收方利用仿射投影技术[10]提出新的解码策略。由于基站侧天线规模巨大，利用降维矩阵既可减少系统开销，又能降低解码复杂度，而且能将多根天线上的信号联合成单个波束，有利于提升空间增益。此外，降维矩阵与CSI 是独立无关的。因下行信道中的每一个用户接收到的信号都涵盖了基站发送给全部用户的信息，由此势必会带来多用户间的干扰。为了消除这些干扰，并独立地解出各自需要的信号，提出了仿射投影解码策略，该策略能有效地处理用户间的干扰。与此同时，本文也提出了基于循环矩阵形式的传送方案和解码方法，并从理论上分析了所提出解码策略的性能。分析结果表明，循环重复传送信号会导致速率下降，但当用户数与合并后的天线数相等时，仿射投影解码策略仍能达到最佳自由度。

文中的符号定义：Cn×m表示n×m的复矩阵，分别表示取共轭、转置和共轭转置，分别为两个矩阵的Kronecker积和两个矩阵的直和。E(●)表示数学期望，CN(μ,σ2)变量服从均值为μ、方差为σ2的复高斯分布。

1 预备知识

1.1 系统模型和降维矩阵的引入

本文采用文献[2]中的信道模型，基站侧配置M=Mv×Mh根天线，其中Mv表示垂直方向上的天线数，Mh表示水平方向上的天线数，dv表示垂直方向天线间距，dh表示水平方向天线间距，K表示用户数量。如图1 所示。

图1 多用户大规模FD-MIMO 下行系统

假设基站与天线间存在P个辐射路径，且每个辐射路径可以表示为：

式中：ψv=sinϕv；ψh=sinϕhcosϕv。ϕa是阵列向量的角度。λc是中心频率fc所对应的波长，满足c=fcλc，c是光速。则信道可表示为：

式中：D为辐射路径。a=(α1…αp)T∈CP是各辐射路径的增益，假设各路径增益相互独立且αp～CN(0,1)。由于系统中天线数量巨大，降维矩阵可将大规模天线进行有效合并，从而降低系统开销。定义降维矩阵[8]：

假设在该系统中，基站侧的天线数为M，同时给K个单天线用户发送信息。第i个用户的码本记为Φi，其功率满足E(|sit|2)≤ρi，其中sit是码本Φi中的码字，ρi是第i个用户的功率。

基站传送信息的方案如下：

（1）根据第i个用户的需求在对应码本中选择码字sit∈Φi(t=1,2,…,T,i=1,2,…,K)，T为时隙数；

（2）将步骤（1）中获得的码字映射到信息矩阵S∈CN×T中；

（3）最后，利用基站侧的M根天线，经降维后在T时隙内，对信息矩阵S进行传输。

基于上述假设的信道模型，以第i个用户的接收信号为例，则有：

式中：hi为第i个用户的信道；Γ为M×N维的降维矩阵；wi∈C1×T为噪声向量，且每个分量都为均值为0、方差为1 的复高斯变量，分量间相互独立。

1.2 仿射投影及极分解基础

假设U，V是某个向量空间中的两个子空间，且U∩V=∅，其中，U≜span{u1u2…un}，{v1v2…vn}，记Z=U⊕V（表示子空间U和V的直和），其中{u1u2…un}和{v1v2…vn}分别为U和V的一组基底。<,>表示两个向量的内积，定义如下矩阵：

由于子空间U和V的交集为空，故这两个空间的两组基底必然线性无关，也就是说矩阵G11和G22可逆。此外，因空间Z=U⊕V，所以{u1u2…un,v1v2…vn}可作为Z的一组基底，因此矩阵G也是可逆的。对于任意给定的向量z∈Z，存在唯一一组分解使得z=u+v，其中(u∈U,v∈V)，可通过下述方法获得这个线性组合的系数，假设：

因矩阵G可逆，故方程两边左乘G-1，可得到系数的矩阵形式。

针对极分解，可给出如下定理。

设J∈Cn×m，则存在酉矩阵X和唯一的半正定矩阵W，使得：

式（15）即为矩阵J的极分解，其中，矩阵W与X分别称为矩阵J的Hermite 因子和酉因子。矩阵的极分解是根据复数的极形式作出的，其几何意义是先旋转，然后再沿着一组正交的方向作伸缩。

2 传送方案以及相应的解码策略

2.1 基站侧的传送方案

2.1.1 传送方案一

假设基站经合并后的天线数与用户数的比值为g（g为整数），即g=N/K，本文提出的传送方案的主要思想是，将全部用户需要传送的信号送入到传输矩阵S中，而不同用户的信号放入传输矩阵S的不同层中。假定N=T，所以此时传送矩阵S∈CN×N是方阵，则其第i层记为，其定义为：

式中：[i+j-1]N表示i+j-1 对N取模运算；([i+j-1]N,j)表示传输矩阵S的第[i+j-1]N行第j列，在本文中称([i+j-1]N,j)为的第j个元素。

具体的传输方案如下：

（1）根据第i个用户的需求在对应码本中选择相应的g个信号，记为si1,si2,…,sig(i=1,2,…,K)；

（2）将si1置于传输矩阵S第(i-1)×g+1 层的各个位置上，si2置于传输矩阵S第(i-1)×g+2 层的各个位置上，以此类推就可组成N×N维的信号传输矩阵S；

（3）利用基站侧的M根天线，经降维后在T时隙内对信息矩阵S进行传输。

2.1.2 传送方案二

该传送方案假定一个用户仅接收一个信号，其核心思想是将全部用户的信号送入一个传输矩阵S´中，具体传输过程如下：

（1）依据K个用户所需发送的数据信息来选择相应的符号，记为s1,s2,…,sK；

（2）基站端在T=K=N个时隙内传输信号矩阵S´，传输信号矩阵S´的具体形式如下：

2.2 基于仿射投影的解码策略

基于传送方案一，以第一个用户为例，利用仿射投影策略对用户进行解码，解码过程如下文所述。这里为了便于推导，引入一个单位循环矩阵记为：

式中：y1为在N=T下第一个用户接收到的信息。式（20）可改写为：

通过这种方法消除了用户间的干扰。为进一步简化计算，可令：

2.3 基于循环矩阵下的解码策略

基于传送方案二，以第一个用户的接收信号为例，则有：

根据形式可知H为托普利茨矩阵，由文献[11]知，可对该矩阵进行分解得到：

式中：Λ为对角矩阵，且组成元素均为H的特征值。其各个元素的形式如下：

所以发送接收方程可改写成：

3 基于仿射投影解码的性能分析

3.1 基于仿射投影的可达速率域分析

以用户一为例，经降维矩阵与仿射投影相结合技术处理后，在信道确定时，在T个时隙内传输N次就等价于信道系数为C1的加性高斯白噪声信道。由信道容量公式可知，记用户一的可达速率域为R1，R1可表示为：

所以，R1也可表示为：

3.2 基于仿射投影的自由度分析

基于多用户FD-MIMO 的下行系统，本文采用的降维矩阵与仿射投影相结合的解码策略，这里考察其可达自由度，由文献[12]可知，记该自由度为：

式中：ʊ 为系统的容量域。

系统的最大自由度记为：

由文献[10]可知：

由于N>1，所以可得：

所以可推出dmax≤1。

针对基站部署M=Mv×Mh根天线的系统，基于提出的降维矩阵将天线进行合并可得到天线数为N(N

2344 在△ABC中，以BC中点M为圆心，BC为直径作圆交AB、AC于F、E，连接FC，EB，其交点为D，FE交AD于P，BP、ME交Q，求证：QA∥BC．

4 仿真结果

仿真环境在前面所述的FD-MIMO 典型场景下，表1 给出了系统仿真时的参数

表1 系统仿真参数设定

4.1 仿真1

图2 中显示了在K=2,4，M=24,32 情况下的误比特率的仿真结果。从图2 中可以看出，在基站天线数确定的情况下，随着信噪比的增大，误比特率在减小；在用户数确定的情况下，随着基站天线数的增加，误比特率也增大。

图2 单天线下基于仿射投影解码策略下的仿真结果

4.2 仿真2

图3 中显示了在K=2，SNR=10 dB 情况下，可达速率域的仿真结果。从图3 中可以看出，在用户数确定的情况下，可达速率域随着基站天线数的增加而增大，且增加的幅度逐渐变小。

图3 不同天线配置下的可达速率域

4.3 仿真3

图4 中显示了在K=4，M=32,16 情况下，误比特率的仿真结果。从图4 中可以看出，在用户数确定的情况下，随着基站天线数的增加，误比特率也增大。在传统方案中，误比特率随着信噪比的增加下降速度非常缓慢；而在所提出的传送方案二的情况下，误比特率随着信噪比的增加，下降速度越来越快。

图4 单天线下基于循环矩阵策略下的仿真结果

5 结语

本文研究基于假定发送端对信道状态信息完全不知道的情况，针对单天线的多用户大规模MIMO系统，在基站侧利用降维矩阵将大规模天线进行有效合并，在用户端利用仿射投影技术提出了新的解码策略。该策略充分利用了对角空时码的特性，可将用户间的干扰完全消除，进一步解出各个用户所需要的信息。与此同时，还提出了基于循环矩阵形式的传送方案和解码方法，并从理论上分析了所提出解码策略的性能。最后，对所提出的方案进行了仿真，其结果也与理论分析一致。