动静结合 相得益彰——以“二次函数”教学为例

⦿广东省深圳市龙华区实验学校 邱建涛

1 引言

“二次函数”属于初中数学课程的半壁江山，其不仅考察了学生的思维能力、逻辑推理能力、建模能力、还有识图观察等能力.由此可见，二次函数问题需要一定的解题技巧，教师在教学中应当严格解读动静结合的思想，引导学生从动、静的角度思考二次函数问题，从而提高二次函数的学习效率.

2 初中数学中二次函数的特点

2.1 识图与观察

二次函数突出了数形结合的思想.在“二次函数”的学习中，除了概念认知，还有图象解析，学习者需要将概念与图形进行辩证对应，才能梳理出正确的解题方向.因此，“二次函数”的学习能够帮助初中生增强抽象思维与直观想象能力.除此之外，在识图分析时，学生需要调动各项感官，通过自主观察才能达成对知识的深层理解.

2.2 动手与推理

二次函数体现了数学学科中的多种思想，精准作图与高效用图是解析二次函数问题的关键，所以，学生在学习“二次函数”时需要参与到作图实践中，通过图象建立模型，这也是动静结合法的典型体现.与此同时，学生需要借助已知条件分析图象，从中获取有益于解题思路的隐藏条件，这在潜移默化中考察了学习者的数学建模意识和逻辑推理能力.

2.3 理论与应用

众所周知，数学来源于生活，且回归于生活.“二次函数”作为初中数学课程中的一个重要内容，自然与日常生活有着紧密的联系.《义务教育数学课程标准》中明确指出，数学学科教学的最终目的是将知识内容实践于生活中，充分发挥出数学课程的价值.因此，教师在二次函数教学中，需要紧密结合相关的实践问题，促使学生将静态的理论知识应用到动态的生活实际中，从而促进学生的思维动静交替发展，为构建高效数学课堂奠定基础.

综上所述，教师在利用动静结合思想开展“二次函数”教学时需要以激活学生的思维为切入点，并将实践应用作为出发点，由此才能促进二次函数学习的顺利展开[1].

3 动静结合——“二次函数”的教学路径

3.1 依据静态抽象概念，打造动态生活情境

陶行知先生提出“教育是活的教育”，教育是生活的需要.二次函数概念具有较强的抽象性，倘若教师以单一的理论讲授法展开教学，不但会引起学生的抵触情绪，而且还会降低学生对数学知识的应用认知.因此，教师可以在函数概念教学的基础上引入动态的生活化内容，通过动态的生活情境化解抽象的定义内涵，由此有效激活学生的学习兴趣和动态思维.

以北师大版九年级数学下册第二章“二次函数”为例，在课堂导入环节，笔者引入生活化动态情境：

农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量为y台，农机厂水泵产量月平均增长率为x，那么y与x之间的函数关系如何表示呢？

计算物品产量是生活中十分常见的问题，学生会主动调取自己的生活经验与知识基础思考问题.发现学生毫无思路时，笔者应及时提醒学生依照正比例函数、反比例函数的列式经验推理出本例的关系式.当有学生列出的关系式中出现了x2后，借此契机在黑板上列出

y=50(1+x)2=50x2+100x+50

①

接着，继续引出生活化问题：将一根长20 cm的铁丝折成一个矩形，设矩形的一边长为xcm，矩形的面积为ycm2，则y与x的关系式又是什么呢？

通过上一个问题的铺垫，学生迅速列出

y=x(10-x)=10x-x2

②

这时，再引导学生观察①②式的共同点，在学生发现自变量的最高次数是2后，鼓励学生尝试运用以往的函数解析式经验列出与两道习题相关的一般形式.通过自主性的动态化探究，学生顺利列出y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数).

最后，笔者带领学生一起学习二次函数的定义与自变量的取值范围等内容.

通过创设生活情境，学生能够从动态的生活实际中自主提取出二次函数的定义，由此有效提升了学习质量[2].

3.2 引导动手作图分析，深化静态图形认知

二次函数图象平移问题在中考试题中出现的频次较高，其技巧性较强，平移的过程完全突出了动态思想.所以，教师在开展相关内容教学时可以引领学生自主作图，通过作图的方式，体会二次函数图象的性质，由此深化学生的作图能力和数形结合思想.

图1

在学生经历了运用描点法画二次函数y=ax2的图象后，笔者引导学生回顾一次函数y=2x与y=2x+1的图象的关系，唤起学生对“平移”的认知.接着，引导学生利用描点法作出二次函数y=2x2与y=2x2+2的图象(如图1所示)，并根据图象分析两者之间的关系.

接下来，要求学生根据静态图形分析这两个函数的开口方向、对称轴和顶点坐标的异同之处，并鼓励学生根据自身知识找出y=2x2与y=2x2+2的图象之间的关系.

在此基础上，继续提示学生从函数图象的开口方向、对称轴、增减性等角度进行思考.

学生通过动手绘制图象能够直观感受到点、线的平移方法.在问题层层解决的过程中，渗透动静结合的思想，引导学生在动手作图的基础上对两个图象进行对比分析，由此巩固学生动静结合的学习能力，促使学生深化对静态图形的平移认知[3].

3.3 结合实时动态讨论，促进函数静态应用

动静思维相互转化是二次函数知识学习的基本要求.二次函数是初中生今后学习函数的基础，所以动静结合思维的培养对初中生来说更加关键.小组合作模式是新的课程目标改革背景下，众多数学教师所倡导的小组合作模式，不仅可以将学生从被动的学习模式中解放出来，而且能够促使学生在自主探究中加强对知识的深层理解，从而营造良好的教学氛围.

在二次函数习题教学中，笔者依照学生以往的课堂表现、学习能力、学习成绩以及性格特点将学生划分为水平相当的几个小组，并告诉学生本节课以小组竞争机制展开，最快答对题目的小组将会获得精美小礼品.然后，提出问题：

已知二次函数y=-x2+ax(-1≤x≤1)，分别求下面三种情况下函数的最小值：

(1)a<-2；(2)-2≤a≤2；(3)a>2.

竞争机制的提出将会迅速引起各小组的动态讨论.针对学生讨论中的问题，引导学生分析自变量的范围，并且结合字母系数a的取值范围和二次函数图象的顶点进行分析.各小组在讨论中明确了解题方向，很快解决了问题.

小组合作的过程，不仅加强了学生的动态思维碰撞，而且点燃了学生的创新意识和合作精神，这与素质教育的核心理念不谋而合.在本节课教学中，笔者通过组织动态沟通交流，有效增强了学生对静态理论的认知及应用，从而构建了高效的二次函数课堂[4].

3.4 链接动态图象分析，提高静态解题能力

随着我国现代信息技术的快速发展，信息化教学手段为广大教育工作者提供了便利.在二次函数教学中，不论是数学建模，还是图象分析等，都离不开动态的图象分析.以往的数学教学中，教师常常采用板书画图的方式，不仅会出现作图误差，而且浪费了课堂教学时间.基于此，教师可以借助电子白板引领学生对动态的图象进行分析，这样不仅可以增强学生的直观认知，而且有助于培养学生的解题思维.二次函数中的动点问题常常作为中考数学的压轴题出现，所以教师在讲解动点问题时应当积极融入多媒体技术，使学生动静交替地看待问题，在思考探究的过程中逐步掌握以静制动的方式，从而有效提高学生的学习效率.

图2

本题是为后面重点内容作铺垫，笔者借助电子白板出示图象，引导学生在分析题目时熟悉图象.由于本题涵盖了锐角三角函数的性质，因此，提醒学生从抛物线对称轴和锐角三角函数性质思考.

通过自主思考，大多数学生有了解题思路.笔者带领学生共同梳理解题步骤，最后求出tan∠ACD的值.此时，学生的思维已经完全被调动起来.接着，引出本节的重点内容.

笔者利用电子白板继续出示图象(如图2)与例1的第(2)问：

(2)若动点P从点A出发沿着线段AB以1个单位长度每秒的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从点C出发沿线段CB匀速运动.请问，线段PQ是否能在某一时刻被直线CD垂直平分？若能，请求出此时的时间t(单位：s)和点Q的运动速度；如果不能，请说明理由.

该题是动点问题，引导学生将动静结合的思想作为切入点，分析静点与动点的关系，使学生明晰解题思路.通过分析静止条件和动点的运动轨迹，学生迅速发现本题的突破口.之后，利用电子白板依次展示学生的思路，并从多个角度动态分析.最后，带领学生一起梳理解题步骤：

设直线CD垂直平分PQ，连接DQ，利用∠PDC=∠QDC，PD=DQ，∠ACD=∠ADC可以得到∠ACD=∠QDC，从而可以得出t=5秒，线段PQ被直线CD垂直平分.再利用时间、速度、路程之间的关系便可以求到点Q的运动速度.

借助动态的图象帮助学生一步步地细致分析，促使学生明确每一步的含义，由此在无形中帮助学生提高了解决问题的能力[5].

3.5 利用静态问题引导，再探动态函数图象

二次函数与初中阶段的其他知识相比，除了表层知识的扩充，更多的是思维难度的上升，所以教师应当积极贯彻以学生为主体的教学理念.问题导学法能够有效激发学生的探究欲望，在问题的引导下，学生将主动走进数学世界，从而逐步提升学习效果.因此，在二次函数教学中，教师可以利用问题导学法唤起学生的互动意识，促使学生在静态的问题引导下呈现动态思维.

在确定的区间范围内二次函数最值问题分析的教学中，笔者采用循序渐进的问题不断引导学生展开分类讨论，在分析到区间范围限定部分时，及时引入二次函数的图象与性质.

例2求函数y=x2+2ax+1，在区间[-1，2]上的最小值.

想要解决本道题目，学生需要分析出该二次函数的对称轴.因此，笔者提出问题，引导学生思考：区间限定的划分依据是什么？这样一来，学生便会和二次函数图象的对称轴联系起来，并依照现有的知识基础迅速得出该二次函数的对称轴为x=-a.紧接着，继续抛出问题：当函数y=x2+2ax+1的对称轴在区间[-1，2]时最小值是什么？明显的提示使学生很快计算出-1≤-a≤2时，ymin=1-a2.在学生的思路被打开后，将时间完全交给学生，引导学生对函数对称轴处于区间右侧和处于区间左侧时的情况进行讨论，使学生在辩证分析的过程中形成分类讨论的意识，明确定区间的动轴问题，并加深了对二次函数图象性质的认知.

在整个教学中，始终借助问题驱动学生的动态思考，不仅建立了新型的师生互动，而且能够促使学生感受到解决数学问题的乐趣与成就感，从而夯实了动静结合课堂的构建[6].

4 结束语

总而言之，动静结合思想在二次函数的教学中起到了非常关键的作用.数学教师应当立足于学生实际，积极制定动静结合的教学方案，让学生在动静交替的学习状态下高效理解抽象的函数知识，从而构建高效初中数学课堂.