基于滑动DFT 复数LMS 的自适应尖刺消除方法

朱良峰，李鹏友，李 山

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0 引言

随着无线通信的发展，如今面向移动终端的射频集成电路设计需要支持的无线通信协议（如GSM、3G、LTE、Wi-Fi 等）越来越多，但其电路面积及功耗却需要为了用户体验而受到限制。当这些协议运行于不同的频段时，由于不同协议所属的模块相距很近，造成不同协议的中心频率对应的时钟谐波会泄漏并互相影响[1]，这被称为是尖刺干扰问题。这些尖刺可能会泄漏到锁相环中导致解调错误，使接收机的信干噪比下降8 ～10 dB[2]，甚至淹没于噪声信号之中。现实中有不少消除尖刺的方法，其中主动消除方法因其可在数字域进行消除，实现复杂度低而受到研究者的关注。主动消除法又包括陷波器法[2]和自适应滤波法[3]两种，文献[4]则表明这两种方法可以相互等价。文献[5-6]提出一种将最小二乘和DFT 相结合的算法，它提取每次DFT 后的基频形成新的时间序列，并利用新序列相邻数据的关系，对单频的复指数信号有更好的频率估计效果。本文我们将类似的思路应用于尖刺干扰消除的问题中，提出一种DFT 增强的LMS 算法（DFT-LMS）。我们推导并给出使用DFT-LMS 进行消除后的信干噪比的闭合表达式，并通过满足实际场景下的仿真证明了理论结果正确。

1 单尖刺模型及传统的LMS消除算法

在多协议的收发机中，离散时间形式下的观测信号d(n)由3 部分组成，包括：

其中x(n) ，b(n) 和s(n) 分别表示数据信号、加性高斯噪声和加性尖刺，三者之间假设互相独立。接收到的数据x(n) 和噪声b(n) 假设服从零均值的复高斯分布，方差分别为和 。尖刺s(n) 可进一步表示为：

其中 0ω是接收端已知的尖刺分量归一化后的标称频率；A表示幅度，ω表示实际频率与标称频率之间的微小频偏，ω≪ω0，两者均为未知参数。相位噪声φ(n)是一个布朗随机过程，它的修正公式可以表示为：

布朗运动的初值为φ(0) =0 ，ξ(n)为加性高斯白噪声，其方差21ξσ≪ 。根据公式（1），观测信号d(n) 的信干噪比可以表示为：

由于尖刺的标称频率 0ω已知，我们可以产生一个复指数信号u(n) 作为尖刺消除的参考信号，它可以表示为：

其中Rφ为初始相位。

文献[4]中使用了传统的LMS 算法用消除尖刺，其算法形式可表示为

其中e(n) 是补偿信号的误差，w(n) 和µ分别是LMS算法的权重系数和步长。

根据上述假设，e(n) 是一个近似的宽平稳信号。因此，可通过分析权重系数w(n) 的失调量v(n) 得到LMS 算法的渐进理论性能。

失调量v(n) 被定义为：

其中wopt(n) =s(n)/u(n)是理想权重，根据公式（8），LMS 算法的的输出误差也可以表示为

根据传统的LMS 算法的均方收敛性分析方法，我们可以得到稳态时失调量v(n) 的方差为：

其中1Q可以表示为：

根据公式9 和公式10，LMS 尖刺消除算法的信干噪比可以表示为：

2 DFT-LMS 尖刺消除算法由于标称频率0ω是已知的，我们可以将采样频率fs定义为，并对观测信号d(n) 进行N 点的DFT变换并提取变换后的基频分量d˙(k) ，d˙(k) 和d(n) 的关系可以表示为：

其中k是DFT 基频的时间索引。根据公式（1），(k)可以表示为：

经过计算可以得到的信干噪比变为了

最后，可以写出DFT-LMS 自适应尖刺消除算法的表达式[7-8]：

DFT-LMS 的失调量v˙(k)均方的迭代表达式为[9]：

其中 2Q和3Q分别在公式（19）和（20）中给出

因此，当k→∞时，v˙(k) 在稳态的方差可以从公式（18）得到

为了有效消除尖刺，并分析DFT-LMS 的消除效果，我们需要把e˙(k)重新变换到时域，得到尖刺消除后的序列e(n) 。这可以通过iDFT 操作得到，即：

3 仿真结果

我们以OFDM 系统的单尖刺消除问题为例，对LMS 和DFT-LMS 两个算法进行性能对比。仿真环境中，OFDM 的载波数量为64，每个OFDM 符号的循环前缀为16，每个子载波上发送的数据为QPSK 调制。OFDM 信号发射后经过了一个瑞利衰落信道[10-11]。在接收端，信号受到尖刺干扰，尖刺的基带等效的中心频率为f0=6 MHz。接收端的热噪声为加性高斯白噪声，信噪比 SNR=为10 dB。尖刺s(n) 和参考信号u(n) 的幅度分别为A=1 和B=1.3，初始的信干噪比设置为0 dB。所有给出的仿真结果都经历了1 000 次独立试验。

第2 组仿真，我们在不同的频偏ω和不同的相位噪声下比较了DFT-LMS 和LMS 算法相比在信干噪比上的提升值，用△SNIR=SINRDFT-LMS-SINRLMS来表示。从图2 和图3中可以看到，仿真结果和理论结果十分吻合，并且图2 表明DFT-LMS 算法对较小的频偏ω的消除效果更为明显。

4 结语

我们提出了基于DFT 增强的LMS 算法来解决多协议收发机中的尖刺消除问题。算法使用了滑动DFT 得到变换后的离散序列，并利用序列之间的相关性使用LMS 算法消除尖刺。我们研究了算法在暂态和稳态的性能，并证明其相对于LMS 算法在收敛速度和信干噪比上性能优势都很明显。我们使用了基于OFDM 系统的仿真证明了分析结果。