基于数学建模思想的“概率论与数理统计”课程教学探索

2022-08-17张红梅王文婷史诗洁

教育教学论坛 2022年28期

张红梅，王文婷，史诗洁

（深圳技术大学大数据与互联网学院，广东深圳 518118）

引言

数学基础理论是现代科技发展的基石，在高等教育中占有非常重要的地位。在应用型大学中，“概率论与数理统计”是一门重要的数学应用类课程。应用型大学的办学宗旨是培养应用型和创新型人才，在应用型大学中开设高等数学类课程，可以使学生将课堂学习的理论知识用于实际应用，即对实际问题进行数学建模，进而解决问题。这正是数学建模的研究内容。在高等数学中，“概率论与数理统计”是应用型极强的一门数学课程。但由于课程中涉及大量的“微积分”和“线性代数”等课程基础知识，理论性较强，对于工科生来说难度较大，一直以来被认为是工科高等数学中最难的一门课程。因此，如何将课程内容使学生容易接受并应用于实际，是一个重要的问题。笔者在从事“概率论与数理统计”课程的教学过程中，对课程的教学方法进行了长期探索，取得了一定的效果。本文以“概率论与数理统计”课程中的部分理论知识为例，总结在课堂教学时，如何利用基础理论知识表示和解释身边的实际问题，将数学建模的思想融入课程。本文将从以下两个方面展开：教学内容的趣味性和教学内容的实用性。

一、教学内容的趣味性

兴趣是最好的老师。对于数学类枯燥的课程，更需要激发学生的兴趣，以提升教学效果。在高等教育中，相对于其他数学类课程，“概率论与数理统计”应用范围更广泛，因此，有更多与我们生活息息相关的例子可供课堂教学使用。

（一）举例知识点：等可能概型

在学习等可能概型这部分内容时，首先提出两个学生感兴趣的问题：在茫茫人海中，想遇到与自己同月同日生的人，概率有多大？

趁学生对这两个话题产生感兴趣时，引入概率理论：等可能概型。给出等可能概型的计算公式：

为解决提出的问题，需要首先引入下面这个简单的摸球例子。

例1 将n只球随机地放入（≥）个盒子中，试求每个盒子至多有一只球的概率。

解：记A为每个盒子至多有一只球的事件，则

对上述问题进行引申：个人中至少有两人生日相同的概率。可视为将个人（球）随机放入365个日期（盒子）中。为了计算两人生日相同的概率，可以通过计算其逆事件的概率简化问题。首先计算n个人的生日各不相同的概率为

则个人中至少有两人生日相同的概率为

通过计算可知，取=23时，概率为0.5；取=100，可求得概率约为1。这也说明，“百里挑一”这句成语原来是有理论依据的呀！

（二）举例知识点：条件概率

在条件概率部分，除了条件概率这个知识点本身，还涉及与条件概率导出的几个相关公式：乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。这几个公式虽然均可由条件概率公式经相应的变形导出，但其在外形上相差很大，且都比较复杂。所以这几个公式如果直接向学生灌输，很难被理解和接受。兴趣是最好的老师，如果能通过学生感兴趣的事物引入这部分的理论和应用，定会使相应的理论容易被接受，并加深印象。所以在学习这部分理论时，首先通过一个熟悉的综艺节目引出问题。

例2 三门问题。在舞台中间有三扇门，其中两扇门后面写的是“羊”，一扇门后面写的是“车”。参与者有两次选择机会，最终选中的物品将归其所有。当参与者选中一扇门后，主持人打开另外两扇门中的一扇，结果是“羊”。问：参与者是否会选择换门？

解题思路不妨设1 号门后面是“车”，2 号和3 号门后面是“羊”。那么只有以下三种情况：（1）参与者选择了1号门，主持人打开的是2号门；（2）参与者选择了2号门，主持人打开的是3号门；（3）参与者选择了3号门，主持人打开的是2号门。

可以发现，在这个例子中，并未利用深奥的概率知识，只需常识即可得出结论。但是接下来引入与此例原理类似的问题——三囚犯问题，则需利用以上理论：条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。

凭直觉，大部分人会选择答案a，但这个答案是错误的。为什么？等这部分理论学完，答案自然水落石出，这就吸引学生继续听下去。这部分涉及以下知识点。

【定义1】设、是两事件，若()＞0，则

称为在事件发生的条件下事件发生的条件概率。

将以上公式变形，可得

()=()(|)

上述公式称为乘法公式。

【定义2】设试验的样本空间为，为的事件，，，…，为的一个划分，且(B)＞0(i=1，2，…，n)，则

称为全概率公式。

【定义3】设试验的样本空间为，为的事件，，，...，为的一个划分，且()＞0，(B)＞0，则

称为贝叶斯公式。

通过调用SQLite的C-API函数，实现了实时动力学仿真平台与SQLite模型数据库的连接，并且使用准备查询的方式，实现平台对模型数据库信息的读取和调用，为实现虚拟环境下模型的自动装配和实时动力学仿真奠定了基础，为实时动力学仿真提供了新思路。

依据以上理论，下面给出三囚犯问题的分析。设、、分别代表三囚犯被赦免的事件，为看守对说会被处死的事件。

已知()=()=()=1/3，求(|)：在看守说会被处死的条件下，被赦免的概率。这是一个条件概率问题，条件就是看守和说了会被处死这件事。

首先，按条件概率公式，有

其次，按全概率公式，有

其中，(|)：在被赦免的条件下，看守说被处死的概率。由于被赦免，看守可以说，也可以说被处死，因此概率为1/2；(|)：在被赦免的条件下，看守说被处死的概率，这是矛盾事件，因此概率为0；(|)：在被赦免的条件下，看守说B被处死的概率，由于被赦免，而且一定会处死，所以概率为1。

再代回条件概率公式（1），得

同理可得(|)=2/3。

也就是说，在询问了看守后，被赦免的概率没有提高，但是被赦免的概率却提高了！为什么会出现这样的结果呢？1/2为什么不对？吸引学生思考。然后再给出原因和推理。

二、教学内容的实用性

（一）举例知识点：随机事件

在讲随机事件知识点时，受新冠肺炎疫情影响，采用网络方式授课，所以以当时熟知的事件为例，学生很自然就接受了。

（二）举例知识点：数学期望

在学习数字特征的数学期望知识点时，恰逢所在市区组织全员核检，工作量巨大。为了提高效率，不再采取一人一试剂盒的单检方式，而是十人一试剂盒的混检方式。向学生提出问题：采用混检的方式有什么理论依据？引出下面的例题。

例4 对某群体（个人，很大）做疾病普查，可用两种方式：（1）将个人的血分别检测；（2）每个人一组混检，若混合血样呈阴性，不做处理；若呈阳性，再对k个人的血样分别检测。假设每人的样本呈阳性的概率为。试证明当较小时，选取适当的，按第二种方法可以大大提高检测的效率。

解题思路本题目考查该群体检测次数的期望值，即每人平均检测次数之和的期望。由已知，各人检测结果呈阴性的概率为=1-，则个人混合结果呈阴性的概率为q，呈阳性的概率为1-q（结合十人一组的核酸混检方式，这几个概率很容易理解）。设人一组时，组内每人检测的次数为随机变量，显然其分布律为

得的数学期望，即每个人需要检测的平均次数为

则个人需化验的平均次数为

在这个例子中有大量的公式，如果不结合实际问题，学生会很排斥。当结合身边的实际问题进行解释时，学生就很自然地接受和理解了。

（三）举例知识点：假设检验

假设检验是依据某种准则，利用样本的信息检验关于总体的假设是否正确，然后作出决策：接受还是拒绝。在假设检验的过程中，容易犯两类错误：（1）弃真错误；（2）取伪错误。显著性假设检验就是为了控制第1类错误而进行的假设和检验。只对犯第1类错误的概率加以控制而不考虑犯第2类错误的概率的检验，称为显著性检验。

在讲授这部分内容时，为了使学生理解两类错误和显著性检验，以常见的医学检测为例进行说明。在常规的体检或疾病筛查时，往往需要对患者的生物样本进行检测，在检测过程中可能会产生两类错误：（1）假阴性；（2）假阳性。对于这两类错误，控制假阴率的重要性远远高于控制假阳率，所以我们将重点放在控制第1类错误上，做显著性假设检验。