大气科学中数学物理方法课程教学内容体系构建的思考与探索

胡淑娟，周 天，张飞民，陈 艳

(兰州大学 大气科学学院，甘肃 兰州 730000)

数学物理方法课程是大气科学专业本科二年级重要的专业基础课程。通过对具体物理问题所满足的普遍物理规律进行定量化的数学模型描述(偏微分方程(组))，再结合问题具体的边界条件和初始条件，形成数学物理方程(组)定解问题，最后通过求解和分析定解问题，进一步深入理解具体物理问题的性质，具有很强的理论性和实用性。教学目的为培养学生应用所学的数学物理基础知识定量化地分析解决大气科学中相关数学物理问题的能力，为后续专业课程学习及科研和业务应用奠定坚实基础。

以往数学物理方法教材内容主要分为复变函数论和数学物理方法两部分内容。其中复变函数论以复变函数的微积分理论、级数理论及留数定理的介绍为主，而数学物理方法部分则在三类经典数学物理方程导出的基础上，注重介绍不同研究区域形状的数学物理定解问题的分离变数法与积分变换等常用的解析求解方法。另外，现有主流教材的内容和习题等均具有很浓厚的物理学科背景，专业针对性很强。在这样的教学内容体系下，大气科学专业的学生很难体会到数学物理方法课程的专业应用出口，同时更容易将该课程当作纯粹的数学物理课程，从而产生类似于高等数学和普通物理等课程学习的畏难情绪，使得该课程的“教”和“学”都不能实现预期的目的。

为了解决以往数学物理方法教学内容与专业需求结合不紧密以及学生的学习兴趣不够、针对性不强的问题，我们教学团队在多年教学实践积累基础上，充分融合团队成员各自科研方向的专业结合点，提出了具有大气科学专业应用特色的数学物理方法课程教学内容新体系，在确保教学内容的系统性基础上，强调数学物理特殊函数在大气科学中的应用，特别是球函数在大气科学数值模式构建中的重要作用，使学生切身体会数学物理方法在大气科学中的有趣、有学与有为。

一、教学内容的系统性

数学物理方法是一门广泛应用的成熟课程，它不仅要培养学生的数学物理基础知识应用的能力，还要培养学生的数学物理建模的逻辑思维。因此，在数学物理方法与大气科学专业应用相结合的过程中，一定要保持课程教学内容的系统性和完整性(图1)。

图1 教学内容的系统性

(一)复变函数基础知识

复变函数论是数学物理方程求解及解的性质研究的基础。由于大气科学专业本科生培养方案中没有专门安排复变函数课程的学习，所以该部分教学内容的安排需要在引导学生复习回顾高等数学的一元与多元实变函数微积分理论基础上，注重以解析函数为研究对象的复变函数微积分理论与实变函数微积分理论的对比讲解，强化学生对复变函数微积分理论体系的理解。关于复变函数微积分理论的应用方面，首先介绍幂级数理论，特别是解析函数的泰勒级数与洛朗级数，其次介绍基于洛朗级数理论所建立的回路积分留数定理，使学生深刻体会复变函数微积分理论的应用之美。

(二)数学物理方程与分离变数法

数学物理方程的导出及其定解问题的分离变数法是本课程的核心内容之一。

首先，通过详细介绍均匀的细弦(杆)和薄膜的微小横(纵)振动现象、扩散现象与热传导现象所满足的普遍物理规律的数学模型描述过程，得到三类经典数学物理方程，即波动方程、热传导方程与扩散方程以及恒定场问题的拉普拉斯方程与泊松方程。将定性的物理规律与定量的微分方程的各项相对应，在强调三类方程的物理意义基础上，训练学生利用数学物理基础知识进行定量化数学建模的逻辑思维。

其次，对于实际的具体问题，除了要考虑问题的普遍物理规律之外，还要考虑问题的特殊性，即问题所满足的边界条件和初始条件。也就是说，满足数学物理方程的解有无穷多个，而具体问题的解却只有一个，这个唯一的解需要利用问题的特殊性所决定的边界条件和初始条件，从方程的无穷多个解中去挑选出来。常把边界条件和初始条件称为定解条件，把数学物理方程加上定解条件所构成的整体称为定解问题。通过这样的系统化讲解过程强化学生理解数学物理方程定解问题的意义。为了进一步强化学生对具体问题的定解条件的数学描述能力，需要通过举例分析，将定解条件中的边界条件划分为第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件，并着重强调三类边界条件的意义。

最后，详细介绍三类经典数学物理方程定解问题的分离变数法求解过程，并强调分离变数法的物理意义。为了方便学生的理解，我们重点介绍定义在一维区间和二维矩形区域上的定解问题的求解过程，并分为以下几方面：(1)一维区间上的齐次方程、齐次边界条件的分离变数法求解；(2)一维区间上的非齐次方程、齐次边界条件的分离变数法与傅里叶级数法求解；(3)非齐次边界条件的齐次化处理过程；(4)二维矩形区域上的泊松方程求解。该部分内容着重强调分离变数法所引出的本征值与本征函数的物理意义，强调分离变数法与傅里叶级数法的关系，为接下来重点介绍的球函数与球函数谱方法做好铺垫。

(三)球函数谱方法

为了突出本课程的专业应用出口，关于大气科学专业特别关注的三维球体形状所对应的三类经典数学物理方程定解问题的分离变数法求解过程，需要单独成为一章内容去详细讲解。在此基础上，引出大气科学数值模式构建所需要的球函数与球函数谱方法。球函数谱方法介绍是本课程的另一核心内容，主要包括以下三个方面。

第一，球函数方程及球函数本征值问题。我们在给出球形区域上三类经典数学物理方程定解问题的基础上，通过将球面经纬度变量与时间变量及垂直高度变量相分离，给出球函数方程，再结合球面自然边界条件，形成球函数本征值问题。通过与一维区间和二维矩形区域上的定解问题的分离变数法求解过程相类比，强化学生对于球函数本征值问题物理意义的理解。再简单介绍物理学等其他学科常用的柱体区域上的三类经典数学物理方程定解问题及其分离变数法所引出的柱函数本征值问题，并对比分析柱函数本征值问题与球函数本征值问题及简单一维区间和二维矩形区域上的本征值问题的区别与联系。强化学生理解本征函数与具体问题的数学物理方程、研究区域形状及边界条件之间的关系，理解数学物理本征值问题的意义。

第二，球函数本征值问题的求解。通过分离变数法将球函数方程的经度变量与纬度变量分离，得到关于经度变量的二阶常系数常微分方程及纬度变量的勒让德方程和连带勒让德方程。再结合球函数本征值问题的边界条件，形成关于经度变量的本征值问题，是常见的二阶常系数常微分方程附加周期性边界条件问题；关于纬度变量的本征值问题是勒让德方程与连带勒让德方程分别附加球的南北极两点有界的自然边界条件。再利用无穷级数解法与变量代换法去求解这些本征值问题，依次得到本征值与勒让德多项式、连带勒让德函数、球函数等本征函数系。

第三，球函数性质与球函数谱方法。为了方便学生整理思路并系统认识数学物理本征值问题的性质，我们先将前面介绍的三类经典数学物理方程在一维区间、二维矩形区域及三维球体上的全体本征值问题统一归纳到施图姆-刘维尔本征值问题的框架下，再通过施图姆-刘维尔本征值问题的性质介绍，加强学生理解球函数本征函数系的正交性与完备性，进而理解以本征函数系为基函数的广义傅里叶级数的展开过程。最终引出球体区域上的球函数谱方法，给出球函数谱方法求解数学物理方程定解问题的具体步骤，并强调球函数谱方法在大气科学数值模式构建中的重要作用。同时，将球函数谱方法拓展至物理学等其他学科常用的柱体区域问题，提出柱函数谱方法思想，加强学生对数学物理特殊函数意义的理解。

二、教学内容的专业应用

本课程教学的主要目的之一是为后续专业课程学习打下坚实的数学物理基础，因此，在教学内容的系统性基础上，要加强课程的专业应用介绍(图2)。

图2 教学内容的专业应用

(一)傅里叶级数与谐波分析

实际大气具有显著的波动性，大气的波动性描述是大气科学核心专业课程动力气象学的重要内容，因此，为了和后续课程较好的衔接，我们重点突出傅里叶级数与谐波分析的物理意义介绍。

通过回顾弹簧振子的运动过程，给出简谐振动的位移随时间变化的表达式。再通过简谐振动在空间的传播过程描述，得出简谐波的表达式。简谐波是最简单的波动，若干个简谐波的叠加就能得到较复杂的波。把实际复杂的波表示成简谐波叠加的过程称为谐波分析，而谐波分析的数学表达式就是周期函数的傅里叶级数。通过强化傅里叶级数的物理意义介绍，使学生能有更好的兴趣开展本课程的专业应用。

(二)谱方法在大气科学中的应用

球函数谱方法是大气科学核心专业课程数值天气预报的重要理论基础，也是本课程第三个核心内容。为了与后续课程较好地衔接，同时也为进一步强化学生理解谱方法在大气科学数学物理方程求解及数值模式构建中的重要地位，我们在原有的课程内容基础上，新增加了谱方法在大气科学中的应用一章的内容。

首先，介绍正压涡度方程的低阶谱方法。通过介绍大气运动基本方程组的简化模型，即正压大气运动方程组与正压涡度方程，给出f 平面与β 平面正压涡度方程的定解问题。再通过介绍著名气象学家洛伦兹(1996年)关于f 平面正压涡度方程的低阶谱方法求解过程，以及低阶谱方法能保持原系统的一些守恒性不变的重要性质，使学生深刻体会谱方法求解数学物理方程定解问题的优越性。

其次，介绍正压涡度方程的球函数谱方法。当描述地球外的大气运动时，选取球坐标系是最合适的。因此，在求解球坐标系正压涡度方程定解问题时，选用球函数谱方法是最自然的。我们在讲解球函数谱方法的求解步骤时，特别强调正压涡度方程的非线性项的表示过程，使学生认真体会球函数谱方法在求解非线性方程时的技巧。

最后，介绍浅水方程组的球函数谱方法。由于浅水方程组是实际大气运动的最简化模型，所以，详细介绍浅水方程组定解问题的球函数谱方法有助于学生理解实际天气预报与气候预测数值模式的构建过程，为学习数值天气预报课程及未来从事科学研究和业务应用奠定基础。

总之，通过谱方法在大气科学中的应用章节的介绍，学生深刻体会数学物理方法课程在后续课程学习中的重要性，提升进一步学习的兴趣。

三、教学实践调研

基于上述，教学团队于2021 年12 月在兰州大学本科三年级和四年级学生中开展了围绕教学内容体系改革和建设成效的调研。选择以上两个年级的学生主要有以下四点考虑：(1)目前本专业在校且已修完该课程的学生中，仅有这两个年级；(2)本课程授课过程中，三年级学生采用新的教学内容体系，而四年级学生采用的是参考教材中的内容体系，正好形成对照；(3)参考本专业学生的培养方案，三年级学生在本调研实施期间已基本修完了部分重要的专业课程，四年级正是毕业论文设计阶段，两个年级学生对于数学物理方法在已修专业课程中的应用均已有所领悟。

本次参与调研的人数占所在年级总人数(均为145人)的比例分别为67%(三年级)和81%(四年级)。两个年级均有三分之二的学生参与了调研，共收回调查问卷214 份，调研结果具有较高的可信度。如表1 所示数据表明：两个年级中均有63%以上的学生希望数学物理方法课程的知识体系中能够融合更多的大气科学其他专业课程知识点内容。特别的，关于傅里叶级数与积分变换、二维流体运动的涡旋环流与辐散环流分解、正压涡度方程的球函数谱方法及浅水方程组的球函数谱方法等涉及重要专业应用的知识模块，学生对于它们的物理意义的理解和数学物理思想的掌握均很迫切。除了情景3，在其他三种情景中，四年级学生意识到更需要上述知识点强化诠释的比例略高于三年级学生，这可能与四年级学生已经完全修完三年级阶段的所有重要专业课程有一定关联。

表1 两个年级学生关于数学物理方法教学内容体系中关联并强化相关专业知识点的需求/%

此外，教学团队提出的教学内容体系改革以及配套教学方式的改革已初现建设成效。由于新的教学内容体系中融合了一定程度专业课程中的重要知识点，使得原有数学物理方法课程难度有所增加，这一点在“本课程的难易程度”问题反馈中也得到了验证，三年级学生认为该课程“难”的比例(58%)较四年级学生持相同观点的比例(45%)高出近14%。尽管如此，但学生对于这种新教学内容体系的认可仍然有较为显著的提升，主要体现在：(1)在“该课程与大气科学其他专业课程的联系紧密程度”问题反馈中，三年级学生持“较紧密”及以上观点的比例(71%)较四年级学生的比例(63%)上升了近8%；(2)在“球函数谱方法的掌握程度”方面，三年级学生掌握“较好”及以上水平的比例(44%)较四年级学生的比例(40%)上升了近4%。由此说明，新的教学内容体系及其配套的教学方式的改革能够更直接有效地保障学生后续专业基础课程的学习。

四、结束语

本文主要探讨了大气科学专业需求背景下数学物理方法课程教学内容体系构建的问题。指出数学物理方法课程教学既要保持教学内容的系统性与完整性，又要注重专业应用。在教学内容的系统性方面，主要包括复变函数基础理论、三类经典数学物理方程的导出及其定解问题的分离变数法与球函数谱方法介绍；在教学内容的专业应用方面，主要表现在强化分离变数法所导出的数学物理特殊函数的意义、傅里叶级数与谐波分析的物理意义及谱方法在大气科学中的应用。新的教学内容体系的实践，使学生不仅具备严谨的数学物理建模的逻辑思维能力，还具备本课程核心内容的专业应用能力，为后续专业课程学习及科学研究和业务应用奠定坚实基础。