反应谱性质及其与地震危险性分析的逻辑关联性探析

2022-08-14阙仁波厦门大学嘉庚学院土木工程分院福建漳州363105

安徽建筑 2022年8期

阙仁波（厦门大学嘉庚学院土木工程分院，福建漳州 363105)

0 引言

地震危险性分析是根据地震中长期预报所预报的未来地震发生的时间、地点、强度和概率来估计地震动参数的大小和发生的概率，并以此为指标进行地震动参数区划，将地震学对地震活动性的预报，转换为对工程抗震所需的地震动参数的预报[1]。以地震动参数区划图为上游标准，制定下游的不同行业的抗震设计规范[2]，为一般新建工程的抗震设计提供设计地震动输入。对于一般工程，结构工程师们一般直接按抗震设计规范，通过地震动参数区划和抗震场地分类来确定设计地震动输入[1,3,4]。如图1和图2分别为2020版公路桥梁抗震设计规范的设计加速度反应谱[4]和2016版建筑抗震设计规范的地震影响系数曲线[3]，除却阻尼比、场地系数和抗震重要性系数，为确定地震作用，只需确定参数A(水平向基本地震动峰值加速度)、αmax(地震影响系数最大值，即归一化的设计加速度反应谱最大值)和Tg(特征周期)，而它们是根据地震动参数区划图[5]，并结合行业特点而确定，且已以表格的形式呈现，直接取用即可。

图1 设计加速度反应谱

图2 地震影响系数曲线

尽管如此，若能更进一步了解作为抗震设计规范制定依据的地震动参数区划原理和作为地震动参数区划依据的地震危险性分析原理，则可加深对结构抗震设计规范条款的理论之所以然的理解。而该过程中，深化对作为地震危险性分析终点输出和作为抗震设计起点输入的反应谱的性质的理解，是关键。

鉴于此，本文将对反应谱的性质及其与地震危险性分析的逻辑关联性，进行系统性梳理、严密性推导和深入性分析，以期有助于更深入地解读地震动参数区划图和抗震设计规范的相关编制原理。

1 设计地震动输入的形式

地震是以地震动的形式作用于结构的，即作用量是运动量—加速度、速度和位移，而非动力量，尽管亦可形式地将加速度转化为惯性力看待。地震动的三要素为强度、持时和频谱，而结构对地震动激励的响应，一方面，取决地震动的三要素，另一方面，取决于结构的自振频率、振型和阻尼比。激振频率与自振频率之比，和阻尼比一起，一方面影响动力放大系数，另一方面影响相位即响应对激励的滞后性。由此可见，地震动三要素大小的不同组合，对不同结构有不同的影响。要完整地表征地震动特性，需包括三要素，比如地震动时程，但大多数地震动参数，要么只反映两个因素，要么只反映一个因素。设计地震动输入包括时程输入和谱输入[6]，但鉴于时程分析的复杂性，对于一般结构，大多采用谱输入中的反应谱输入。反应谱，一方面具有结构反应的含义，体现了结构振动特性与地震动特性之间的关系，可代表结构某一振型的特性，对于弹性体系，以反应谱作为输入，采用振型分解反应谱法即可确定地震作用，此乃抗震设计规范中设计一般结构时所采用的方法[3,4]。另一方面，若给定单自由度体系的频率和阻尼比，则相比地面运动参数，它提供了与结构反应有关的更有意义的地震地面运动特性，反映了具有指定阻尼比和频率的单自由度体系对地面运动的反应程度，而地震动参数可看作特殊形式的反应谱。鉴于此，本文后续将以反应谱作为分析对象。

2 基于四向对数反应谱图对反应谱性质的梳理、推导和分析

反应谱是在无限刚性地基假定下由单自由度体系的地震反应分析求得的，自由场不存在土—结构的相互作用[7]，地震反应的强度和频谱只取决于地震动的强度和频谱、体系的自振频率和阻尼比。

以Spa(Sa)、Spv(Sv)和Sd分别代表(拟)绝对加速度反应谱、(拟)相对速度反应谱和相对位移反应谱；

以PGA、PGV和PGD分别代表峰值地面加速度、峰值地面速度和峰值地面位移；T和ζ分别代表单自由度体系的自振周期和阻尼比，则：

上述关系类似于单自由度体系受简谐激振时的速度峰值与位移峰值和加速度峰值之间的关系。

Hudson证明[8]：除非T非常大，

Spv(0,T)≅Sv(0,T)，但ζ≠0 时，Spv(ζ,T)与Sv(ζ,T)差别可能较大。而当0 ＜ζ≤ 0.2时，Spa(ζ,T)与Spv(ζ,T)近似满足：

Sd、Spv和Spa分别与地震动引起的体系的变形峰值、应变能峰值(地震输入体系的能量)和基底剪力(或等效静力)峰值相关，具有明确的物理含义[9]。

由式(1)和式（3）可得[8]：

由式(4)和式(5)可见：若分别以lgSpv和lgT为纵坐标和横坐标，则对应于一固定的lgSd值，lgSpv-lgT为斜率-45°的直线；而对应于一固定的lgSpa值，lgSpvlgT为斜率+45°的直线；再注意到从体系振动的物理意义出发要满足的两个极限条件：①对无限刚的体系(T→0)，它与地基同步加速，故：

②对无限柔的体系(T→+∞)，它与地基完全隔震，故：

可见，PGA和PGD亦相当于一种特殊的反应谱。由上述几点，可在图3中，采用四对数坐标系，在一条曲线上说明Spv、Spa和Sd三种谱，该方法是 1960 年A.S.Veletsos和N.M.Newmark首次提出[9]。N.M.Newmark和W.J.Hall于1982年给出了在该坐标系中由PGA、PGV和PGD分别乘以动力放大系数αA、αV和αD来构建三个Spa=常数、Spv=常数和Sd=常数的平台及弹性设计谱的方法，分别如图3中的bc、cd、de和gabcdefh所示[9]，它们相当于实际反应谱经平均平滑处理后的结果，其中ga和fh段分别为考虑式(6)和式(7)的结果，从a到b段可用于考虑从刚体的同步加速到变形体的非同步加速时加速度放大系数随刚度降低而增大的情况，从f到e段可用于考虑从无限柔到有限刚时位移放大系数随隔震程度减弱而增大的情况。计算αA、αV和αD的经验公式，表述为以ζ为自变量的函数，对应于ζ=5%的值如表1所示。

图3 四对数坐标反应谱图

动力放大系数值[9]表1

由上述弹性设计谱的构建方法可见，短周期段主要决定于PGA，中长周期段主要决定于PGV，长周期段主要决定于PGD，分别将它们称为加速度敏感区、速度敏感区和位移敏感区[9]。地震强度PGA、PGV和PGD分别决定了Spa、Spv和Sd的平台值大小。

由图3可见，拐点周期Sc和Td决定了Spa、Spv和Sd平台的宽窄，反映了地震动最大值的频段含义[10]。

由式(5)在图3中c点处的关系可推导得：

由式(4)和式(5)在图3中c点和d点的关系可推导得：

由式(8)和式(9)可推导得：

3 抗震设计规范中反应谱性质的体现

根据图 3，并结合式(4)、式(5)和式(8)，可推导得Spa的ab段、cd段和de段在普通线性坐标系中的方程分别为：

对于ab段，若取表1中的αA=2.71，则Spa=PGA(11.56T0.7)，为非整数次幂函数；若改用线性变化，则可推导得Spa=PGA(18.06T+0.45)，将两者及其差值在1/33≤T≤1/8的变化绘于图4中，可看出两者的差别非常小，前者接近线性变化，故实际中该段一般采用线性假设，如图1和图2中的起始段。该段主要用于考虑刚度较大的结构在远震、大震和场地土较软时，由于激振频率与自振频率相隔较远从而动力放大系数较小的情况。

图4 ab段线性变化与非整数次幂变化的对比

由式(12)可见，cd段从c点开始按Tc/T衰减。图1的衰减模式即如此；图2中，幂次下降段在ζ=5%时按(Tc/T)0.9衰减，与该种衰减模式亦较接近，衰减指数γ主要用于考虑阻尼的影响，为防止对长周期时地震作用的低估，5Tg～6s段改用下降较缓和的直线段，而非按式(13)中的(1/T)2衰减。

4 工程地震学中反应谱性质的体现

在图3中，由PGD=常数、PGV=常数和PGD=常数组成的虚线所代表的谱，可看作地震动未经结构虑波前的结果[10]，用与式(8)、式(9)和式(10)的相同的方式推导可得：

对于包括不同频率的地震运动而言，T1可解释为等效简谐波周期，以反映地震动的优势周期[10]。Seed和Idriss曾建议了不同场地条件下T1的值，它与震级、距离和场地有关[11,12]。(PGA)(PGD)/(PGV)2可用来表示地震波的零乱性，当它等于1时，即为简谐波[10]，此时T1=T2，PGV平台宽度为零，此时相当于只有一种周期的波，而该周期大小由式(14)决定，但对于地震波，不大可能是单一周期的，但它可体现优势周期。由此可见，ij的宽度体现了地震动所含频率成分的多寡。

由式(8)～(10)和式(14)～(15)可推导得：

Δω1=2π/Tc-2π/T1和 Δω2=2π/Td-2π/T2可看作结构振动对地震动的移频作用，它们取决于放大系数，而放大系数主要取决于频率比和阻尼比。

由上述对式(15)的讨论的启示，Td/Tc亦可用来表示结构振动的零乱性，当它等于1时，即为简谐振动，此时Tc=Td，Spv平台宽度为零，此时相当于只有一种周期的波，而该周期大小由式(8)决定，但对于地震反应，不大可能是单一周期的，但它可体现与优势振型对应的优势周期。由此可见，cd的宽度体现了结构振动所含频率成分的多寡。

若Td/Tc=T2/T1=1，即地震动激励和结构响应皆为简谐的，该种情况，必须两者的相位差在0°、90°和 180°时才可能发生。由式(18)可得：

场地之对基岩地震动，类似于结构之对场地地震动，均相当于有移动窗的滤波器。基岩地震动主要受震源和路径的影响；场地土质或地形对基岩地震动起到选频放大、衰减滤波或激发新波的作用，从而使得基底地震动是基岩地震动经场地土质或地形调幅调频后的结果，而单自由度体系再对基底地震动进行调幅调频，从而使得产生的反应谱是基岩地震动经过两次调幅调频后的结果。故震源、路径和场地的综合影响直接体现在图3中的gaijfh上，进而再综合结构的影响，体现在gabcdefh上。在GB18306-2015中采用调幅亦调频的双参数调整方法来考虑场地效应[2]。在图1和图2中，在同等强度情况下，从小震、近震和硬土到大震、远震和软土，Tg增大，反应谱从窄谱变到宽谱。

5 设计反应谱的构建与简化方法

由图 3可看出，在Ta、Tb、Te和Tf选定的情况下，若再根据大量统计得出αA、αA和αV的分布值(比如表1所示)，则为了构建弹性设计谱，ad段只需Tc、PGA和PGV中的两个参数，这亦可从式(8)中看出，即只有两个独立参数；de段只需Td和PGD中的一个参数，这亦可从式(8)和式(10)中看出，即只有一个独立参数。综合可知，总共只有三个独立参数。

若对反应谱的形状作某种假定，则可进一步简化它的独立参数，如图1和图2所示。由式(6)可知，只有绝对刚体才满足Spa=PGA，故一般不考虑图3中的ga段，可修改并令Ta=0；加速度最大值来自高频地震动，周期远小于0.1s[1]，可修改并令Tb=0.1s。图1将图3中c点以后直至10s的部分按式(12)的方式衰减，而图2将图3中Tc～5Tc的部分按接近式(12)的方式衰减，将衰减指数从1改为依赖于阻尼的函数，而之后直至6s段，则假定为直线变化。经该处理后，独立参数均只有两个，即A和Tg、αmax和Tg。

由于位移敏感区主要是对长周期结构影响比较大，比如由波传播过程中的行波效应、相干效应和场地效应所致的不均匀地基变形对直埋管的影响、支点差动对多支点大跨超静定结构的影响等，而对于一般结构，可只考虑加速度敏感区和速度敏感区[10]，又如式(8)所示，αAPGA、αVPGV和TC只有两个独立，故可简化。

如图5所示，1978年美国规范ATC-3分别将ζ=5%时的Spa和Spv在0.1s≤T≤0.5s之间和T=1s附近平均为一常数，并分别定义有效峰值加速度与有效峰值速度为：

图5 由反应谱确定aE和vE

其中，2.5代表放大系数的经验值，如图3中的αA和αV，在表1中，它们平均值+1个标准差的结果分别为：2.71和2.3，较接近2.5，而在图1和图2中，放大系数分别为2.5和2.25。在定义了αE和vE后，用它们共同标定反应谱，αE控制加速度敏感区，vE控制速度敏感区，二者之比控制两者交界处的拐点周期：

按场地类别给出调整系数，根据地震危险性分析或由其分析成果之地震动区划图确定αE和vE[1,10,12]。“有效”的概念主要是从对结构地震反应有明显影响的角度来说，要高于某个阈值，但亦要剔除孤立高频地震波所致的过高的峰值加速度，因为加速度最大值来自高频地震波，而最大加速度脉冲对于周期比它长的结构而言，其作用相当于给结构一个初始动量，由于作用时间短，该动量不大，对结构影响小，要避免由它引起的对峰值加速度的高估[1]。

上述构建和简化设计反应谱的思想，成了许多抗震设计规范参考的典范，进一步，可将三个独立参数简化为两个。由 (22)可见，aE、vE和Tg中只有两个独立参数，故可只采用aE和Tg的组合来标定反应谱，分别表征强度和频谱，此亦即GB18306-2015所采用的方法[5]。若将Tc之下标c看作是代表英文corner之含义，则亦可将之换成g，即代表中文guaidian之含义，即Tc和Tg都可用来表示第二拐点周期，后者乃图1和图2中的用法。