基于专业认证的高等数学课程混合式教学模式构建

张敬，周莉，田巍，芦雪娟

（齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）

专业认证是国际通行的工程教育质量保证制度，我国进行的专业认证是由中国工程教育专业认证协会对高等学校开设的本科工程类专业开展的以培养目标和毕业要求为导向的合格性评估.专业认证在人才培养的各个环节中积极倡导学生中心（SC）、产出导向（OBE）和持续改进（CQI）三大核心理念，它的开展无疑会促进工程教育改革的深入发展和工程教育质量的进一步提升，使工程类专业毕业生达到行业认可的质量标准，同时也为实现工程教育和工程师资格国际互认奠定重要基础.

高等数学作为工程类专业的基础必修课程，在工程人才培养过程中发挥着重要作用.如在化学工程与工艺专业的培养目标中，利用自然科学和专业知识进行工程技术开发工作及具备信息分析、数据处理、测试检验和结果评价的能力均与高等数学课程密切相关.在该专业的专业认证标准中涉及2条标准与高等数学课程有关，标准1：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题；标准2：能够应用数学和自然科学基本原理，并通过文献研究，识别和表达分析复杂工程问题，以获得有效结论[1].由此可以看出，化学工程与工艺专业学生不仅要具备扎实的高等数学知识，而且还要能够理论联系实践，具有运用这些知识解决实际问题的能力，这对高等数学课程的教学提出了更新更高的要求.

然而化学工程与工艺专业高等数学课程的教学与专业认证对课程的要求却存在着差距.主要表现为任课教师没有深刻理解专业认证的理念与意义，在教学中仍然采用 “理论+证明+解题”的教学模式，只注重知识结构的逻辑性和系统性，强调解题的能力和技巧，弱化了学生应用能力的培养.课程的教学内容缺乏与专业知识的相互融合，缺少工程专业背景下的实例分析，造成了高等数学教学与工程教育的脱节.以教师为主导的课堂讲授模式和单一的考评标准使教学陷入枯燥乏味的氛围，难以达到良好的教学效果.许多学者针对专业认证开展了高等数学课程教学的深入研究[2-6]，本文结合齐齐哈尔大学化学工程与工艺专业的高等数学课程教学实践，对线上线下混合式教学模式进行了探索.将线上线下混合式教学模式与化学工程与工艺专业的实际特点相结合，对教学内容、教学方法和考核方式进行了适度改革.通过建立线上教学平台，多方位为学生提供丰富的优质教学共享资源，更好地培养学生的自主学习能力和合作探索精神，线下课堂教学有针对性地对教学内容采用讨论式和翻转课堂等灵活多样的教学方式，将传统意义上的枯燥课程变成特色课程，进而增强学生课程学习的效果，提升其工程实践创新能力，达到专业认证对学生的要求.

1 高等数学课程混合式教学模式的构建

线上线下混合式教学模式基于课程网络平台，融合课堂教学的传统学习方式和在线学习的网络化学习方式，线上线下的联动既发挥了教师引导和监控教学过程的主要作用，又充分体现了学生作为学习主体的主动性、积极性和创造性.高等数学课程的线上线下混合式教学模式是将教学过程设计为课前预习、课堂互动、课后检验和课程拓展4个环节，每一环节均有合理且可操作的实施步骤（见图1）.

图1 高等数学课程线上线下混合式教学模式

在课前预习环节中，要求学生在课前进入教学平台，在线领取由教师提出的预习任务单，明确预习目标和预习任务；然后根据预习任务在平台教学视频栏目中按照章节知识点目录找到相应视频并进行在线学习，学习后在教学视频下进行讨论，提出疑难问题.

在课堂互动环节中，学生需要以小组为团队选派代表进行预习汇报，检验预习成果；教师结合学生在教学视频下面提出的问题和发表的讨论对存在疑问的教学内容进行注释和分析说明；随机抽取团队代表对典型训练题目在黑板上进行演练讲解并由师生共同进行讲评.在整个环节中师生可以互提问题，共同研讨辩论，最终进行内容总结，形成脉络图.

在课后检验环节中，学生需要对自己或其他同学在教学视频下发表的讨论问题做出解答，加深对知识的理解；完成教师布置的课程作业并在平台上提交；完成在线测试考核，检验和巩固所学内容.

在课程拓展环节中，学生可以各取所需，利用平台优质丰富的各类学习资源，不拘泥于课程教材的内容，自主选择学习的深度和广度，既可以团队合作完成用高等数学知识解决专业的实际问题，又可以为参加全国大学生数学竞赛做好准备，为参加研究生入学考试的数学科目奠定坚实基础.

2 高等数学课程混合式教学模式的实施重点

2.1 建设高效实用的高等数学课程平台

学校的网络课程平台是与清华大学教学技术研究所合作建设的，主要包括教学管理、课程建设、随堂教学和学习分析等模块，早期建设中上传了教学大纲、教学日历、教学笔记、分章练习题目和解答等教学资源，方便学生课后查找使用（见图2）.为发挥好课程平台在线上线下混合式教学模式中线上部分的作用，进一步开展对平台的全方位建设.首先，在课程建设模块中对学习单元栏目进行细化建设，建立与高等数学教材章节名称相同的子目录，并在每一子目录下设置预习目标、预习任务、教学方案、教学PPT 课件、教学重点及难点、考核要求、常见问题及解答、思考题目和课程作业等栏目，尤其是分课时的教学方案设计以及本节知识在未来哪些专业课程中应用的说明，使学生对应该学什么、怎么学、在哪用和达到什么要求有清晰明确的认知；其次，以知识点为主题精心录制课程教学视频近百个，按照章节目录顺序创建视频学习模块，使学生可以迅速找到课程所有知识点的教学微视频；最后，结合教学内容精心选题建设在线测试题库，进行在线测试时利用试题库可以方便高效地随机组题（见图3），为学生学习检测和过程化考核提供便利[7].

图2 课程平台中课程建设模块的课程资源

图3 利用试题库随机组题进行的在线测试

此外，还增设了课程拓展模块，考研数学模块里有考研数学大纲和复习资料以及近年来的考研真题与解析；数学竞赛模块里有培训教材以及校、省和国家层级的历年高等数学竞赛题目的分析解答.

2.2 结合专业需求优化教学内容并构建工程案例库

专业认证对各类课程的学分比例有明确规定，高等数学课程教材内容多但课时有限.鉴于化学工程与工艺专业学生并非所有高等数学知识都需要全面细致掌握，对课程知识点在后续专业课程中需求的深度与广度进行了分析，发现在物理化学、化工原理、化工工艺学以及化学反应工程等多门核心专业课中都对一元函数y=f(x)的微分和积分、二元函数z=f(x,y)的全微分以及一阶微分方程y′=f(x,y)和二阶微分方程y′′=f（x,y,y′）求通解和特解的方法要求较高，而函数极限作为高等数学的研究工具只要能够使用即可，而多元函数的重积分和曲线曲面积分几乎无涉及，以此为据优化教学内容，做到教学重点有的放矢，为后续专业课程学习奠定高等数学知识基础.

以化学工程与工艺专业人才培养方案中明确的行业发展需求为导向，注重把高等数学课程理论知识与学生专业实际相结合，通过与专业课教师研讨交流和调研毕业生在工作中接触到与高等数学课程相关的实际问题形成案例.

案例1为了便于储运，需要将天然气先制成液化天然气，对于储运中储罐的体积V和罐体材料所承受的压力P，需要通过P-V-T关系来进行设计.

案例解析由于高温高压下P-V-T数据测定不仅技术困难而且也相当危险，需要用数学的方法解决.状态方程的解析形式为f(P,V,T)=0，其中理想气体的状态方程为，虽然简捷但不适合真实气体，适用的范德瓦尔斯状态方程却含有参数a和b，可以用高等数学知识求出参数a和b.应用临界等温数学特征：临界等温线在c点的斜率与曲率等于0，即对摩尔体积的一阶和二阶偏导数等于0，有，其中：Tc，Vc分别是物质呈现气液平衡时的最高温度和体积，由方程组，可解得.一般由于cV的实验值误差较大，将所求得的a和b代入范德瓦尔斯状态方程，得到方程常数的常用形式，其中cP是物质呈现气液平衡时的最高压力，从而可以用范德瓦尔斯状态方程计算所需体积V和压力P数据.

在教学过程中经常讲授这类工程案例，让学生能够真正体会到所学的抽象理论知识可以解决本专业实际问题，进一步完善教学内容的实效性，提高高等数学课程与学生专业的融合度[8].

2.3 以问题为载体促进师生线上线下全方位互动

充分运用多媒体、优秀慕课和自制教学微课视频等现代化手段与资源增大课程教学的信息量，并且根据教学内容采用讲授式、讨论式、案例式和翻转课堂等灵活多样的教学方法[9]，将线上教学与线下教学有机结合，改变以往教师讲学生听的传统教学模式，让学生带着预习时产生的问题走进线下课堂，并通过师生实时互动得以解决，教师再进一步提升问题难度，与学生一起继续深入探索，将枯燥的课堂变得气氛活跃，富于挑战性，激发学生的学习兴趣和探索欲望，增强学生的自主学习能力.

精心选择具有工程背景的实例渗透数学建模思想，如溶液混合问题，若酸性溶液注入清水后，在随时保持溶液均匀和容积V不变的条件下，可建立酸性浓度y和清水总量x的微分方程模型，这是可分离变量方程；若容器内有100 mol质量浓度为0.1 g/mol 的盐水，以5 mol/min 的速度注入质量浓度0.01 g/mol的淡盐水，同时以 2 mol/min 的速度抽出混合盐水，可建立容器内盐含量x变化的数学模型，这是一阶线性方程的初值问题.一维均介质稳态导热问题中，若介质一端绝热而另一端恒温为1T，温度T与介质长度x的二阶微分方程边值问题模型为.丰富线下课堂教学内容，加强学生对专业实际问题建立数学模型的过程体验，引导学生通过建立数学模型来分析和解决专业实际问题，培养学生运用高等数学知识解决实际问题的能力.

充分利用网络课程平台的沟通便利优势，打破时间与空间的限制随时进行线上答疑讨论，让学生感受到教师和课堂无处不在，形成师生之间实时交流的良好氛围.

2.4 在教学内容中渗透思政教育实现课程价值引领

深入挖掘课程中的思政元素，结合教学内容融入社会热点问题，潜移默化地培养学生的爱国情怀和工匠精神，实现课程思政的使命与担当[10].

在引入导数概念时教材以非匀速直线运动物体的瞬时速度为引例，在教学中可将其设定为神舟飞船发射升空的瞬时速度，在学生理解瞬时速度含义的同时，介绍近年来我国在航天事业上取得的辉煌成就，强调关键科学技术在当前激烈的国际竞争环境中的重要作用，激发学生的爱国情怀.在讲授函数微分时，利用自变量的变化对函数变化的影响作用说明新冠疫情发生后响应号召居家防疫和接种疫苗的重要性，每个人对抗击疫情的贡献看似不大，但个体的变化对大局可以产生重大影响，正是由于每个公民的积极响应配合，国家才能够取得疫情防控的胜利，强化学生的公民意识，引导其自觉维护国家利益.在讲授泰勒公式用于误差计算时，举例港珠澳大桥建设中对接误差需要控制在2 cm 以内，面对如此高的精度要求，项目团队经过上百次试验研究和实战演练，终于严格控制住了误差，正是这种精益求精的敬业精神让港珠澳大桥的建成令世界瞩目，帮助学生认识到工匠精神的重要性，鼓励学生提高知识能力素质，担负起国家建设的重任.

2.5 加强线上线下全过程考核形成科学的多元化评价体系

高等数学课程采用线上线下混合式模式教学，课程考核评价则必须采用多元化考核办法，注重形成性评价和成绩构成的多样性，加强线上和线下活动的全面考核，建立更加客观科学的评价体系.

课程考核采用平时形成性评价与期末终结性评价相结合的方式，与传统评价方式相比较，增大平时成绩的比重，强化过程性考核.总成绩由平时成绩、期中成绩和期末成绩3部分组成，其中平时成绩占比40%，覆盖课前活动、课堂活动、课后作业和过程化考核.线上活动占比20%，考核包括观看教学视频6%，参与在线讨论4%，阶段性在线测试2次成绩各5%；线下活动占比20%，考核包括出勤考核4%，团队预习成果汇报3%，师生研讨辩论发言3%，以小组为团队的典型题目讲练5%，课后作业成绩5%.期中考试成绩占比10%，期末全校闭卷统考成绩占比50%.其中线上阶段性在线测试是利用课程平台中自建的试题库进行组题，在网上限定时间答题，系统实现自动阅卷，随时可查看分数.各种考核成绩采用百分制，然后按比例进行换算，客观科学，公正合理.

这种多元化全方位的评价体系，改变了部分学生期末突击复习的不良学习方式，鼓励学生循序渐进地掌握课程知识，引导学生积极主动学习，增强学生团队合作意识，促进学生认证要求所需的知识、能力与素质协调发展.

3 高等数学课程混合式教学模式的实践效果

在化学工程与工艺专业部分班级进行了4 年高等数学课程线上线下混合式教学模式实践，线上课程平台中学生在线学习时间、下载资源数和参与问题讨论次数等数据都在逐年增长，尤其是参与问题讨论人均次数增速明显，见表1.

表1 2018—2021 级课程平台中学生参与问题讨论人均次数

线上线下的联动融合对学生期末成绩和课程目标达成度的提高起到了保障作用（见表2）.

表2 2018—2021 级学生期末成绩与课程达成度

由表1～2 可以看出，学生对这种教学模式认可度和参与度不断提高，他们在线上平台使用各种教学资源，完成教师布置的各种学习任务，带着问题在线下课堂进行学习和交流讨论，将知识深入拓展并应用于专业实际，不仅提升了学习高等数学课程的自觉性和主动性，而且也为专业后续课程的学习奠定了坚实的数学基础，同时创新思维能力和运用数学知识分析解决实际问题能力以及团队合作能力都得到了培养和提升.

由于在高等数学课程中进行线上线下混合式教学模式的积极实践，课程在2020 年被黑龙江省高校优质课程联盟评为黑龙江省线上线下精品课程.

4 结语

以专业认证的三大核心理念为导向，以改善学习效果和工程实践能力为目的，结合课程性质和专业实际，构建了以学生为中心，教师为教学活动的引导者和推动者的高等数学课程线上线下混合式教学模式.这一教学模式的实施提高了高等数学课程的教学效果和学生的综合成绩，提升了学生的自主学习能力和团队合作意识，对专业认证起到了重要的支撑助力作用.