一致分数阶积分的Hermite-Hadamard型不等式及差值估计

曾志红，时统业，曹俊飞

（1.广东第二师范学院 学报编辑部，广东 广州 510303；2.海军指挥学院，江苏 南京 211800；3. 广东第二师范学院 数学学院，广东 广州 510303）

1 引言和引理

设f是[a,b]上的凸函数(即对于任意x,y∈[a,b]和任意λ∈[0,1]有f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y))，则有著名的Hermite-Hadamard不等式成立：

关于Hermite-Hadamard不等式的改进、推广和加细可见文献[1-3].

利用一阶导数可估计由式(1)生成的差值[4-5].

文[6]引入一致分数阶导数和一致分数阶积分的定义.

定 义1[6]设0<α≤1，f:[0,∞)→R在点t>0处的一致α分数阶导数定义为

如果f在某个区间(0,a)是一致α分数阶可导的，且存在，则定义

当f在点t处可微时，Dα(f)(t)=f′(t)t1−α.如果f在区间I上每一点处的一致α分数阶导数都存在，则称f在区间I上是一致α分数阶可微的.

定义2[6]设0<α≤1，0≤a

存在，则称f在[a,b]上是一致α分数阶可积的.

引理1[7]（一致分数阶积分分部积分法）设0<α≤1，0≤a

定理1[8](一致分数阶Hermite-Hadamard型不等式)设α∈(0,1]，f:[a,b]→R一致分数阶可微，

（1）若Dα(f)(t)单调增加，则有

（2）若Dα(f)(t)单调增加，f单调减少，则有

定理2[11]设α∈(0,1]，0

引理2[11]设α∈(0,1]，0

文[11]给出了由式(4)的左边生成的差值的估计，本文将给出这个差值的新的估计.

引理3 设α∈(0,1]，0≤a

证明 由引理1有

将式(6)与式(7)相加，则式(5)得证.

2 主要结果

定理3 设α∈(0,1]，0

证明 利用引理2，有

式（8）的左边不等式得证.

由f的凸性及αbα−1(b−a)≤bα−aα≤αaα−1(b−a)，有

式（8）的右边不等式得证.

注1 式（8）的左边不等式是式(4)的左边不等式的加强.事实上，由贝努利不等式，对任意有xα≤1+α(x−1)≤1−αx，故有

注2 式(8)的右边不等式与式(4)的右边不等式各有强弱.事实上，当αaα−1≥bα−1时，有

定理4 设α∈(0,1]，0

利用微分中值定理，存在ξ∈(a,b)，，使得

(i)当f(b)≥pf(a)时，有a≤c1≤d，c2≥b，由引理3有

对任意t∈[a,c1]，有，由的凸性有

对任意t∈[c1,d]，有，由的凸性有

对任意t∈[d,b]，有，由的凸性有

综合式（10）～（13）得

（ii）当f(a)

对任意t∈[a,d]，有，又由的凸性有

（iii）当max{q,r}f(a)≤f(b)

（iv）当qf(a)≤f(b)≤rf(a)时，有d1≤0，d≤c2≤b，由引理3有

对任意t∈[d,c2]，有，又由的凸性有

对任意t∈[c2,b]，有，又由的凸性有

（v）当rf(a)≤f(b)≤qf(a)时，有0≤c1≤a，0≤c2≤d，由引理3有

对任意t∈[a,d]，有，又由的凸性有

对任意t∈[d,b]，有，又由的凸性有

（vi）当f(b)≤min{q,r}f(a)时，有0≤c1≤α，0，d≤c2≤b，由引理3有

式（9）得证.

推论1 设α∈(0,1]，0≤a

证明 在定理4(i)和(iii)中 取α=1即 可得证.