CDIO模式下“微积分”课程教学改革探讨

韦丽梅

广西大学行健文理学院 广西南宁 530004

一、绪论

微积分课程是经济管理类、理工类专业本科生的一门必修的重要的公共基础课程，能否稳步提升该课程的教学质量直接关系学生学习各类后续课程，因此，针对该课程的教学改革和探索是十分必要的。近年来，已有不少的研究课题从不同角度、多种途径对微积分课程的教学改革进行了有益的探索。基于OBE教育新理念思想围绕教学目标、内容体系、教学模式、学习成果、考核评价方法和教学质量等方面开展了“微积分”课程的教学改革[1]。探究大数据环境下微积分课程的教学模式改革，较好地克服了传统教学模式较为枯燥的缺陷，稳步提升微积分课程教学质量[2]。考虑到教育水平区域差异和学校办学定位的差异，微积分课程教学改革还有探索的空间。

CDIO(Conceive，Design，Implement，Operate)工程教育模式是由美国麻省理工学院和瑞典皇家工学院等高校于2001年合作创立的新型工程教育模式，它蕴含了系统的构思、设计、实现和运作规范，是国际工程教育改革的最新成果，体现了系统性、科学性和先进性的高度统一，更是当代工程教育的发展趋势。早在2008年，教育部高等教育司发文成立“CDIO工程教育模式研究与实践课题组”，研究CDIO工程教育模式的理念及做法，指导开展CDIO工程教育模式试点工作、研讨与交流活动。2016年，由全国104所高校正式组建成“CDIO工程教育联盟”。

已有实践与研究表明，CDIO能有效驱动课程计划改革、师资队伍建设和质量体系优化，是实现应用型本科院校建设和专业认证等工程教育改革工作的重要路径[3-4]。因此，尝试将CDIO理念引入微积分课程，对该课程的教学内容、教学方法及考核方式等方面进行初步探索。

二、微积分课程的特征

微积分课程的先修课程一般包括高中数学，主要内容包括函数、极限与连续、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、多元函数微分学、微分方程初步、无穷级数。该课程的概念繁多，内容抽象，逻辑性强，需要很强的思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。因而，一方面要求学生具备扎实的基本功和较强的动手计算能力，另一方面也要求专任教师具备常规的构思、设计、实现、运行的技能，使课程教学与CDIO能有机结合。

在“中国制造2025”等一系列国家战略指引下，教育部积极推进新工科建设以适应新一轮科技革命与产业变革。在此背景下，微积分课程原有的课程体系和人才培养模式已无法满足新工科建设的迫切需求，表现出重理论轻应用、重演绎轻归纳，追求数学的系统性与严谨性，忽略考虑学生的理解能力，导致学生失去学习的能动性。究其原因，主要有：

(一)知识数学化，应用虚无化

微积分全面地阐述了一元函数和多元函数的微分学和积分学，概念繁多、内容抽象，要求扎实的数学基础。突出的特点表现为：分析对象依赖数学建模，分析工具依赖数学理论。这导致学生难以理解数学公式所蕴含的意义，致使学生产生畏难情绪，失去学习的兴趣。另外，过多的理论授课使得课程过于枯燥，学生的学习兴趣和动力不足。更为重要的是，众多的应用问题被数学公式所掩盖，缺少具体的应用案例，导致学生对知识点的应用一知半解，严重影响学生对知识的吸收。

(二)实践形式化

实践作为检验学生是否掌握微积分课程理论知识的重要途径。因而，合理地设计系列化数学实验辅助本课程的教学内容至关重要。然而，众高校微积分多倾向于理论学习，缺乏实验操作。反馈结果表明学生多照搬硬套数学公式，导致对基本概念、基本定理、基本方法缺乏深刻认识，导致课程知识点的巩固和强化效果不佳。致使实践应用环节流于形式，失去了对课程学习成效的检验和促进作用。

综上所述，亟待对微积分课程原有的教学内容、教学方法、手段和实践等进行改革，以适应具有大系统整合、跨学科交叉、跨领域合作特点的新工程教育模式。

三、CDIO模式下课程教学改革探讨

CDIO工程教育模式要求学生在基础知识、个人能力、人际团队能力和工程系统能力四个层面获得全面提升。因此，有必要全面分析并讨论微积分课程的教学全流程，检验学生是否以主动的、实践的、课程之间有机联系的方式学习微积分相关理论及实践。为此，专任教师需将固有的教育理念转变到CDIO工程教育理念上，遵循CDIO工程教育理念的12条标准反思教—学关系。基于对CDIO工程教育理念的认识，围绕微积分课程可进行如下教学改革：

(一)教学内容的优化

CDIO工程教育倡导一体化教学计划。微积分理论课程的内容理论性与实践性并重。学生普遍反映该课程理论性强、概念抽象、数学公式多。在当前授课学时减少的趋势下，如何精心安排相关教学内容以确保理论与实践有机结合至关重要。此外，积极融入课程思政元素，激发学生的专业荣誉感与行业自豪感，用科技创新服务经济社会发展。

本课程由理论学习和实验操作两部分构成，其中理论学习72个课时，实验操作18个课时。理论学习分为线上学习和线下学习两部分，线下学习主要以一元函数的微分学和积分学为主线，侧重函数、极限、连续、导数、微分、积分等基本概念的讲解，弱化计算方法，比如导数的运算、积分的计算只要求基本公式和法则的应用，凑微分法和分部积分法不做要求，再将现有理论推广到多元函数领域。其中，函数的间断点及其类型、反函数的求导法则、由参数方程所确定的函数及隐函数的导数、导数在经济分析中的应用、导数与微分应用案例、中值定理、曲线的凹凸性、反常积分、旋转体的体积、定积分应用案例、空间解析几何简介、条件极值、拉格朗日乘数法、几类可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程等难点知识作为线上资源，录制微课，借助网络平台发布教学视频，作为个人提升，自主学习。此外，在函数的概念中增加成本函数、收益函数、利润函数等经济函数的概念及建模方法，在导数的概念中增加导数的经济意义，即边际函数的概念，在微分的讲解中介绍微分的近似计算，在导数的学习中增加导数的应用案例，比如怎样使得用料最省、利润最大、成本最低等函数的极值和最值问题，在定积分的学习中增加平面图形的面积、体积的求法和经济应用，比如已知边际函数如何求总量函数等应用案例，强化理论联系实际，加强学生对知识的理解和应用。

在实验操作部分，借助MATLAB软件，侧重符号运算，弥补理论学习中弱化的计算部分，重点介绍函数的作图、函数值的计算、通过作图直观地了解极限、极值的概念，强化如何用MATLAB进行求解极限、导数、极值、积分、微分方程等操作，通过实验增强学生对理论知识的理解。

(二)教学方法的改进

CDIO工程教育将主动学习作为12条标准之一。为此，借助网络共享资源“学习通”和“对分易教学平台”积极开展线上线下混合式教学，围绕课前—课堂—课后三阶段形成全流程的改进，以提升学生的主动学习兴趣和能力。课前—课堂—课后三阶段全流程均离不开师生的交流互动。良好的师生互动可实现教师边教边提高，学生越学越主动的良好局面。

课前阶段着重将教学大纲、课程内容的背景资料、课程思政、数学史简介、学习课件上传到“学习通”平台及时推送给学生，设置预习任务，在线平台实时记录学生完成任务的进展和记录学习章节的次数，通过课前预习，设置相关的启发式问题，让学生对该门课程有个初步了解。例如，在教授极限的概念时，可将古代数学家刘微创立的割圆术作为背景资料引入；在介绍无穷小时，可将古希腊阿基里德追龟问题作为背景资料引入；介绍导数概念时，可将割线与切线的动态视频作为背景资料引入，以动态的视频增加学生对基本概念的提前理解。

课堂授课阶段，借鉴复旦大学张学新教授提出的对分课堂教学模式[5]，把课堂时间对分，一半用于教师讲授，一半用于学生讨论，关键创新是“隔堂讨论”，即把老师讲授的时间和学生讨论的时间错开，让学生在中间有一定的时间自主安排学习，进行个性化的内化吸收。核心理念是“时间对分”“任务对分”“教学模式对分”和“培养模式对分”，教师按照以下四个环节来组织教学。

(1)前期准备，根据学习通预习进展的情况，教师将课程内容的难易情况、重难点情况和易出现理解偏差情况进行归纳总结，优化教学内容，制订适合“对分课堂”的教学计划。

(2)讲授环节，先以教师单向讲授为主，主要介绍教学内容的框架、重点和难点，不覆盖细节，为学生自主学习提供基本学习框架和思路。

(3)内化吸收就是课后学习阶段，让学生课后自主学习教材和辅助资料，完成两类作业。一类是传统作业，以基本内容为主。另一种是“亮考帮”作业，根据教学大纲和个人自主学习情况，主要是要求学生在听课、读书、完成常规作业后，总结出学习过程中自己认为闪亮的内容、弄懂了的内容和有疑问的内容。

(4)讨论环节则是放在下次课，教师上课后立刻组织学生分组讨论，每组4～5人，讨论主要针对教师上次课的讲授内容和学生在内化阶段的学习结果。小组讨论后，教师随机抽查学生讨论的结果，再由全班自由发言，教师对疑难问题进行解答并做简单总结，特别注意讲解学生遗漏的、需要深化提升的内容。既提高学生协同合作的能力，分享智慧，又提高了学生学习的积极性。

上述“对分课堂”教学模式主要由三个环节构成：老师课堂授课、学生课下自学、生生和师生课堂讨论，涉及的教学环节如图1所示。

图1 教学环节及其组成

(三)考核方式的改良

CDIO工程教育强调学生考核，因而需要建立一套有效的考核机制，用于评估学生的基本个人能力和人际能力在何种程度达到专业目标。学生的人际能力和创新能力等素质难以由作业和测试反馈。在微积分课程的考核和评估中，摒弃以期末考试为主的考核方法，采用多元化的考核方式。提倡采用考勤、作业、单元测验、课程表现、实验操作等多种形式相结合的常态化考核机制。平时注重学生学习过程的形成性评价，根据完成、态度和创新三个维度去打分。利用平台对学生进行上课考勤、作业、课堂表现、测验四方面的评分，结合上机实验操作，本校采用如下考核方式：考核成绩由60%平时成绩+40%期末考试成绩构成，其中平时成绩由五部分组成：考勤15%，作业20%，课堂表现20%，随堂测验15%，实验操作30%。实验操作由考勤和课堂作业组成，各占30%和70%。上述考核成绩及其构成如图2所示。

图2 考核成绩及其组成

作业能够及时巩固并检验学生对课程内容的理解，单元测验能够督促学生系统性总结归纳知识，课程表现有助于学生积极参与到教学活动中，上机操作不仅能检验学生掌握知识的情况，还能锻炼其运用于实践的能力。多元常态化考核，一方面可以检验学生是否按照主动的、实践的、课程之间有机联系的方式学习本课程，还以工程基础知识、个人能力、人际团队能力和工程系统能力四个层面为参照检验学生的达成情况。

结语

借鉴CDIO理念逐步开展微积分课程的教学改革，围绕教学内容、教学方法和考核方式等方面进行有益的探讨，有助于学生以主动的、实践的、课程之间有机联系的方式学习微积分的基本概念，应用数学工具“定性分析、定量估算和仿真实验”解决实际问题，逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力，稳步提升教学质量。