Qp,0空间的一个判别准则

罗 允，王 芳，唐树安，杨丛丽

(贵州师范大学 数学科学学院,贵州 贵阳 550025)

0 引言及主要结果

解析函数的Banach空间理论在经典和现代分析中具有重要的作用。在复泛函分析理论中，一个有趣的问题是研究解析函数的莫比乌斯不变类的等价刻画。在解析函数类中，Qp空间是一个重要的莫比乌斯不变空间，有很多学者研究了这个空间的等价刻画。 这个空间的函数的增长性也得到了很多很好的刻画[1-2]， 但是反过来，由函数的增长性决定该函数的空间属性的研究却较少。本文将研究Qp空间的一个闭子空间，我们给出一些解析函数的导函数的增长性条件，使其属于函数空间Qp,0。

如果f∈A且

(1)

这里z=x+iy,则称解析函数f属于函数空间Qp。

如果f∈Qp且

则称解析函数f∈Qp,0。在(1)定义的范数下，Qp,0空间是Qp空间的子空间。Qp空间由Aulaskari等在文[3]中引进，我们知道Q0是经典的Dirichlet空间，Q1是BMOA空间且Q1,0是VMOA空间(更多细节和相关结果参见[4-8])。这里我们称单位圆周S1上一个可积函数u属于BMO空间，如果

(2)

这里I是S1上的一段子弧，|I|表示I的勒贝格测度，且

(3)

是函数u在I上的平均(见[5])。

如果单位圆周S1上一个可积函数u∈BMO且

(4)

我们称u∈VMO(S1)(见[5])。

我们称一个解析函数f属于Hardy空间H2，如果f∈A且

如果单位圆内的H2函数f限制在边界S1上属于BMO，则称函数f属于BMOA。类似的，可以定义VMOA。已知在BMO范数(2)下，VMOA是BMOA的一个闭子空间(更多细节和结果参见文[5])。

Danikas在文[9]中证明了下列结果：

定理A[9]设f是D上的解析函数，φ是关于r∈(0,1)的单调递增函数，并且有

|f′(z)|≤φ(r)。

如果

则f∈VMOA。

一个自然的问题是当导函数f′(z)满足什么条件时，f∈Qp,0？本文研究这个问题并得到下面结果：

定理1 设0

|f′(z)|≤φ(r)。

如果

则f∈Qp,0。

定理2 设0

|f′(φω(z))|≤φ(r)。

如果

则f∈Qp,0。

缺项幂级数在解析函数空间的研究中起着重要作用。在文[3]中，Aulaskari等证明了下述结果。

(I)f∈Qp,

(II)f∈Qp,0,

利用定理1，我们将给定理AXZ一个新的证明。我们将在第1节证明定理1，在第2节证明定理2，在第3节证明定理AXZ。本文用符号AB表示存在常数C，使A≤CB；A≅B表示存在常数C1、C2，使得C1A≤B≤C2A。

1 定理1的证明

本节我们将证明定理1，首先给出一些引理。

引理1[3]设ω,z=reiθ∈D，00，使得

我们也需要Qp空间的一个等价描述(见[3])。

引理2[3]设0

|φω(z)|2)pdxdy<∞，

|φω(z)|2)p=0。

现在我们开始定理1的证明。

定理1的证明设ω∈D，ω=ρeiφ。由引理1和引理2，我们得到

所以根据勒贝格控制收敛定理，

由此，我们推出

即f∈Qp,0，我们完成了定理1的证明。

2 定理2的证明

定理2的证明方法与定理1类似。

设0

所以根据勒贝格控制收敛定理，

因此，我们推出

即f∈Qp,0，我们完成了定理2的证明。

3 定理AXZ的证明

不同于文献[3]中的证明，我们的方法直接利用定理1。在定理证明之前，我们首先给出下述引理。

定理AXZ的证明注意到Qp,0⊂Qp，我们只需要证明(I)⟹(II)。

令

易知φ(r)是r∈(0,1)的单调递增函数，且有

由引理3，我们有

其中

根据定理1，有f∈Qp,0， 定理AXZ得证。

注记1：我们指出上述证明思想实际上已经隐藏在文[3]中。